延庆区高三模拟考试试卷
2020. 3
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试
卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）
、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。
(1) 已知复数
(A) 0
a i 2a
(B)
2.
i是正实数，则实数 a的值为
(C)
r r r r
（2）已知向量a (1,k) , b (k,2), 若a与b方向相同，则
1
1
(D)
1
k*
（3）下列函数中最小正周期为 的函数是
（4）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是
(A) 1
(D)
(A) y
1 x
(B) y
tanx
x x
(C)
y e
e
(D) y (D)
x x
2,x 2,x
0 0
(A) y sin x
1
y cos ^x
(C) y
tan 2x
三1一仲1
|sin x |
该四棱锥的体积为
L 1 f件
侧（左）视图
面积为
（5）某四棱锥的三视图所示，已知
正（主）视图
(A) 8
(C) 4 4巡
(B) 12
(D) 20
俯视图
(6) (2x2 —)5的展开式中，x4的系数是 x
(A) 160
(B) 80
1
(C) 50 (D) 10
高三年级（数学） 第1页（共4页）
(7)在平面直角坐标系 xOy中，将点
OB与x轴正半轴所成的最小正角为
(B)
A(1,2)绕原点O逆时针旋转90到点B,设直线
技 5
”是“
(8)已知直线a,b，平面，
(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件
(9) 某企业生产 A, B两种型号的产品,
(B) 必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件 每年的产量分别为
10万支和40万支，为了扩
A, B两种产品的
大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的 年产量的增长率分别为 50%和20% ,那么至少经过多少年后, 过B产品的年产量(取
lg2 0.3010 )
A产品的年产量会超
(A) 6 年
(B) 7 年
(C)
(D) 9 年
(10)已知双曲线C：X 匕 1的右焦点为F,
!
过原点。的直线与双曲线 C交于A,B
16 9
两点，且 AFB 60，贝U BOF的面积为
(C)
第二部分(非选择题,
二、填空题共5小题，每小题
(11)
5分，共25分。
共110分)
已知集合M {x|k x
则k的取值范围是
(12) 经过点M ( 2,0)且与圆
1相切的直线l的方程是
八 2
(13) 已知函数f(x) sinx
2
sin 2x cos x,贝 U f (—) .
某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13
12
(14)
种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有 3种，后两天都售出的商
高三年级(数学)
高三年级(数学) 第2页(共4页)
第3页(共4页)
品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天 售出的商品至少有 种.
(15) 在 ABC中，AB 10 , D是BC边的中点.若AC 6 , A 60 ，则
AD
的长等于 ;若 CAD 45 , AC 6 J2，则 ABC的面积等
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(16) (本小题14分)
如图，四棱锥 P ABCD的底面ABCD是正方形，AB 4 ,
P
PD PC , O是CD的中点，PO 平面ABCD , E是棱PC
上的一点， PA// 平面 BDE . (I)求证: (n)求证:
E是PC的中点；
PD和BE所成角等于90
(17) (本小题14分)
a〔o 16,
已知数列｛an)是等差数列，Sn是(an)的前n项和, 判断2024是否是数列(a)中的项，并说明理由；
n
(I)
(口)求S的最值.
n
从①a8 10，②a8 8，③a8 20中任选一个，补充在上面的问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
(18) (本小题14分)
A , B , C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部
分学生一周的上网时长，数据如下表(单位：小时) ：
13 13 11.5 12 (数学) 18 20 21 13 13 17.5 20 第3页(共4页)
A班 B班 12 11 高三年级 C班 11 13.5 15 16 16.5 19 21 (I )试估计A班的学生人数；
(口)从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过 率；
(川)从A班抽出的6名学生中随机选取 2人，从B班抽出的7名学生中随机选取 1 人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过 15小时的概率.
(19) (本小题14分)
15小时的概
已知函数f(x) 2ax2 a一~，其中a 0.
x 1
(i)当a 1时，求曲线y f(x)在原点处的切线方程；
(口)若函数f(x)在［0,)上存在最大值和最小值，求 a的取值范围.
(20) (本小题15分)
2
2
已知椭圆G:与 戛 1(a b 0)的左焦点为F( J2,0),且经过点C( J2,1), a b
A, B分别是G的右顶点和上顶点，过原点 O的直线l与G交于P, Q两点(点Q在第
一象限)，且与线段AB交于点M .
(I)求椭圆G的标准方程；
(口)若PQ 3,求直线l的方程；
(川)若 BOP的面积是 出MQ的面积的4倍，求直线l的方程.
(21) (本小题14分)
*
在数列｛an｝中，若 an N ,且 an 1
■—
,
a^是偶数
2 口、，，3 1,2,3, L)，则称 &｝为
\"J数列”.设｛an｝为\"J数列”，记｛an｝的前n项和为Sn .
(I)
若a1 10 ,求S3n的值；
高三年级(数学) 第4页(共4页)
(数学) 第3页(共4页)
高三年级 (H)若& 17 ,求ai的值;
（m）证明：｛an｝中总有一项为1或3.
延庆区2019-2020学年度高三数学试卷评分参考
、选择题： （每小题 4分， 共10小题，共
40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. C 6. B
2. D. 7. A
3. D 4. C 5. B
8. C 9. B
10. A
、填空题： （每小题 5分， 共5小题，共
11.( 14. 16,
25分）
,3); 29;
15
12
, 3, .y T(x
2) ; 13 .
1 3
；
. 7, 42.
2
三、解答题：（共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤 .）
16. m 联结AC，设AC与BD交于F ,联结EF, P
................ 1分
因为 PA//平面BDE ,
平面 PAC I 平面 BDE = EF, 所以 PA//EF
因为 ABCD是正方形， 所以F是AC的中点 所以E是PC的中点 A
（n ）（法一）因为 PO 平面ABCD ,
kR
[\\ ................................ 4 分
…OL\\D
/二-二沪二二C
.................................. 6B
分
所以 PO
BC
............... 7分
因为 ABCD是正方形，
所以 BC CD 因为
POI CD O
平面PDC
所以 BC 所以 BC 因为 PD
................ 10分
PD PC
高三年级（数学） 第8页（共4页）
因为
BCI PC C
................ 13分
所以 PD 平面PBC 因为BE 平面PBC 所以PD BE
所以PD与BE成90角. （法二）连接OF , 因为PO 平面ABCD , 所以 PO CD , PO OF .
因为ABCD是正方形， 所以OF CD.
所以 OF,OC,OP两两垂直.
....... 14分
以OF,OC,OP分别为x、y、z建立空间直角坐标系 O xyz. ............................... 8分
则 P(0,0,2) , D(0, 2,0), B(4,2,0) , E(0,1,1),
uuiv uuv
.......... 10 分
PD (0, 2, 2) , BE ( 3, 1,1), uuu/ uuv
PD BE 0(3) ( 2) ( 1) ( 2) 1
0
........... 13 分
所以所以 PD与BE成90角.
17.解：选①(I)因为 a10
.... 14分
16, a8 10 ,
所以d 3
7d (n
10 21 1)d 11
11 (n 1) 3
............... 2分
................ 4 分
所以 a1 a8 所以 an a1
3n 14
令 3n 14 2024，则 3n 2038 此方程无正整数解
............. 6 分
高三年级（数学） 第9页（共4页）
所以2024不是数列｛an｝中的项.
....... 8分
14
(n)
2 3
............ 11 分
(法一)令 an 0,即 3n 14 0,解得：n — 4—
3
当 n 5时，an 0,当 n 4 时，an 0,
高三年级（数学） 第10页（共4页）
当n 4时，Sn的最小值为S4
11 8 5 2 Sn无最大值
(n)(法二)S nUd 3n2 n 2
2 4- 2a 6 b 25 ,1 25 n, 6
当n 4时，Sn的最小值为S4
Sn无最大值
3 ,一 25 一 选②16 — 4 (I) Q a10 16, a8 8,
—2
2
d 4
a1 a8 7d 8 28 20
an a1 (n 1)d
4n 24
令 4n 24 2024 ，则 4n 2048
解得n 512
20 (n 1) 4
2024是数列(an)中的第512项.
(n)
令 an 0,即 4n 24 0,解得：
当 n 6 时，an 0, 当n 6时，
当n 5或n 6时，Sn的最小值为 n 6
挎 &
20 16 12 8 4 60.
Sn无最大值
an 0,当 n 6 时，an
0, 高三年级（数学） 第11页（共4页）
26 .-• 13分
............... 14分
................ 11分
26.…13 分
................ 14分
................ 2分
............... 6分
............... 8分
............. 11 分
............... 13分
选③（I） Q 如 16, as 20,
d 2
a1 an
a8 7d 20
14 34
............. 2 分
.............. 4 分
a1 （n 1）d 34 （n 1） （ 2） 2n 36
........... 6 分
令 2n 36 2024，则 n 994 （舍去）
2024不是数列｛an｝中的项.
（口）令 an 0,即 2n 36 0,解得：n 18
....... 8分
当 n 18 时，an 0,
当 n 18 时，an 0,当 n 18 时，an 0, .............. 11 分
当n 17或n 18时，&的最大值为
S7 S8 号虺 306.
18
••…13 分
Sn无最小值.
....... 14分
18 .（本小题满分14分）
解：（I）由题意知，抽出的 20名学生中，来自A班的学生有6名.根据分层抽样 方法，A班的学生人数估计为120 — 36 .
20
................ 3分
（口）设从选出的 20名学生中任选1人，共有20种选法， ........... 4分 设此人一周上网时长超过
15小时为事件D,
其中D包含的选法有 3+2+4=9种， ....... 6分
高三年级（数学） 第12页（共4页）
9
P（D） —.
20
八
....... 7 分
由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过 15小时的
高三年级（数学）第13页（共4页）
概率为—.
20
(m)设从A班抽出的6名学生中随机选取 2人，其中恰有i(1 i
2)人一周上
网超过15小时为事件Ei,从B班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超 过15小时为事件F
则所求事件的概率为：
P(E2F UE1F)
C2
1 1 1
1
15 18 11 15 7
35
C2c7
2
14分
(m)另解：从 A班的6人中随机选
人，有C；种选法，从B班的7人中随机选1
人有C1种选法,
故选法总数为： C； C； 15 7 105种
10分
设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过 15小时”为E, 则E中包含以下情况:
(1)从A班选出的2人超15小时，而B班选出的1人不超15小时,
(2)从A班选出的2人中恰有 1人超15小时，而 B班选出的1人
11分
超15小时, 所以P(E)
15 18 11 C；C5 C3C；C2 2
1
14分
C6 C7
19. (本小题满分14分)
15 7
2
35
-
(I
解：当a 1时，f (x) 切线的斜率k f (0)
2(1 x ) (x2 1)2 .
f(0) 0
曲线y f (x)在原点处的切线方程为： f (x)
2a(x2 1) (2ax a2 1)2x (x2
2 ，
y 2x.
(n
1)2
、
2
，
、
2
2ax
2
(2 2a) x 2a 2( ax 1) (x
2
a)
(1)
(x 1)
则f(x)、f (x)随x的变化情况如下表:
(x 1)
1 一 第14页(共4页)
高三年级(数学)
第15页(共4页)
f (x)在 (0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， .......................... 9分
a a x 0 , 1、 (0,―) a 1 a 0 1 (—,) 、 f (x) f(x) a2 1 递增 f(〕) 递减 法 1 ： f (x)的最大值为f (1)
a
a
2
若f (x)存在最小值，则
(0,
2 ax a2 1 x2
即：——1
2
2ax (a2
1)
a
2a
a 2
2a
0. a 0,
a2 1
0,
所以a的取值范围为(0,1].
法2:
f(x)的最大值为f(1) a2；
a
当 x 1 时，2ax 2, 2ax a2 1 a2
x 时,f(x) 0 ；
即 x [0,1]时，f (x) [a2 1,a2]； a
1
2 ,
x [一 a
,)时，f (x) (0, a ]
若f (x)存在最小值，则f (0) a2 1
所以a的取值范围为(0,1].
高三年级(数学)
a 10分
)时，f (x) f (0) a2 1 恒成立，
(0,
)恒成立,
13分 14分
10分
0,
14分
第16页(共4页)
(2)当 a 0时，f (x) 0 x1 a 0; x2 则f(x)、f (x)随x的变化情况如下表:
x f (x) f(x) 0.
0 a2 1 (0, a) - a 0 (a, + 递增 ) 递减 f( a) f (x)在(0, a)上单调递减，在(
a,)上单调递增,
法1: f (x)的最小值为f ( a) 若f (x)存在最大值，则 x
[0, )时，f (x)
a2 1恒成立，
2ax a2 1
即：一2 ---------
一
a2 1
a2 1 2a
0,
0, a 1] (0,1].
, 2 、
2ax (a 1) \
(0,)恒成立, 1.
综上: a的取值范围是 法2:
f (x)的最小值为 f( a) a 时，2ax
2
2 .
2a , 2ax a 1
1 0 ,
,f (x) [0, a]时,
0;
f(x)
[1,a2 1]；
-一
a,
1.
若f (x)存在最大值，则 综上：a的取值范围是(
2
f (0) a2 1 ,1] (0,1].
高三年级(数学) 第11页(共4页)
(数学) 第11页(共4页)
20 .(本小题满分15分)
高三年级
解：（i）法一：依题意可得 —
2 1
b2 b2
2
a 2, 1,解得b J2, 2 c 、. 2. c .
a 2
2
所以椭圆的标准方程为 - — 1. a
4 2
••• 3
法二：设椭圆的右焦点为 F1，则|CF1 | 3 ,
分
2a 4, a 2,
Qc 2, b ”,
所以椭圆的标准方程为
（n）因为点Q在第一象限，所以直线
••• 3
分
l的斜率存在,
设直线l的斜率为k ,则直线l的方程为y kx ,设直线l与该椭圆的交点
,
为 P(X1,y1),Q(X2,y2)由 2
y kx 〜口
2
2
2
...5 分
可碍(1 2k )x 4 0,
…6分
x 2y 4
4
勿知 0，且 x x2 0,^x2 ---------------------------------- ,
2
1 2k2 4
...7 分
3, 4XX22贝U PQ h_x^)~_y?) &~E/Cx_x27~ 4 2
1 2k2
14 _ 7 2
一^ （负舍），所以直线l的万程为所以k2 -,k
2
(m)设 M(xm,ym) , Q x°,y° /UP x。，y。，易知 0 x° 2 , 0 y° 1.
I
2
我，、
y 一厂x.…8分
由A 2,0 , B(0, J2),所以直线AB的方程为x J2y 2 0.
高三年级（数学）
第19页（共4页）
••-9分
若使 BOP的面积是 BMQ的面积的4倍，只需使得 OQ 4 MQ，
法一：即色3 a
X
Q 4
设直线 l的方程
kx，由房
kx
得,
为
.2k ‘1
2k
y kx
由x2
得,
Q( 2 y --- 2
2y2 ■ 1 2k
2
2k 代入①可得14k2
18、7 0,
即7k2 9、2k
2k :
解得k 9、、2 8
9.2 x. 8 - ———，所以y 14
ULLV 4 法二：所以
UUUV 14 即 Q(3Xm,3ym).
OQ OM 3
y kx .2y 2 0
设直线 l的方程
得,
2 2k 2k 、
为
M ( -------- ， ------- )
1 .2k 1 .2k
所以Q（ 8
8k
G上，所以
L ,
^^)，因为点Q在椭圆
1,
3 3.2k 3 3、2k
代入可得 14k2 1^2k 7 0,即：7k2 ^/2k
解得k
9.2 8 14 9、、2 8
所以y
--------- X .
ULUV 14 (3x0,- y°),即 M i 法二：所以OM 4
4
点M在线段 AB
所以％芸y°
上,
4
4
X
y0
。，
高三年级（数学） 第20页（共4页）
•••10
...11 分
…12分
,,,13 分
•15分
...11 分
…12分
…13分
• 15分
…11分
,,,12 分
因为点Q在椭圆G上，所以生K 1,② 4 2
2.2 1
把①式代入②式可得 9y2 12 ⑦0 7 0,解得y0 -------------------------- . 分
3
8 —
4 m •、2 y0 9>：2 8
于正 Xo _ v 2yo --------------------------- ，所以， k ---------------- .
3
3
Xo 14
所以，所求直线l的方程为y 概 8x. 14
21.解：（I）当 a1 10 时，｛an ｝中的各项依次为 10,5,8,4,2,1 ,4,2,1 ,L , 所以* 7n 16 .
...................... 3分
（口）① 若q是奇数，则a2 a1 3是偶数，a, 空 父关，
2
2
由& 17，得a1 （a1 3） %关17，解得a1 5，适合题意. ②若a是偶数，不妨设a1 2k （k N*），贝U a2三 k .
若k是偶数，则a3空 、由S3 17，得2k k - 17，此方程无整数解；
2
2
2
若k是奇数，则a3 k 3，由S3 17，得2k k k 3 17，此方程无整数解. 综上，
8分
（川）首先证明：一定存在某个 ai，使得ai < 6成立.
否则，对每一个i N，都有ai 6，则在a为奇数时，必有ai 2 二^ a】；
在ai为偶数时，有ai 2号3 ai ,或a 2
ai .
因此，若对每一个i N* ,都有ai 6，则a1,a3,a5,L单调递减，
高三年级（数学） 第21页（共4页）
••-13
••-15分a1
5.
a 3
汪息到an N ,显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个ai ,使得a豆6成立.
经检验，当aj 2 ,或ai 4 ,或ai 5时，｛ an｝中出现1 ；
ai 6时，｛an｝中出现3,
综上，｛an｝中总有一项为1或3.
高三年级（数学） 第22页（共4页）分
14
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