1997年第4期数学学习(高等数学季刊)用原函数构造辅助函数江南学院邵鉴本辅助函数法是高等数学证明中经常使用的一种非常有用的方法与柯西中值定理的证明都使用了辅助函数法也可以有各种不同的形式例如拉格朗日中值定理构造辅助函数的方法很多构造出的辅助函数2〕上大部分高等数学教材(例如[1」〔拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明中的辅助函数都是从几何角度得出的也可以用原函数构造出来函数构造辅助函数的方法然而上述两个定理证明中的辅助函数本文先通过拉格朗日中值定理与柯西中值定理的证明然后再介绍一些用此法进行证明的其他实例介绍用原在拉格朗日中值定理的证明中设f(x)在[a习上连续a在(a)b内可导要证明至少a存在一点泞任(a一f(a))lb)使f(b)一f(a)=fl份)(b一aa)成立只要证fl(x)(b一)一(f(b)a一,=o而fl(x)(b一)一(f(b)一f(a))有一个原函数F(x)~f(x)(b一)一(f(b)一f(a))x且F(x)满足F(a)=bf(a)一f(b)=F(b)a这样F(x)在〔b〕上就满一足罗尔定理的条件由罗尔定理可得:至少存在一点泞任(a)使Fb’(匀一O这就是f(b))(af~b一a)’(匀(fa这样就证出了拉格朗日中值定理在证明中使用的辅助函数F(x)就是尹(x)(b一)一(f(b)一f(a))的一个原函数同样在柯西中值定理证明中f(b)一f(a)F(b)一F(a)在一定的条件下要证明至少存在一点宁任(a)b一使0尹(匀F(泞)成立‘只要证明F(x)(f(b)一f(a)一尹(x)(F(b)一F(a)}。=而F(二)(f(b)一f(a))一fl(x)(F(b)一F(a)有一个原函数G(x)=F(x)(f(b)一f(a))一f(二)(F(b)一F(a)),r且G(x)满足G(a)=F(a)f(b)一F(b)f(a)=G(b)这样G(二)在[a。司上满足罗尔定理的条件由罗尔定理可得至少存在一点泞e:a()b使e(匀一这就是F(宁)(f伪)一f(a一))一f))=l防)(F伍)一F(a一__o由囚__于F_厂(b)一厂(a)=(泞)井。从而召杀拼一拱共a””川F(b)一F()二’(匀fF(泞)成立柯西定理得证从拉格朗日定理和柯西定理的证明中可以看出用原函数构造辅助函数的第一种方法如例3设x(f,一买浩一td,一飞水止,J火一1,)=J气x少1l证::加如lf剥当x-一1lf—一三(一奥}~In1+xx“十U一;l(x{一尹(x)rjL—,一f(x)十C,一1一J又一少一JLx)此例也可用换元积分法来证明数学学习(高等数学季刊)下:1997年第4期方法一原函数F(x)要证明在(a)b内至少存在一点泞使f(x)}一,~o此时可找出f(x)的一个只要F(x)满足尸(a)一F(b)则这个原函数F(二)就是我们需要的辅助函数_利用这个辅助函数并结合罗尔定理立即可得出我们需要证明的结论f(二)l再举二个例子如下省略‘~O我们只通过对题目的分析找出证明中需要的辅助函数证明过程则例几1a设f(x)在〔b」上连续在(ab)内可导且f(a)=f(b)一。证明对任何实数至少存在一点子〔(a)b使尹(句~汀(匀成立分析尹(x)}一”资子引坛f(x)}对任一实数又要证明至少存在一点子任(a)b使尹(句~汀(句_只要证x“_____f)(x)_0又F一一If、n一七”而有个,原函数(涛)一,。J号兴丫x诵)勺一以一”I一一“勺(f(二)肠,”x___但是二二Fx)在点(二品、珑-一a与x一b处均无定义。I(“’不满足F(a)一F(b)所以F(x)不是我们需要的辅助函数但是注意到指数函数大~0的特点当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩’闭有可能是我们需要的辅助函数,因此e0~令G(x)一:亡八”一‘七f(x)则G(x)满足G(a)G(b)和罗尔定理的其他条件0根据罗尔定理得至少存在一点奋任(a几f(句)使G(匀-b一即‘访尹防)一龙肠f(句~又因为‘肠>0消去‘舫得尹(句~成立这里用到的G(x)即为我们需要的辅助函数这样我们得到了用原函数构造辅助函数的第二种方法方法二原函数F(x)况下要证明在(a)b内至少存在一点宁使f(x)lF(b)一:一。此时可求出f(二)的一个如果F(二)不满足尸(a)~。从对则F(x)不是我们所需的辅助函数~G(b)在这种情可考虑G(x)一:如果G(x)满足G(a)及罗尔定理的其它条件八。则可根据O罗尔定理得至少存在一点泞任(a。)使G(匀一Ob。即。f(匀一0因为。凡。>所以仍_能得到f(x)}~f(匀~O因此G(x)一八习就是我们需要的辅助函数这种构造辅助函数的方法特别适用于f(x)的原函数F(x)中有对数函数的情形例2设f(x)g(x)在[ab〕上连续在(a0b)内可导f(a)=f(b)=o证明在(ab)内至少存在一点宁使尹(匀十f(匀丫(匀~分析a要证明至少存在一点宁任()b使尹(句+f(匀g(幻一‘。只要证:(二)惚J+。(二)x()。一}}一。而一,岑兽)x(j!g(二)“一有一个原函数:(二)一l。,(二)+曰…一二~~~一。(二)。但得在卜--一点x一a与x一b处均无定义F(x)不是所需的辅助函数此时令G(x)一。~‘凡“一ef(二)。“则G(x)满足G(a)一G(b)和罗尔定理的其它条件所以G(二)就是我们所需要的辅助函数参1〔」吉林大学数学系编考文献数学分析(第一版)1978人民教育出版社19882【」同济大学数学教研室编3【〕复旦大学数学系主编高等数学(第三版)高等教育出版社数学分析(第二版)1962上海科学技术出版社