固定收益证券-课后习题与答案

第1章固定收益证券概述

1．固定收益证券与债券之间是什么关系？

解答：债券是固定收益证券的一种，固定收益证券涵盖权益类证券和债券类产品，通俗的讲，只要一种金融产品的未来现金流可预期，我们就可以将其简单的归为固定收益产品。

2．举例说明，当一只附息债券进入最后一个票息周期后，会否演变成一个零息债券？ 解答：可视为类同于一个零息债券。

3．为什么说一个正常的附息债券可以分拆为若干个零息债券？并给出论证的理由。 解答：在不存在债券违约风险或违约风险可控的前提下，可以将附息债券不同时间点的票面利息视为零息债券。

4．为什么说国债收益率是一国重要的基础利率之一。

解答：一是国债的违约率较低；二是国债产品的流动性在债券类产品中最好；三是国债利率能在一定程度上反映国家货币政策的走向，是衡量一国金融市场资金成本的重要参照。

5．假如面值为100元的债券票面利息的计算公式为：1年期银行定期存款利率×2+50个基点－1年期国债利率，且利率上限为5%，利率下限为4%，利率每年重订一次。如果以后5年，每年利率重订日的1年期银行存款利率和国债利率如表1.4所示，计算各期债券的票面利息额。

表1.4 1年期定期存款利率和国债利率

重订日 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 1年期银行存款利率（%） 1.5 2.8 4.1 5.4 6.7 1年期国债利率（%） 2.5 3.0 4.5 5.8 7.0 债券的息票利率 4% 4% 4.7% 5% 5% 解答： 第1次重订日

计算的债券的票面利率为：1.5%×2+0.5%-2.5%=1%，由于该票面利率低于设定的利率下限，所以票面利率按利率下限4%支付。

此时，该债券在1年期末的票面利息额为100×4%=4元 第2次重订日

计算的债券的票面利率为：2.8%×2+0.5%-3%=3.1%，由于该票面利率低于设定的利率下限，所以票面利率仍按利率下限4%支付。

此时，该债券在2年期末的票面利息额为100×4%=4元 第3次重订日

计算的债券的票面利率为：4.1%×2+0.5%-4.5%=4.2%，由于该票面利率介于设定的利率下限和利率上限之间，所以票面利率按4.7%支付。

此时，该债券在3年期末的票面利息额为100×4.2%=4.2元 第4次重订日

计算的债券的票面利率为：5.4%×2+0.5%-5.8%=5.5%，由于该票面利率高于设定的利率上限，所以票面利率按利率上限5%支付。

此时，该债券在4年期末的票面利息额为100×5%=5元 第5次重订日

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计算的债券的票面利率为：6.7%×2+0.5%-7.0%=6.9%，由于该票面利率高于设定的利率上限，所以票面利率按利率上限5%支付。

此时，该债券在1年期末的票面利息额为100×5%=5元

6．某公司拟发行固定利率8%的债券，面值为1000万元，但由于市场的变化，投资者改成发行浮动利率和逆浮动利率两种债券，其中浮动利率债券的面值为400万元，逆浮动利率债券的面值为600万元，浮动利率债券的利率按照下面的公式确定：

1 month Libor＋3% 假定债券都是按照面值发行，请根据以上信息确定逆浮动利率债券的利率确定方法，并给出浮动利率债券与逆浮动利率债券的顶和底。

解答：

若债券都按照面值发行，则根据现金流匹配原则和无套利原理，浮动利率和逆浮动利率每一期的票面利息额之和应等于固定利率的票面利息，因此，现金流应满足：

10008%400cfl600cifl8%0.41MLibor3%0.6cifl cifl342%1MLibor33根据逆浮动利率的票面利率公式，我们知道，当1MLibor等于17%时，逆浮动利率

债券的票面利率最低，即逆浮动利率的底为0，此时浮动利率债券的票面利率最高，即浮动利率的顶为20%。

当1MLibor等于0时，浮动利率债券的票面利率最低，即浮动利率的底为3%，此时逆浮动利率债券的票面利率最高，即逆浮动利率的顶为11.33%。

7．假定一张浮动利率债券（半年支付1次利息）的利率确定日是每年的1月1日，利率的计算标准是Libor+1.25%，如果Libor是6.5%，计算该债券半年支付的利息。

解答：

由于票面利率是期初约定，因此，该债券在期初的票面利率为6.5%+1.25%=7.75%，所以该债券半年支付的利息为：

100×7.75%/2=3.875元

第2章固定收益证券的价格与收益率概念

1．去学校周边银行营业部、保险公司营业部等，了解一下其理财产品，思考这些产品是单利还是复利？并对其背后的经济含义进行阐述。

解答：

大多属于单利产品，提供的理财产品从本质上讲也属于固定收益证券的一种。 2．债券定价的基本原理是什么？该原理是否能用于其他金融产品的定价？ 解答：

现金流贴现原理，该原理在特定条件下可用于其他金融产品的定价，比如股权/公司自由现金流估值、固定类收益产品的未来现金流估值、保险年金产品的定价等都是基于现金流贴现原理。

3．思考有哪些因素会影响到债券的投资回报？影响债券回报率的因素有哪些？ 解答：

影响因素较大，外部因素如发行主体、市场宏观经济因素等，内部因素的属性包括期限、

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票面利率、税收待遇、流动性、可转换性、可延期性、可赎回条款等期权条款等都会影响到投资回报。

4．查阅相关资料，了解我国债券市场上的债券交易价格的现状，挑选几只不同溢价、折价或平价的债券样本，比较它们交易价格走势的差异，并进行解释。

解答：

提示：可转债等产品折价的可能性较大，普通债券产品一般溢价，与债券发行的时机及票面利率的设定有关。

5．某银行贷款报价利率为年百分比利率（APR）6%，请计算： （1）若按年、月和日分别计复利，则年实际利率应为多少？

（2）若本金总额为1万元，且计息方式如（1）所述，则半年、1年及2年应支付的利息总额分别应是多少？

解答：

（1）根据年百分比利率的内涵

若按年计算复利，则年实际利率应等同于年百分比利率，即6%

若按月计算复利，则年实际利率为(16%/12)16.1678% 若按日计算复利，则年实际利率为(16%/365)3651216.1831%

（2）若本金总额为1万元，按（1）中的计算方式，以年计算复利为例， 则半年支付的利息总额：10000(16%)10000295.63 则1年支付的利息总额：10000(16%)10000600 则2年支付的利息总额：10000(16%)100001236

月计算复利、日计算复利的利息总额计算过程略。

6．假设某投资者A以90元的价格购买了一份将于2年后到期的零息国债，该国债面值为100元，试计算投资者购买该债券的到期率是多少？若是1年半后到期，到期收益率又是多少？

解答：

假设投资者购买该债券的到期收益率为y，则有

21290100y5.41% 2(1y)若是1年半后到期，则到期收益率y应满足：

90100y7.28%

(1y)1.57．李四花1000元买入面值为1000元的某3年期债券，债券票面利率为10%，半年付息1次，试计算：

（1）债券的当期收益率是多少？ （2）债券的到期收益率是多少？

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（3）若李四买入的不是面值为1000元的债券，而是购买的如表2.6现金流分布的金融产品，试计算李四若持有这个金融产品到期，其到期收益率是多少？

表2.6 李四购买的金融产品在不同时间点的现金流分布 时间点（半年） 0 1 2 3 4 5 6 解答：

（1）债券的当期收益率10%。由于债券是半年付息一次，所以当期（半年）的本期收益率为5%，转换成年本期收益率，即为10%

（2）债券的到期收益率为10%，面值等于价格，意味着票面利率与债券的到期收益率相等。

（3）假设李四购买的该产品，则其购买价格为1000元，若计算债券相当收益率，则其债券相当收益率设为y，则应满足

李四在该金融产品上的现金流变化 -1000 25 40 -50 -200 250 1050 100025405020025010501y/2(1y/2)2(1y/2)3(1y/2)4(1y/2)5(1y/2)6

y3.655%2540502002501050(1y)0.51y(1y)1.5(1y)2(1y)2.5(1y)3

y3.688%若直接计算到期收益率，则有

10008．设当前1年期、2年期及3年期即期利率分别为5%，5.5%和6.5%，试计算第2年对第3年远期利率的理论值是多少？

解答：

根据题意，第2年对第3年的远期利率的理论值应满足

(1i0,2)2(1f2,3)(1i0,3)3

即满足：

f2,3(16.5%)3118.5285%8.53% (1i0,2)2(15.5%)2(1i0,3)39．当其他条件不变时，随着债券到期日的临近，债券价格受利率波动的影响将发生怎

么样的变化？

A．债券受利率波动的影响变小 B．债券受利率波动的影响变大 C．债券受利率波动的影响不变

D．债券受利率波动的影响不能确定

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解答：A

10.假定市场上有一只债券，还有两年到期，该债券面值100元，票面利率为10%，每年付息一次。如果该债券的到期收益率为6%，试计算该当前的债券交易价格多少比较合理?若1年内债券的到期收益率保持不变，则1年后的今天，不用计算，分析判断该债券的价格如何变化？并阐明理由。

A．1年后的今天债券价格不变，因为债券的到期收益率没有变化。 B．1年后的今天债券价格上涨，因为债券在1年内产生了利息。

C．1年后的今天债券价格下降，因为溢价债券的价格随着到期日的临近收敛于面值。

D．无法判断。 解答：C

第3章固定收益市场概述

1．试说明以下债券的主要特征：道义债券、保险市政债券、次级债券、中期企业债券、结构债券。

解答：

道义债券是以发行人的道义和政府的拨款程序为支持的一类市政债券，这些债券不一定与政府的税收直接联系，但有关这些债务款项的使用和拨款必须已经得到法定机构的认可和批准。保险市政债券是指债券的偿还保障，除了来自发行者的收入能力之外，还由来自保险公司的保险，以商业保险公司保证到期时支付债权人未清偿债务部分的债券，从而通过保险公司的偿还保险保证提升了市政债券的信用水平。次级债券的发行有助于提高其资本充足性、增强自律和增加市场透明度，可以在一定程度上满足国际银行业对银行资本充足率的要求及对表外业务管理的需要（满足金融机构）。中期企业债券主要是由企业发行的用于满足其融资需求的金融工具（满足非金融机构）；而结构债券主要是现金流的重组，可以降低原资产池的违约风险，通过分级证券的方式满足不同投资者的需求。

2．试说明当期发行、前期发行及多期前债券间的关系。 解答：

当期发行是指在一级市场上刚拍卖发行的债券，被新发品种替代的前期发行的“当期新发债券”称为前期发行债券，而那些曾经被新发债券多次替代的品种则称为多期前发行债券。在某一时点上，前期发行债券可能有多个，构成这些债券之间关系的基础是剩余到期时间接近（注意，并不一定是同一品种，主要与剩余期限有关），之所以区分当期新发和前期新发，主要原因在于相同期限的债券，当期新发债券的流动性通常较好，收益率一般相对较低。

3．试讨论国债招标拍卖过程中几种招标方式的异同，并分析其各自的利弊。 解答：

主要包括荷兰式招标（一价式招标）、美国式招标（多价式招标）和混合式招行（略） 4．试比较和分析银行间债券市场、交易所债券市场和银行柜台市场之间的异同及其关系。

解答： 略

5．假设某基金公司从美国债券市场上买入面值为100万美元的美国通胀补偿国债（半年付息一次），真实利率为2.5%。如果随后半年的CPI-U指数为4%（年通胀率），试计算：

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（1）6个月末时，本金调整额为多少？ （2）调整后的本金额为多少？

（3）6个月末债券组合应得的利息额是多少？

（4）如果半年后，下一个半年的年通货膨胀率为5%，请问1年后该债券调整后的本金额为多少？1年期期末时，该债券的应得利息是多少？

（5）再假如在第3个半年里，年通货膨胀率为-3%，请问在第3个半年期满时，债券调整后的本金是多少？当期应得的利息是多少？

解答： （1）6个月末时，本金调整额为：

100(14%/2)1002万美元 （2）调整后的本金额为：

100(14%/2)102万美元 （3）6个月末债券组合应得的利息额为：

100(14%/2)2.5%/21.275万美元

（4）如果半年后,下一个半年的年通货膨胀率为5%,请问1年后该债券调整后的本金额为多少?1年期期末时,该债券的应得利息为多少?

100(14%/2)(15%/2)104.55 1年期期末时，该债券的应得利息为：

100(14%/2)(15%/2)2.5%/21.306875 （5）第3个半年期满时，债券调整后的本金是：

100(14%/2)(15%/2)(13%/2)102.9818 当期应得的利息：

100(14%/2)(15%/2)(13%/2)2.5%/21.287272

6．根据美国国债的报价规则，请计算债券的价值。

表3.10 美国国债报价 报价 93-31 105-7 95-7+ 116-5+ 100美元面值的价格 93.96875 105.2188 97.27438 116.1719 面值 5000 1000000 100000 300000 债券价格 4698.438 1052188 97274.38 34851.56 解答：

根据美国债券的报价规则

93-31表示债券价格为面值的（93+13/32）%，即93.96875% 105-7表示债券价格为面值的（105+7/32）%，即105.2188% 95-7+表示债券价格为面值的（97+7/32+1/64）%，即97.27438% 116-5+表示债券价格为面值的（116+5/32+1/64）%，即116.1719%

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7．假设我国发行了5年期零息票债券，面值为100 元，发行价为70元，请计算： （1）该债券的折扣率是多少？

（2）如果按单利计算，债券的收益率是多少？ （3）如果按年计复利，债券的年收益率为多少？ （4）如果按债券相当收益率（半年实际利率×2），则债券的收益率是多少？ 解答：

（1）债券的折扣率为70%

（2）如果按单利计算，债券的收益率为：

1007018.571% 705（3）按年计复利，债券的年收益率为：5100/7017.394% （4）债券的相当收益率为：(10100/701)27.262%

8．某国债拟发行规模为200亿，八名投标人的投标及招标结果如表3.11所示，请分别计算在一价式招标、多价式招标下国债的发行价格分别是多少？

表3.11 某国债招标过程中不同投标的报价及中标量情况 投标人 A B C D E F G H 投标价格（元/百元面值） 100 99.9 99.8 99.7 99.6 99.5 99.4 99.3 中标量 35 25 46 55 30 9 投标量 35 25 46 55 30 20 39 23 解答： 若采用一价式招标，则国债的发行价格为99.5元，其中投标人A、B、C、D、E全部中标，而投标人F只能中9亿元。

若采用多价式招标，则A、B、C、D、E、F分别按照其报价成交，国债的发行价格同样按照不同投标人的中标价采用多价式发行。

9．2013年10月22日，某投资者以面值为200万元的企业债券为质押做回购，该债券折扣率为80%，回购期限为7天，回购利率4%，问应计利息为多少？到期结算金额为多少？

解答： 根据题意，

应计利息=成交金额×回购利率×回购期限÷365

=债券面值×折扣率×回购利率×回购期限÷365

可解得应计利息为：2000000×80%×4%×7/365=1227.4元 到期结算金额为：1600000+1227.4=1601227.4元

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第4章固定收益证券的利率风险分析

1．试分析“市场利率的同等幅度变动，将导致所有久期相同的债券价值也发生同等变动”的说法是否正确。

解答：

这种说法不正确，因为不同债券即使久期相同，其凸率可能存在着差异，因此导致的债券价格的变动幅度亦存在着差异。 2．有两只债券A和B，当前的价格分别为80元和60元，修正比率久期值分别为5和6，请问哪一只债券的风险更高，为什么？ 解答：

根据利率变动对债券价格影响的公式：

P11DdyD(1y)DMyP1y1y

若市场利率变动100个基点，即1%，则两只债券A和B的价格变动的幅度分别是5%和6%，从相对价格变动幅度看，B债券的利率风险高。但从价格变动的绝对金额看，A债券的价格变动值为4元（80×5%），而B债券价格变动为3.6元（60×6%），A债券价格变化的绝对金额较高。

3．某债券的期限为20年，但有分析员报告债券的久期为21年，财务经理认为这是不可能的，因为经理认为债券的久期不可能超过其期限；但分析员反复检查后，确信自己的计算没有错，请问这是怎么回事？ 解答：

分析员报告债券的久期超过债券的期限的情景是可能存在的，如果债券未来的现金流不是单一的存在正的现金流流入，而是呈现流入与流出同时存在的情况，则债券的久期可能会延长。或若债券的票面利率为逆浮动利率，则也可能存在着久期延长的情景。

4．有两个分析师在测量某债券的凸率时，分别得出120和10两个值，且都坚信自己没有错，请问这有可能吗？ 解答：

这种情景可能存在，两个分析师选择的凸率指标可能存在着差异，比如一个选择有效凸率，一个选择比率凸率或修正凸率。另外，比如都是计算有效凸率，但选择的利率波动的幅度不同，计算的结果也存在着一定的差异。所以这是完全有可能的。

5．试问当债券的凸率分别为正和负时，应当选择凸率高还是低的债券，为什么？ 解答：

无论债券的凸率为正和负，都应当选择凸率值高的债券，因为若凸率为正，意味着市场利率发生变化时，无论利率上升或下降，对价格波动的影响都是正的，因此凸率越高，债券价格在利率下降时上升的幅度越高，而在利率上升时债券价格下降的幅度较小。若凸率为负值，则意味着利率上升时，债券价格下降的幅度比不考虑凸率时更大，显然凸率值为负值时，凸率值越大（绝对值较小），影响将相对较小。

6．某债券当前价格为1100元，面值为1000元，修正久期值为10，凸率为144，试估计出如果市场要求收益率上升或下降50、100个基点时，债券的价格变化。 解答： 债券价格的变化率为：

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P1Dy(y)2 P2价格的变化值为：PPDy1(y)2 2当市场要求收益率上升50个基点时，债券的价格变化为：

1P1100100.005144(0.005)253.02

2当市场要求收益率上升100个基点时，债券的价格变化为：

1P1100100.01144(0.01)2102.08

2当市场要求收益率下降50个基点时，债券的价格变化为：

1P110010(0.005)144(0.005)256.98

2当市场要求收益率下降100个基点时，债券的价格变化为：

1P110010(0.01)144(0.01)2117.92

27．一个债券当前价格为102.5元，如果利率上升0.5个百分点，价格降到100；如果利

率下降0.5个百分点，价格上升到105.5，请计算：（1）该债券的有效久期；（2）该债券利率下降1个百分点时的价格。 解答：

有效持续期为：

DeffectivePP105.5100/P/102.55.366

yy0.01该债券利率下降1个百分点时的价格为：

PPDeffective1%102.55.366%5.5

即债券的价格为102.5+5.5=108元

8．假设某5年期债券，面值为1000元，票面利率为6%，每年付息一次，到期收益率为8%。试计算该债券的金额久期、Macaulay久期。若到期收益率上升和下降10基点后，债券的价格分别为916.3736和923.9381，试计算该债券的有效久期。 解答：

首先计算债券的价格为：

P606060601060920.1458 234518%(18%)(18%)(18%)(18%).

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债券的金额久期为：

606060601060123454084.824 234518%(18%)(18%)(18%)(18%)债券的Macaulay久期为：

6060606010601234518%(18%)2(18%)3(18%)4(18%)54.439

920.1458债券的有效久期为：

DeffectivePP923.9381916.37362.055

2yP20.002920.14589. 设某债券每年支付利息100元，10年期，面值为1000元，平价交易，基收益率曲线为水平状，试求出其D系数。假设收益率曲线不变化，在其他条件不变时，试求债券的期限分别为3年、5年和8年时的D系数分别是多少？ 解答：

解：若债券的期限是10年，则其D系数为：

10D10t1Ctt(1i)P010010011001002910t(110%)1(110%)2(110%)9(110%)10 1000100010001000解得：D106.76

若债券的期限是3年，则其D系数为：

1001100100(110%)(110%)2(110%)3D3123

100010001000解得：D32.74

若债券的期限是5年，则其D系数为：

1001001001100100(110%)(110%)2(110%)3(110%)4(110%)5D512345

10001000100010001000解得：D54.17

若债券的期限是8年，则其D系数为：

Ctt(1i)P01001001100100278t(110%)1(110%)2(110%)7(110%)81000100010001000D8t18解得：D85.87

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10. 给定下列债券，试构建两个不同的债券组合，但组合的D系数都为9：

债券 A B C

D系数

5 10 12

解答：

显然只有债券A与B、B与C构成的组合，它们的D系数才可能为9，首先考虑A与B构成的组合，设该组合中债券A所占的比例为x，根据题意则有：

5x10(1x)9 解得：x0.2

这说明在A与B构成的组合中，如果债券A所占的比例为20％，债券B所占的比例为80％，则该组合的D系数为9。

同样的方法可求出在A与C构成的组合中，如果债券A所占的比例为42.9％，债券B所占的比例为57.1％，则该组合的D系数为9。

11. 投资者被要求将下列债券考虑进公司的固定收入投资组合：

发行者 Wiser公司

票息（%）

8

到期收益（%）

8

到期（年）

10

D系数（年）

7.25

（1）（a）解释为什么债券的D系数小于到期期限。

（b）解释到期期限为什么没有D系数更适合于度量债券对利率变化的灵敏度。 （2）简要解释下列条件对此公司债券D系数的影响：

（a）票息为4%而不是8%。

（b）到期收益为4%而不是8%。 （c）到期期限为7年而不是10年。 解答： （1）（a）因为投资者在债券持有期间有现金流收入。

（b）这是因为用到期期限来度量债券对利率变化的灵敏度忽视了债券中间时期的

现金流，仅关注到期时的最后支付，然而利息支付（中间时期现金流）对于利率风险是很重要的；而利用D系数度量债券对利率变化的灵敏度则考虑到了这些不足。

（2）（a）D系数增大。因为总的现金流的大部分依利息支付形式更晚出现。

（b）D系数增大。到期收益率低，会使得债券后期的现金流的现值较大，进一步

使得后期年数的加权系数变大，从而导致D系数增大。

(c) D系数变小。因为到期期限越短，现金流回报越快，从而D系数变小。

12. 假设有面值为1000元、年息票利息为100元的5年期债券按面值出售。若债券的到期收益率提高到12%，则价格变化的百分比是多少？若到期收益下降到8%，则价格变化的百分比又是多少？ 解答： 易知该债券的到期收益率y，y10%。

.

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进一步，可计算出该债券的D系数为：

1001001001001100(110%)(110%)2(110%)3(110%)4(110%)5D5123454.17

10001000100010001000因此，当债券的到期收益率提高到12％时，其价格变化率为：

4.1712%10%7.58%

110%当债券的到期收益率下降到8％时，其价格变化率为：

8%10%7.58%

110%13. 假设一张20年期、息票为零、到期收益率为7.5%的债券。计算利率下降50个基点

4.17时价格变化的百分比，并与利用凸率计算出来的价格变化百分比进行比较。 解答：

由于该债券为零息债券，故该债券的D系数为：D20，当利率下降0.5％时，债券价格的变化率为：

200.5%9.3%

17.5%进一步的，可计算出该债券的凸率为：

2021C201(1i)20V

2P0而C20P0(1i)20 因此，

2021C201V2(1i)20P012021210 2于是利用凸率计算出来的价格变化百分比为：

200.5%0.5%2210()9.76%

17.5%17.5%

14. 面值1000元、票面利率12%（按年支付）的3年期债券的到期收益率为9%，计算它的D系数和凸率。如果预期到期收益率增长1%，那么价格变化多少？ 解答：

首先，计算债券的现值：

P012012011201075.94

(19%)(19%)2(19%)3计算债券的D系数为：

.

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1201120120(19%)(19%)2(19%)3D1232.7

1075.941075.941075.94债券的凸率为：

1201120120(19%)2(19%)31(19%)V1223345.2

21075.941075.941075.94由于预期到期收益率增长1％，故该债券价格变化的百分比为：

2.71%1%25.2()2.44% 19%19%到期期限（年）

2 6

年票面利率（%）

8 12

到期收益（%）

10 10

现时时价（元）

965.29 1087.11

D系数 1.925 4.665

15. 投资者有4年计划期，可以选择两种债券：

债券 1 2

如何构造债券组合，使其D系数等于投资计划期？债券组合的价格是多少？计算利率

上升（下降）1%这个债券组合是免疫的（再投资按年计算）。

解答：

假设债券1在投资组合中所占的比例为x，为了使D系数等于投资计划期4年，则需：

1.925x4.665(1x)4

解得：x0.243

进一步求得债券组合的价格为：

965.290.2431087.110.7571057.51

当到期收益率为10％时，经计算，在投资计划期末，债券1的回报为1168，债券2的回报为1591.63，债券组合的总回报为1488.69。当到期收益率为11％时，经计算，在投资计划期末，债券1的回报为1168.8，债券2的回报为1582.3，债券组合的总回报为1481.82，这与到期收益率为10％时债券组合的总回报基本相等，故这个债券组合是免疫的。

16．一个10年期零息债券的到期收益率为10%，那么该债券的修正久期是多少？ 解答：

由于零息债券的久期等于其期限，故其久期为10年，那么修正久期为：

109.09年

110%17．判断：

（1）对于某个特定的债券，假设其金额久期为550，金额凸率为-20，如果利率期限结构向上平行移动20个基点，资本损失近似为110.40元。√

（2）如果金额凸率在当前利率水平为零，那么价格利率曲线的常数斜率的直线。√ （3）对于给定的债券，假设其金额久期为550，金额凸率为100。如果对于所有到期期限，利率期限结构向上移动1个基点，新的久期将近似为400。√ 18．以下说法哪个不正确？

A．债券久期随着债券票面利率的变小而增大；

B．债券久期随着债券剩余付息次数（期限）的增大而增大；

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C．债券久期随着债券到期收益率的增大而减小； D．债券凸率随着久期的增大而增大。

19．一种债券的票面利率为6%，每年付息，年化修正久期为10年，面值1000元，以800元出售，按8%的到期收益率定价。如果到期收益率变成9%，估计价格下降的程度。 A．价格下降10% B.价格下降1% C.价格下降6% D.价格下降1.25%

20.一种债券票面利率是6%，半年付息一次，凸率是120，以票面值的80%出售，年化到期收益率是8%。如果该收益率增加到9.5%，估计因凸率而导致的价格变化的百分比是多少？ A．由凸率引起的价格变动百分比是8% B．由凸率引起的价格变动百分比是1.35% C．由凸率引起的价格变动百分比是6% C．由凸率引起的价格变动百分比是1. 5%

第5章利率期限结构

1．传统的利率期限结构理论有哪些？这些理论之间的相互关系是什么？ 解答：

主要包括纯预期理论、流动性偏好理论、市场分割理论、期限偏好理论，可以从对长、短期利率替代性、收益率曲线向上倾斜的原因、解释收益率曲线变化的能力三个方面来进行比较，具体可参照教材P130页表5.4。

2．请用市场分割理论解释我国短期利率和长期利率的差别。 解答： 略

3．请利用某一天的数据，来刻画我国的到期收益率曲线（银行间或交易所市场），并尽量解释到期收益率曲线生成的主要因素是什么。

解答： 略

4．请利用间隔一年的数据，来刻画我国的到期收益率曲线（银行间或交易所市场），并尽量解释到期收益率曲线发生了怎样的变化，主要原因是什么。

解答： 略

5．假设债券的面值都是100元。1年期零息债券当前的价格是96元，2年期零息债券当前的价格是90元，2年期零息债券1年后的价格有可能是93 元或97元。投资者有针对2年期零息债券的认购选择权，执行日是1年后，执行价格是94元。在二项式树图中，我们不知道利率上升与下降的状态概率。能否根据上述信息求出认购选择权今天的价格？请根据得出的认购选择权今天的价格，推导出状态概率。

解答：

首先根据1年期零息债券的价格和2年期零息债券的价格，可推导出1年期和2年期的即期利率分别为：

.

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96100i0,14.1667% 1i0,1901001i0,22i0,25.4093%

根据无套利原理，我们易知1年后的远期利率为：

1i0,22(1i0,1)(1f1,2)f1,26.6667%

由于1年后2年期零息债券的价格可能是93元或97元，那我们可分别计算出对应利率树的1年期即期利率水平分别为：

若1年后2年期零息债券的价格为93元，则对应的1年期即期利率为：

931001i0,1,27.5269% 11i0,1,2若1年后2年期零息债券的价格为97元，则对应的1年期即期利率为：

971002i0,1,23.0928% 21i0,1,2根据无套利定价原理，则1年后不同利率分叉上的利率的利率贴现值应等于1年后的即期利率的贴现值。假设状态概率为p，则有：

p1p1 121i0,1,21i0,1,21f1,2由此可推导出

p0.8125，1p0.1875

由此可推导出2年期零息债券在现在的价格为：93p97(1p)93.75 而根据1年后的执行价格为94元，可计算认购权的价格为9493.750.25 由此可计算出投资者的认购选择权现值为：0.25/1i0,10.24

6．假定短期利率以年为基准发生变化，即期利率为6%，并且通过对年度利率波动的计算，得到利率的年标准差为0.5%。2年期零息债券的市场价格为88.75元，3年期债券的市场价格为83.34元，根据利率波动的一般模型画出利率波动树图。

解答：

根据2年期零息债券的价格和3年期零息债券的价格，我们可以分别计算出2年期和3年期的即期利率为：

88.751001i0,22i0,26.149%

83.341001i0,33i0,36.263%

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假设利率为连续利率，其波动服从

drdw

其中，dr表示利率在一年内的波动，表示利率在一年内波动的基点，dw表示一个

随机变量，其均值为0，标准差为dt

根据题意，drdw0.5%

r0 r dt r02r0r02dtdt 0

7. 假设目前证券市场上，如果长期债券利率为4.8%，而短期债券利率为5.8%,那么这种现象称为什么？产生这种现象意味着什么？并试从利率期限结构的相关理论思想来进行解释？

解答：

利率反转意味着在货币政策执行方面将会放松流动性，即预期未来的利率水平下降。（ 但针对利率反转问题，并没有完全合理的解释，如可从利率期限结构的纯预期理论和市场分割理论的角度来分别认识， （1）从市场分割理论的角度讲，投资者认为短期债券市场和长期债券市场是两个分割的市场，短期债券市场的利率由短期资金的供需来决定，而长期债券市场的利率由长期资金的供需来决定，两个市场是相互分割的市场。若短期利率与长期利率倒挂，有可能是由于投资者对长期债券的需求增加，而对短期债券的需求减少，资金从短期债券市场转向长期债券市场。

（2）从纯预期理论的角度讲，投资者预计未来利率下降，债券的价格将上涨，同时由于长期债券的久期高于短期债券，因此相对于利率的变化价格变化会更加明显。投资者过于追求长期债券而导致长期债券的价格上升，利率下降。这一点与从市场分割理论的角度解释类同。

第6章到期收益率与总收益分析

1．假定到期收益率曲线是水平的，都是5%。某债券票面利率为6%，1年支付1次利息，期限3年。如果到期收益率曲线平行上升1%，请计算债券价格的变化。

解答：

首先计算在到期收益率曲线5%水平情况下的价格

3Ct1001006%100P102.7232 t3t3(1i0,3)(15%)t1(1i0,t)t1(15%)3 若到期收益率曲线平行上升1%至6%，则由于票面利率等于到期收益率，因此债券的价

格等于面值100元，所以债券的价格将下降2.7232元（102.7232-100）

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2．假定某债券面值为100元，期限为3年，票面利率为6%，1年支付2次利息。试计算：

（1）若该债券市场价格100元，请计算债券本息累积到第3年年底的总价值（假设再投资收益率与到期收益率相等）。

（2）若该债券市场价格为103元，假设再投资收益率为4%，请计算债券本息累积到第3年年底的总价值，并计算投资者持有期内的年实际收益率。

（3）若该债券市场价格为95元，假设再投资收益率为4%，请计算债券本息累积到第3年年底的总价值，并计算投资者持有期内的年实际收益率。

解答： （1）若债券市场价格为100元，则意味着债券的到期收益率与票面利率相等，即为6%，若到期收益率与再投资收益率相等，则累积到第3 年末的本息总价值为：

100(13%)6119.4052

若根据现金流终值计算原则，假设再投资收益率为r，则3年末的债券总价值为：

C(1r)tt166t1001006%/2(13%)6t100119.4052

t16（2）若该债券的市场价格为103元，假设再投资收益率为r，则债券本息累积到第3年年底的总价值为：

C(1r)tt166t1001006%/2(14%)6t100118.9244

t16假设投资者持有期内的年实际收益率为ra，则有：

103(1ra/2)6118.9244

进一步的可得

ra4.8498%

事实上，根据债券的市场价格103元，由于债券溢价交易，显然债券的到期收益率小于债券的票面利率，利用规划求解，我们可以推算出债券的到期收益率为4.912%，由于债券的再投资收益率低于债券的到期收益率，所以持有期内的实际收益率介于到期收益率和再投资收益率之间。

（3）若该债券的市场价格为95元，假设再投资收益率为r，则债券本息累积到第3年年底的总价值为：

C(1r)tt166t1001006%/2(14%)6t100118.9244

t16假设投资者持有期内的年实际收益率为ra，则有：

95(1ra/2)6118.9244

进一步的可得

ra7.6289%

.

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事实上，根据债券的市场价格95元，由于债券折价交易，显然债券的到期收益率大于债券的票面利率，利用规划求解，我们可以推算出债券的到期收益率为7.9047%，由于债券的再投资收益率低于债券的到期收益率，所以持有期内的实际收益率介于到期收益率和再投资收益率之间。

3．一个20年期限的债券，面值100元，现在价格110元，票面利率6%，1年支付2次利息，5年后可以按面值回购。计算该债券的到期收益率和至第一回购日的到期收益率。

解答：

由于债券价格高于面值，显然到期收益率低于票面利率，根据到期收益率的计算原则，设到期收益率为yMT，则有：

40Ct1001006%/2100110110t40t40(1yTM/2)(1yTM/2) t1(1yTM/2)t1(1yTM/2)40yTM5.19%若计算至第一回购日的到期收益率，同样利用现金流贴现原理，假设yHPR为至第一回购日的到期收益率，则应满足

10Ct1001006%/2100110110t10t10(1yHPR/2)(1yHPR/2) t1(1yHPR/2)t1(1yHPR/2)10yTM3.786%4．某投资者购买—张债券，面值为1000元，价格为1100元，票面利率为8%（1年支

付2次），偿还期限为8年。求该债券的到期收益率，并对总收益进行分解，并对总收益的利率敏感性进行分析。

解答：

由于债券的价格高于债券的面值，这意味着债券的票面利率高于债券的到期收益率，根据现金流贴现原理，假设债券的到期收益率为r，则有：

16Ct100010008%/2100011001100t16t16 (1r/2)(1r/2)(1r/2)t1(1r/2)t1r6.384%16进一步的，由于到期收益率6.384%，每半年得3.192%，如果这一收益是肯定的，那么在到期日累积的收入将为：

1100(1.03192)161818.609

因此，总收益为1818.609-1100 = 718.609 分解：

利息加上利息的再投资收益

(1.03192)16140818.609

0.03192（2）利息的再投资收益818.609– 40×16=178.609

（3）资本利得1000-1100=-100

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总收益的利率敏感性主要体现在利息的再投资收益方面。

5．假定利率期限结构是水平的，为10%。假设投资者可以按该利率借入和贷出资金。同时市场上还有另外三种无风险债券出售，价格均为100元。其中债券A为2年期零息债券，在2年后支付550元。债券B和C都是1年期零息债券，债券B在1年后支付225元，债券C在1年后支付250元。

（1）计算每个债券的年到期收益率，并分析说明到期收益率是不是一个可靠的投资决策指标。

（2）一个可能的投资策略是买入债券A和C，另一个是买入债券B和C。计算这两个组合的到期收益率（按年复利计息）。比较这两个投资组合，并且说明到期收益率并不是一个可靠的投资决策指标。同时请说明，可以通过加总各个组成成分的净现值来获得组合的净现值，而组合的到期收益率并不等于其各个成分的到期收益率的简单加权平均。

解答：

（1）分别假设债券A、B、C的到期收益率为rA、rB、rC， 则债券A的到期收益率为

100550rA134.52%

(1rA)2债券B的到期收益率为

100225rB125% 1rB债券C的到期收益率为

100250rC150% 1rC从三只债券的到期收益率指标分析，并不能判断出那个债券较好，相对于债券B，债券C较好，但由于债券A是两年期债券，未来的再投资收益率未知，故到期收益率不一定是可靠的投资决策指标。

（2）

假设A和C构成的债券组合（记为组合Ⅰ）中A债券的权重为，而在债券B和C构成的债券组合（记为债券Ⅱ）中B债券的权重为，由于三只债券的面值均为100元，因此，对于组合Ⅰ，则有

1002505501 21rI1rI25022511rII1rII

100显然到期收益率指标不足以衡量投资决策，不过通常，组合的现值等于组合中不同债券的现值之和，但组合的到期收益率却不等于组合中不同债券到期收益率的加权平均和（具体见教材例6.3）

6．判断说明下列那些债券是平价出售、折价出售和溢价出售。

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表6.6 债券的票面利率与到期收益率（市场利率）之间的关系 债券 1 2 3 4 5 6 票面利率 5.80% 4.30% 6.10% 4.80% 6.20% 5.50% 到期收益率 5.80% 4.00% 5.90% 4.80% 6.80% 5.90% 解答： 根据票面利率与到期收益率的内涵区别，票面利率衡量发行人愿意支付给投资者的成本，而到期收益率为投资者要求的回报率，如票面利率大于到期收益率，表明投资者要求的回报率低于发行人愿意提供的，此时发行人不愿意支付较高的回报率，发行人将以一定的溢价发行债券，表明债券的价格高于债券的面值。因此， 债券 1 2 3 4 5 6 票面利率 5.80% 4.30% 6.10% 4.80% 6.20% 5.50% 到期收益率 5.80% 4.00% 5.90% 4.80% 6.80% 5.90% 溢价、平价、折价关系 平价 溢价 溢价 平价 折价 折价

7．有一张面值1000元，期限20年的附息债券，票面利率8%，1年付息1次，利息分别于时点1，2，……，20支付，市场利率期限结构如下表6.7所示：

表6.7 市场提供的利率期限结构情况 时间t 0 1 2 3 4 5 6 即期收益率 2.2847 3.7462 3.8337 3.8617 3.8851 3.9228 3.9447 时间t 7 8 9 10 11 12 13 即期收益率 3.9918 3.9938 3.9957 4.0092 4.0371 4.0796 4.1302 时间t 14 15 16 17 18 19 20 即期收益率 4.1823 4.2295 4.2704 4.3088 4.3457 4.3822 4.4194

请计算并回答： （1）求出该债券在时点1的全价（假定你在时点1购买债券，该期的利息支付给卖者）。 （2）假定到期收益率曲线平行向下移动100个基点，求出该债券在时点1的价格（假定投资者在时点1购买债券，该期的利息支付给卖者）。

（3）假定到期收益率曲线平行向上移动100个基点，求出该债券在时点1的价格（假定投资者在时点1购买债券，该期的利息支付给卖者）。

解答：

由于是计算在时点1的全价，首先要计算出在时点1为基准的未来不同的即期利率，我们基于利率期限结构的纯预期理论，在时点1，未来1年期（即时点2）的即期利率，可得：

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1i1i1ff0,20,11,221,21i1i0,20,121i1i1f0,30,11,3222f1,31i0,31i0,131 13121i0,411i0,41i0,11f1,4f1,41i0,1LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL34计算出来的f1,2、f1,3、f1,4……分别表示在时点1上，1年期、2年期、……19年期等不同期限的即期利率，即可通过现金流的贴现原理来进行债券定价。 （1）在时点1，债券的价格为：

19Ct100010008%10001475.767 t19t19(1i)(1i)(1f)(1f)t1t10,t0,191,t11,2019（2）若到期收益率曲线平行向下移动100个基点，则用调整后的即期利率来计算未来不同时点的即期利率，经调整后债券的价格为1654.682元

（3）若到期收益率曲线平行向上移动100个基点，则用调整后的即期利率来计算未来不同时点的即期利率，经调整后债券的价格为1320.235元（具体计算过程见Excel计算过程）

第7章债券的剥离与合成

1．债券合成有几种方法，在市场允许卖空的条件下，是否意味着不同的债券之间可以相互合成？请说明你的理由？

解答：

主要有零息债券合成附息债券、附息债券合成零息债券、年金证券与零息债券合成附息债券。

在市场允许卖空的条件下，这表明债券之间是可以相互合成的，只要保证未来的现金流相匹配，即可进行任意债券的合成。

不过值得注意的是，前提一是债券都不能违约和不嵌有期权，二是合成的债券可以无限分割，即有时合成时需要涉及到小数点的位数问题。

2．债券套利的核心思想是什么？在债券套利过程中存在哪些风险，如何规避或管理这些风险？

解答：

债券套利的核心思想是零投资、零风险和正收益，在套利过程中，由于影响债券价格波动的风险因素较多，如市场利率的变化、违约行为的发行等都可能会影响到债券的正常套利。

3．下表是关于四种无违约风险债券的交易价格和现金流量情况。所有债券都在时点3上或者在此之前到期。

表7.8 四种债券的价格和现金流分布情况 .

0 1 2 3 精品文档

A B C D 100.2 93 92.85 110 10 100 5 15 10 105 15 110 115 请问：市场是否存在套利机会？如果有，如何实现这一机会？ 解答：

首先，由1单位的债券B和1单位的债券C可以合成在第1期和第2期分别为105的现金流，即

185.85105105 21i0,11i0,2进一步的，可推导出

1.7711 21i0,11i0,2假若市场有效，即对于债券A，可得

11110110100.21017.72331i0,11i0,21i0,3 1i0,3i0,310.0642%而对于债券D，则有

111151151101526.552331i0,11i0,21i0,3 1i0,3i0,311.2817%很显然，利用B和C的合成，对A和D进行定价时，计算得到的3年期的即期利率存在差异，显然市场存在着错误定价，即存在着套利的空间。

因此，我们可以利用B、C、D来合成A债券来获取套利，即通过卖空债券A，买入债券D，卖出B和C的组合来获得套利。

具体的操作思路是： 1单位B和1单位的C 需要D债券的份数 需要B和C组合的份数 此时债券组合的现金流 卖空1份A债券 可获得 0.956522 时点0 185.85 - 时点1 105 14.34783 10 -10 0 时点2 105 14.34783 10 -10 0 时间3 110 110 -110 0 将D债券第3期的现金流调整为110元 此时D债券的现金流分布 0.04141 -97.52174 100.2 2.67826 卖空4.34783元的B和C组合 -4.347826 -4.347826 具体而言，即卖空一份债券A，获得100.2元，然后买入0.956522单位的D债券，卖.

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出0.04141单位的B和C的债券组合，可获得2.678元的无风险套利。

4．一个面值为100元的附息债券A，期限为2年，票面利率为10%，每年付息1次，市场价格为110元。同时市场上有两个面值为100元的零息债券B和C，其中债券B的期限为1年，价格为96元；债券C的期限为2年，价格为93元。请问附息债券A的定价是否合理？如果不合理，你能否设计并构建一个套利组合。

解答：

根据题意，债券A、B、C的现金流分布如图所示： 债券A 债券B 时点0 110 96 时点1 10 100 时点2 110 债券C 93 100 如果用0.1单位的B债券和1.1单位的C债券进行合成，则B和C的债券组合所形成的现金流与A债券刚好相等。 债券A 债券B 债券C 时点0 110 96 93 时点1 10 100 时点2 110 100 0.1单位B债券+1.1单位C债券 111.9 10 110 但很明显，债券A的价格低于债券B和债券C的合成，即市场存在着套利的机会。具体的操作策略是：

卖空0.1单位的债券B和1.1单位的债券C，共得获得111.9元，同时花110元买入1单位的债券A，可获得无风险套利1.9元。

5．市场上有三种除票面利率外面值、到期期限和利息支付时点都相同的债券A、B、C，三种债券的票面利率分别为6%、3%和5%，面值为100元，期限为4年，三种债券的信息如表7.9所示。

表7.9 三种债券的票面利率、期限及市场价格情况 债券 A B C 票面利率 8% 6% 4% 期限(年) 4 4 4 时点0的价格 100 97 95 请根据上述数据，分析判断这三种债券的定价是否合理？如果不合理，请说明理由，并提供投资操作建议。

解答：

由于三种债券的到期期限一样，所以其面临的利率期限结构是一样的。我们不妨设第t期的折现因子为dt，则根据债券的定价原理，我们利用债券A和B的价格来表示不同期限的折现因子，如： A债券：1004dt1t8t100d8

B债券：973dt18100d8

.

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则可解得：

dt18t3

d80.88

因此债券C的价格如果用A债券和B债券复制，则C债券的合理价格应为：

2dt100d894，低于目前债券C的市场价格。这意味着投资者可以卖空C债券，

t18买入A和B的组合，来获得套利的机会。

6．有四种债券A、B、C、D，均为无违约风险的政府债券。表7.10给出四种债券的价格及未来时点的现金流情况，假设市场允许买空和卖空，且所有债券都是第3年年末或之前到期，试分析判断：

表7.10 四种债券的价格及未来不同时点的现金流分布情况 债券 A B C D 价格（元） 101.00 92.00 91.50 108.0 第一年 10 100 5 15 第二年 10 0 105 15 第三年 110 0 0 115 以上债券价格是否存在套利机会？如果存在，如何操作并获得套利收益？ 解答： 解答：

首先，由1单位的债券B和1单位的债券C可以合成在第1期和第2期分别为105的现金流，即

183.5105105 21i0,11i0,211 21i0,11i0,2进一步的，可推导出

1.748假若市场有效，即对于债券A，可得

1111010110231i0,11i0,21i0,3 i0,39.6217%而对于债券D，则有

1111510815231i0,11i0,21i0,3 i0,312.0315%.

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很显然，利用B和C的合成，对A和D进行定价时，计算得到的3年期的即期利率存在差异，显然市场存在着错误定价，即存在着套利的空间。

因此，我们可以利用B、C、D来合成A债券来获取套利，即通过卖空债券A，买入债券D，卖出B和C的组合来获得套利。

具体的操作思路是： 1单位B和1单位的C 需要D债券的份数 需要B和C组合的份数 此时债券组合的现金流 卖空1份A债券 可获得 0.956522 时点0 185.85 - 时点1 105 14.34783 10 -10 0 时点2 105 14.34783 10 -10 0 时间3 110 110 -110 0 将D债券第3期的现金流调整为110元 此时D债券的现金流分布 0.04141 -95.706 101 5.294 卖空4.34783元的B和C组合 -4.347826 -4.347826 具体而言，即卖空一份债券A，获得101元，然后买入0.956522单位的D债券，卖出0.04141单位的B和C的债券组合，可获得5.294元的无风险套利。

7．假定市场上存在无违约风险的A、B、C、D、E五种债券，这些债券的现金流量以及买人与卖出的价格如表7.11所示。

表7.11 五种债券的报价及未来不同时点现金流量分布情况 债券 A B C D E

投资者希望构建一个债券组合，该组合在不同的时点至少产生如下现金流：时点1产生50，时点2产生200，时点3产生160。满足这一条件将有很多选择，但现在要求成本最低。假如市场不允许卖空，投资者应如何构建组合；如果允许卖空呢？又该如何构建组合，并请给出分析的过程和理由。 解答：

若不允许卖空，则投资者如果持有债券，则必然按Ask的价格获得

不妨假设A、B、C、D、E的份数分别为x1、x2、x3、x4、x5，则构建的目标函数及约束条件应是

面值 100 100 100 100 100 价格（元） Ask 93.32 90.41 86.65 108.02 112.70 Bid 91.81 88.97 84.14 105.07 110.90 1 100 8 12 现金流量 2 100 8 112 3 100 108 .

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min93.32x190.41x286.65x3108.02x4112.70x5st.100x18x412x550100x8x112x200245100x3108x4160x1,x2,x3,x4,x50利用规划求解，可得到：

x10.3815x1.88152 x30x1.48154x50此时满足在时点1产生50，时点2产生200，时点3产生160的现金流，且此时构建组合的成本最小，为365.734元。

若允许卖空，则意味着投资者可以借入债券来进行投资，但若投资者卖空债券，则需要以bid的价格获得现金流流入，若市场允许卖空，则投资者完全可以构建一个零投资的组合，由于涉及到符号运算，这里略。

第8章资产证券化

1．筒述资产证券化的基本结构。 解答：略

参见教材P192图8.1

2．特设目的载体伐在在资产证券化化中发挥了怎样的作用？ 解答：略，主要是破产隔离等

3．住房抵押贷款品种在美国有哪些创新？ 解答：略

传统固定利率贷款、可调整利率抵押贷款、渐进偿还抵押贷款、逆向年金抵押贷款、

价格水平调整抵押贷款、增值共享型抵押贷款、质押存款账户抵押贷款、买低贷款

4．固定利率贷款与浮动利率贷款对住房借款人和贷款银行有哪6些不同？ 解答：略

通常，固定利率贷款可以让借款人预先知道借款的成本和每月偿还的数额，便于他们安排财务支出计划；同时对借款人而言， 在对他们有利的市场情况下可以提前清偿贷款余额。但FRM也存在不足之处，比如在市场利率较高和较低时发放的抵押贷款对商业银行的收益会产生非常大的差别。例如，在利率较低的时发放住房抵押贷款，由于贷款期限较长，当利率上升时，对商业银行不利；而若在高利率发放住房抵押贷款，当市场利率下降时，则对借款人不利。虽然可能存在提前偿还贷款，但却受制于借款人的经济承受能力。

5．一般来讲，借款人提前偿还贷款的主要理由有哪些？ 解答：略。

如借款人死亡或搬迁、市场利率发生变化导致借款人能够以更低的融资成本获

.

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得资金、借款人丧失以抵押贷款还债等情景下，都可能发生借款人提前还款的行为。 6．什么是扩张风险？哪些投资者担心扩张风险？ 解答：略

7．什么是收缩风险？哪些机构担心收缩风险？ 解答：略

8．举例说明按次序支付的CMO的生成。 解答：略，参见教材8.3节

9．I0与PO的利率风险特征有什么不同？ 解答：略

PO（仅付本金债券）一般以低于面值的价格出售，投资者的收益取决于债券面值与出售价格之间的差价以及抵押贷款本金的偿还速度。差价越大，收益就越高；本金偿还速度越快，收益也越高。购买了PO的投资者希望利率会持续下降。

IO（仅付利息债券）没有面值，IO投资者获得的利息源于未偿还的本金，风险主要源于市场利率的下降而引起的抵押贷款提前偿还。IO债券的投资者希望利率继续保持不变或有所提高。

PO与IO的风险和收益会因不同利率条件而产生急剧的变动，这两类证券对利率和由此而引起的提前偿付率小幅变动极其敏感，而PO和IO债券的变动方向恰恰相反。

当利率下降时，PO债券投资者获利增加；反之，当利率下降时，IO投资者收益下降，甚至可能无法收回购买IO所支付的金额。

10．计算表8.19中的抵押担保资产池的加权平均息票利率和加权平均到期时间。

表8.19 抵押担保资产池中不同资产的信息情况 资产编号 1 2 3 4 5 现有余额 350000 250000 180000 420000 11000 贷款利率 5.5% 6.5% 5.8% 6.6% 6.2% 剩余期限（月） 180 150 125 360 135

解答：

资产池中的加权平均息票利率为：

rwri155iiwi1i3500005.5%2500006.5%1800005.8%4200006.6%110006.2%350000250000180000420000110006.14%

加权平均到期时间

.

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twti155iiwi1i35000018025000015018000012542000036011000135

35000025000018000042000011000227.65即平均息票利率为6.14%，加权平均到期时间为227.65个月。

12．判断“由美国政府信用担保的一些机构债券，因为有政府担保，所以其还本付息过程中，不存在任何不确定的因素，同样由于这样的原因，所有由这些机构发行的债券都可以被证券化。”这句话是否正确，并给出相应的解释理由。

解答：

这句话是不完全正确的，影响债券还本付息的因素有很多，有些是政府不能左右的，特别是资产证券化的产品。比如利率风险、通货膨胀风险，提前偿付风险等。也并不是所有的债券都可以证券化，通常要求可以证券化的产品应具有可理解的信用特征、可预测的现金流、平均偿还期至少为1年、拖欠率和违约率低、完全分期偿还、多样化的借款者、清算价值高。若拟证券化的债券资产池中的资产数量较少或金额最大的资产所占比例过高；资产的收益属于本金到期一次偿还；付款时间不确定或付款间隔期过长；资产的债务人有修改合同条款的权利等特征，则不宜证券化。

13．假如某过手证券在第150个月时，担保贷款余额为4.25亿美元，当月应偿付的本金总额为380000美元，且PSA值为180，试计算当月的提前偿付额为多少？

解答：

根据美国FHA的经验中对30年的住房抵押贷款为基础的提前偿付基准的假定，在第150个月，年提前偿付比率将达到6%，即CPR6%，由于假设提前偿付率为180%PSA，则第150个月的月提前偿付比率为：

SMM15011216%1.80.948%

则当月提前偿付额为： （425000000-380000）×0.948%=4024924元

14．某CMO债券以利率为7.5%的抵押贷款为基础，结构如表8.20所示，如果某投资公司以这些债券为基础构造一个息票利率为7.5%的仅息债券组份，试计算这一仅息息组份的名义本金额应为多少？

表8.20 CMO债券中不同组份的构成情况 组份 A B C D 票面额 350000000 250000000 180000000 420000000 息票利率（%） 6.5% 5.8% 6.6% 6.2% 解答： 仅息组份的名义本金额为： 350000000×（7.5-6.5%）+250000000×（7.5-5.8%）+180000000×（7.5-6.6%）+420000000×（7.5-6.2%）=14830000元

15.判断“通过CMO，债券的发行人可以完全规避提前偿付风险”是否正确，给出你的理

.

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由。

解答：

不正确，CMO只是尽可能的使债券偿还所需的现金流与资产池回收本息的现金流相匹配，并不存在完全的现金流匹配，所有的现金流只是估计的现金流，并不能完全规避。

16．设某资产担保债券的结构如表8.21所示

表8.21 资产担保债券中不同组分的金额构成 组份 优先级 次级组份1 次级组份2 金额（百万美元） 310 60 30 为这些债券担保的抵押贷款总额为4.2亿美元，其中次级组份2是最先承担损失的组份，请问：

（1）这些债券的超额担保率是多少？

（2）如果担保资产出现1800万美元的损失，各组份的损失额分别是多少？ （3）如果担保资产的损失为2500万美元时，各组份的损失额分别是多少？ （4）如是要担保资产的损失为5000万美元时，各组份的损失额分别是多少？ 解答：

（1）根据题意，抵押贷款总额为4.2亿美元，而资产担保债券的现金流池的金额为4亿元，所以超额担保率为105%

（2）根据次级组份优先吸收损失的原则，或担保资产出现1800万美元的损失，则直接由组份2吸收，即优先级、次级组份1和次级组份2损失额分别为0,0,1800万

（3）根据次级组份优先吸收损失的原则，或担保资产出现2500万美元的损失，则直接由组份2吸收，即优先级、次级组份1和次级组份2损失额分别为0,0,2500万

（4）根据次级组份优先吸收损失的原则，或担保资产出现5000万美元的损失，则直接由组份2吸收，即优先级、次级组份1和次级组份2损失额分别为0,2000,3000万

17．有以下债券质押债务（CBO）结构：

（1）CBO总额为3亿美元，加权平均收益率为10%

（2）质押的债券离到期的时间还有10年，债券息票利率为10年期国债收益率加500个基点。

（3）CBO中，优先级组份占60%，息票利率为Libor+100个基点。

（4）只有一只次级组份，额度为1亿美元，息票利率为10年期国债利率+200个基点。 （5）债券管理机构通过互换达成利率互换协议，约定向对方支付10年期国债利率+80个基点的固定利率，同时收到Libor，名义本金量为1.8亿美元。

请问：

（1）CBO中权益组份的金额是多少？

（2）假定10年期国债的收益率为5%，且债券不会违约，则每年的现金流及其分布情况如何？

（3）不考虑管理费，每年归权益组份的现金流是多少？ 解答： 解答：

（1）由于CBO总额为3亿美元，优先级组份占60%，次级组份额度为1亿美元，故权益组

.

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份的金额为0.2亿美元。

（2）若10年期国债的收益率为5%，则次级组份的票面利率为7%，而同时由于债券管理机构通过互换达成利率协议，约定对方支付10年期国债利率+80个基点，同时收到libor，则意味着优先级组组份的票面利率为6.8%,如债券不违约，则每年的现金流及其分布如下表所示：

根据题意，我们假设按150%PSA提前偿付比率进行偿付，然后计算出不同组份优先股的现金流状况，优先组份的本金将最优受到偿付，而优先组份的利息和次级组份的利息会每期支付，权益组份的利息支付为0，仅有本金支付。 通过计算，不同组份的现金流如下： 本金总额 债券利率 加权平均利率 加权平均到期时间(月) 提前偿付率 150 PSA 优先股份票面利率 次级组分票面利率 债券发行时间 1 2 贷款时间 1 2 组份A 组份B 300000000 0.1 0.1 120 1.5 0.068 0.07 组份C 总本金支付 0 0 利 息 0 0 余 额 总本金支付 利 息 余 额 总本金支付 利 息 余 额 现金流 180000000 1539258.79 1020000 100000000 178460741.2 176835482.3 175125139.3 173330703.1 5359183.585 2701277.579 63441.64381 0 1625258.89 1011278 100000000 0 0 583333.3 20000000 583333.3 20000000 3142592 3219870 3 3 1710343.05 1002068 100000000 0 583333.3 20000000 0 0 3295744 4 4 1794436.12 992375.8 100000000 0 583333.3 20000000 0 0 3370145 5 5 1877463.68 982207.3 100000000 0 583333.3 20000000 0 0 3443004 63 63 2657906.01 30368.71 100000000 0 583333.3 20000000 0 0 3271608 64 64 2637835.94 15307.24 100000000 0 583333.3 20000000 0 0 3236477 65 65 2617923.31 359.5026 100000000 97445518.34 94847351.45 77200495.87 74754901.57 2554482 583333.3 20000000 0 0 3201616 66 66 0 0 2598167 568432.2 20000000 0 0 3166599 67 67 0 0 0 2578565 553276.2 20000000 0 0 3131842 74 74 0 0 0 2445594 450336.2 20000000 0 0 2895931 75 75 0 0 0 2427190 436070.3 20000000 0 0 2863260 .

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76 76 0 0 0 0 0 0 72327711.7 2408930 3561113.827 1666631.918 1894482 421911.7 20000000 20773.16 20000000 0 0 0 0 2830841 1915255 108 108 109 109 110 110 111 111 112 112 118 118 119 119 120 120 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1880403 9722.02 20000000 213771.1 19786229 1866435 17919794 1852576 16067219 1838826 5236761 1758565 3478197 1745553 1732644 1732644 0 0 0 0 0 0 0 1890125 1866435 1852576 1838826 1758565 1745553 1732644

（3）如果不考虑管理费，由于权益股份的现金流最后偿付，所以在第109个月时，优先组份和次级组份的本金偿付完毕，此时开始支付权益组份的本金，权益组分的本金支付现金流为： 期数 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

余 额 20,000,000 19,786,229 17,919,794 16,067,219 14,228,393 12,403,208 10,591,559 8,793,338 7,008,441 5,236,761 3,478,197 1,732,644 总本金支付 213,771 1866435 1852576 1838826 1825184 1811649 1798221 1784898 1771679 1758565 1745553 1732644 利 息 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第9章嵌入期权的债券定价

1．期权与保险有什么异同？ 解答：

性质相同，略

2．看涨期权与看跌期权的平价关系的原理是什么？ 解答：

1份看跌期权和标的股票构建的组合和1份看涨期权可能有相同的收益结构 1份看涨期权和标的股票构建的组合和1份看跌期权可能有相同的收益结构

.

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S0：时刻0的价格，股票现价

ST：时刻T的价格

rB为借款利率，rL为贷款利率

K为执行价格 C为看涨期权价格 P为看跌期权价格

设想一个组合A，由1份股票、1份看跌期权、再加上借款KerBT构成，则该借款到期日应还：

KerBTerLTKe(rLrB)T

一个资产组合和1份看涨期权的现金收益： 组合A 买股票 买看涨期权 借款 组合A 买看涨期权

若组合A比看涨期权便宜，投资者买A卖出看涨期权，不可能长久存在：

所以：CS0PKerBT

若看涨期权价格比组合A价格小，投资者将购买看涨期权而卖出组合A

所以组合A的价值也不可能比看涨期权价格大，有：

到期日价值 STK ST STK ST 0 K STK STK EST K 0 0 S0PKerLTC

所以：S0若rBrLr 则有PCS0PKerBTCS0PKerLT

KerT

看涨期权价格较高时，买入股票，购买1份看跌期权，借款，同时买出看涨期权 看涨期权价格较低时，卖空股票，卖出看跌期权，贷款，同时买入1份看涨期权

3．利用Black-Scholes模型给基于固定收益证券选择权定价时有哪些不足？ 解答：

B-S期权定价公式比较适合于对股票的定价，但对于债券而言不太适合，主要原因：

第一，B-S模型假定证券价格对应一定的概率上涨或下跌到任何水平。但债券在假设无违约风险的前提下，现金流相对稳定，价格的上涨或下跌空间有限，即使考虑到利率波动风险，但由于风险溢价的存在，债券市场利率为负值也不太现实。

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第二，B-S模型假定市场上的无风险利率存在且在一定时期内相对稳定，但在债券市场上，最主要的风险就是市场利率风险，利率的上涨和下跌直接影响到债券嵌入的期权能否被行权，这会对期权的定价产生较大的影响。

第三，B-S模型假定价格波动率不变，但债券价格的波动率与偿还期的长短有较大关系，在接近偿还期时，价格风险降低。 4．可转换债券的特点和价值分解如何？ 解答：

可转换债券兼具债权和期权的特征，具体表现在以下四个方面：

（1）债权性：与其他债券一样，可转换债券也有规定的利率和期限，转股前持有人作为债权人，收取利息。持有人可以选择不转换，持有债券到期，收取本息。

（2）股权性：可转换债券在转换成股票之前是纯粹的债券，但在转换成股票之后，原债券持有人就由债权人变成了公司的股东，可参与企业的经营决策和红利分配，这也会在一定程度上影响公司的股本结构。

（3）可转换性：可转换性事实上是附加在可转换债券里的期权，债券持有人可以按约定的条件将债券转换成股票。转股权是投资者享有的、一般债券所没有的选择权。

（4）其他附加权益：可转换债券一般还会附有其他的权益来保护转换过程中发债方和投资者，例如可赎回的可售回条款以及转股价修正条款等。

因此，可转换债券的价值可以分解为纯债券价值与各种内嵌期权的价值之和

5．可转换债券融资对于融资者和投资者的优势和劣势分别是什么？ 解答：

可转换债券通常具有税收、利息的节省、优化资本结构、有助于公司连续融资、股东利益与投资者利益捆绑等优势。具体而言，

从融资的角度看，因为具有可转换权，可转换债券票面利率一般低于普通公司债券的票面利率，企业发行可转换债券可以降低筹资成本，因此对发债企业也很有吸引力。另外，进入转股期后，可转债可以分期转为公司股票，可以调节企业的资本结构。

从投资角度看，可转换债券这种兼具债券和股票双重特点的金融工具，对投资者很有吸引力。当股票市场处于牛市时，股票的价格一般未来继续看好，投资者选择转股，享受股票价格上涨的好处；当股票处于熊市，股票的价格未来持续看跌时，投资者不转股，继续持有或者转让债券，可以避免股票下跌的风险。

但是可转换债券的风险也比较明显，第一，当股票市场处于牛市时，可转换债券的价格往往已提前上涨，购买可转换债券有可能在高位被套；第二，当股票市场处于熊市时，转股可能性大幅下降，转股权的价值非常小。考虑到可转换债券较低的票面利率和当初购买时已经为转股权付出代价这两个前提条件，投资者面临亏损的风险也很大。

6．有人说某债券的期权调整利差是180 个基点时，你认为还应当从哪些方面对这种说法加以界定才能更准确？

解答：

首先，要假设债券的理论收益率与市场收益率之间存在着某个恒定的利差；其次，期权调整利差的基准利率需要确定，由于OAS主要受流动性差异和期权风险的影响，通常选用国债利率作为基准，在对企业债券进行定价时，还要考虑到信用风险的差异。（略）

7．一个60天的认购选择权，允许购买者购买100股A公司股票，其中：股票现价为7元，执行价格为6.5元，融资成本为5%，股票波动率为年20%。在未来60天内，A公司不

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会支付股息。请计算：

（1）公司选择权的价值

（2）在到期时该期权内在价值为正的概率有多大？ （3）避险组合的权重。 解答：

我们利用B-S期权定价公式对该债券进行定价，则有

CSgN(d1)KgerTgN(d2)

其中，

ln(S/K)(r2/2)Td1， d2d1T

T这里，C为买入期权价格；S为标的股票当前市价；K为期权行权价；T为距到期日时间；r为无风险利率；为股价变动标准差。

根据题意，则有S7,K6.5,r5%,20%,t1/6，代入上述公式，则有：

ln(S/K)(r2/2)Td1Tln(7/6.5)(5%0.04/2)0.21/6161.05052

d2d1T0.96887

根据期权定价公式

CSgN(d1)KgerTgN(d2)0.5988

即公司选择权的价值为0.5988元

8．假设有一只剩余期限为3年，面值100元，票面利率5%的可赎回债券，假设未来4年的到期收益率结构为4.85%、4.95%、5.05%、5.15%，波动率均为10%，赎回价格为100元，求其当前的合理价格。

解答：

（可参照教材中例9.2来计算）

9．设A公司新发债券的发行条件如表9.4所示：

表9.4 A公司新发债券的发行条件 距离到期期限 1 2 3 到期收益率（%） 7.2% 7.6% 7.7% 发行价格 100 100 100 假设利率的波动率为15%，试计算：

（1）用剥离法，计算出3年期的即期利率； （2）绘出利率树

（3）分析所绘的利率树是否存在套利机会；

（4）说明表9.4中几个发行价之间是否存在套利机会；

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（5）计算A公司息票利率为8%的3年期债券的无套利价格；

（6）假如上述8%债券是可赎回的，赎回条件是1年以后（从第2年开始），如果债券价格高于面值时，将按面值赎回，试计算此时债券的价值。

（7）对于发行人，债券赎回权的价值是多少？

（8）若该债券不能被赎回，但可以从第2年开始，当债券价格低于面值时，可按面值的101%回售，试计算债券的价值及回售权的价值；

（9）若该债券同时包含上述的赎回权和回售权，试计算债券的价值。 解答： 根据题意

（1）由于距离不同到期期限的债券的到期收益率分别为7.2%、7.6%和7.7%，且发行价格均为100元，这表明

1至3年的即期利率分别为7.2%、7.6%和7.7%。

10．图9.15为风险中性的利率树图，并且在任何一年短期利率（一年期利率）上升或下降的概率都是50%。一张债券的面值为100元，到期期限为4年，票面利率为12%。第一年、第二年、第三年和第四年后的回购价格分别为103元、102元、101元和100元，请计算该可回购债券的价格。

23.50%

19.42%

15.58%

14.32%

10% 13.77

解答： 98.83

9.79%

% 9.76%

9.50%

图9.15不同时点上各结点的利率值

12.70%

112

10190.6910210391.59**

112

*88.59

*

10196.90

10296.81

*

112

10199.38*

103101.84*102*102.21

112

101*102.28.

112

t4

t0 t1 t2 t3

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在未来的不同时间结点上，发行人会分别在第3期和第2期行使回购权，回购价格分别为101元和102元，在此基础上，计算得到的债券的现值为98.83元（具体计算过程见Excel表格）

11.当其他因素不变时，下面关于可赎回债券的表述哪些是错误的？ A．可赎回债券的价格随着利率的上升而增加

B．发行可赎回债券相当于持有一个普通债券的空头和一个看涨期权的多头 C．与等价的普通债券相比，可回售债券的看跌期权特征降低了其收益率 D．可回售期权的价格随着利率的上升而降低。 解答： ABD

12．某投资者持有一份可回售期权，为了构建无套利组合，该投资者应如何操作？ A．一份对应的不含权普通债券多头和一份对应债券的看涨期权多头 B．一份对应的不含权普通债券多头和一份对应债券的看涨期权空头 C．一份对应的不含权普通债券多头和一份对应债券的看跌期权多头 D．一份对应的不含权普通债券多头和一份对应债券的看跌期权空头 解答： B

13．以下哪个指标不属于可转换债券的债性指标？ A．纯粹价值 B．到期收益率 C．纯债溢价率 D．转股溢价率 解答： D

14.对于可转债而言，对应股票价格的波动率越大，可转债的价值如何变化？ A．增加 B．降低 C．不变

D．不能确定 解答： A

第10章固定收益证券衍生产品

1．2年半以前，A公司达成了一项“支付固定/收取浮动”利率互换协议，互换利率为6%，

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名义本金为100。浮动利率为3个月Libor，每年支付利息4次，互换的剩余期限是1年。利率互换的浮动端3个月支付1次，固定端6个月支付1次。当前半年期、1年期的Libor利率分别是6%、9%。计算当前该互换合约对A公司的价值。

解答：

计算互换的价值，就是计算隐含在互换中的两个债券的价值，首先计算互换中固定端债券的价值，则有：

Vfix3e0.060.510397.046 e0.091根据浮动利率债券定价原理，在利率重设日（票息日），浮动利率债券的价格等于其面值，所以价格等于100：

Vfloat100

那么互换的价值是

Vswap10097.0462.954

A公司因为持有这一互换而处于盈利状态，其收益为2.954元。

2．某欧式债券的看涨期权有效期为10个月，基础资产为面值1000美元，剩余期限为10年，票面利率为5%（1年付息2次）的美国国债，当前债券的价格（全价）为960美元。期权全部执行价格为1000美元，当前的无风险利率为5.5%，债券价格9个月后的年波动率为10%。下一个付息月是3个月后。试计算欧式债券看涨期权的价值。

解答：

首先计算持有期内利息的现值，即：

I25e1/40.05525e3/40.05548.648

根据B0960,I48.648,D(0,T)exp(0.0550.75)0.9596 而该债券在期权到期时的价格为：

FBB0I(96048.648)/0.9596949.73

D(0,T)本例中“期权执行价格为1000美元”有两种理解：一是理解为全价执行价格，直接代入公式计算即可。另一种是净价执行，需要计算累积到期权行权日的利息，这里仅用全价执行价格来进行计算，计算得：

2ln(FB/K)BT/2ln(949.73/1000)(10%)20.75/2d10.55226BT10%0.75

d2d1BT0.63887c0.9596[949.73N(0.55226)1000N(0.63887)]13.752

3．假设一次n5的信用违约互换，违约概率p为0.02，本金为A1元，回收率记为

R40%。当前年利率为r3%，CDS信用事件的判定为每年的年中，D0.5年。试求解CDS价格。

解答：

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首先，计算买方向卖方支付的价值。该价值由两个部分组成：一是每年的定期支付，二是可能发生的累计支付。先计算每年的定期支付，如下表所示。

CDS买方的一部分支付

CDS买方每年的定期支付 支付现值 违约概率 时间t 存活率 预计支付（万元） 贴现因子 P(t) 0.2 P(t) 0.8 sAP(t) 0.8s 0.64s 0.512s 0.4096s 0.32768s 1/(1r)t 0.9709 sAP(t)(1r)t 0.7767s 2 0.16 0.64 0.9426 0.6033s 3 0.128 0.512 0.9151 0.4686s 4 0.1024 0.4096 0.8885 0.3639s 5 0.08192 0.32768 0.8626 0.2827s 合计 2.4951s 然后，分析一下可能发生的累计支付，由于CDS信用事件的判定为每年年中，计算过程如下表所示：

CDS买方的另一部分支付 支付现值 违约概率 累计支付（万元） 贴现因子 判定点P(t)DsA时间t t P(t)P(t)DsA1/(1r) D t1 (1r)0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.2 0.16 0.128 0.1024 0.08192 合计 0.1s 0.08s 0.064s 0.0512s 0.04096s 0.9853 0.9566 0.9288 0.9017 0.8755 0.0985s 0.0765s 0.0594s 0.0462s 0.0359s 0.3165s 将上述累计支付相加，得到买累计支付为0.3165s。 其次，计算卖方的支付情况，由于卖方的支付判定是在年中，故时间t与买方支付点不同，计算过程如下表所示

CDS卖方的支付 违约概率 时间t 回收率 累计支付（万元） 贴现因子 支付现值 P(t) 0.2 0.16 0.128 0.1024 0.08192 R 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 (1R)P(t) 0.12 0.096 0.0768 0.06144 0.049152 合计 1/(1r)t 0.9853 0.9566 0.9288 0.9017 0.8755 (1R)AP(t) (1r)t0.1182 0.0918 0.0713 0.0554 0.0430 0.3798 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 将上述支付现值相加，支付现值的总额=0.3798。

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第三步，根据买方和卖方支出相等现值的原则，可以得到：

2.4951s0.3165s0.3798

求解得到：

s0.1351

即CDS的价格为0.1351元

4．在下面的互换：名义本金10000元，期限3年。固定利率支付方每年支付6%，同时收取浮动利率。他拥有选择权，使他随时可以终结互换。利率路径（上升、下降的概率均是50%）如下：

8%

6% 6%

5%

4%

图10.2三阶段利率路径图

试计算这一互换选择权的价值 解答：

根据利率路径，若未来市场利率大于7%，则投资者会选择互换，依据此计算原理，若时间2市场利率为7%，则投资者会行使互换权利，此时投资者的互换得益为100元（10000×（7%-6%）），此时互换终结，互换的价值为100元；但若未来市场利率为5%，则投资者不会行使互换权，此时其互换的价值为0。因此，若投资者在时间1行使互换权，则其互换权价值的现值为:

0.51000.5046.73

17%若投资者在时点1不行权，则在时间点若未来市场利率等于8%，投资者选择互换，此时投资者的互换得益为200元（10000×（8%-6%）），此时互换终结，互换价值为200元；而在未来市场利率为6%和5%的条件下，投资者都不会进行互换，因此，若投资者时间2行权，则互换权的价值为

0.50.52000.500.5018%43.27 17%所以投资者会选择在时点1行权，此时其互换价值的期望值为43.27元

5．利率路径（上升、下降的概率均是50%）如下：

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银行给你的公司100万元的贷款，该贷款是浮动利率贷款，但有利率上限和下限的规定，最高利率为6.25%，最低利率为4.75%

（1）画图说明你的公司在时点0、1、2的现金流量 （2）计算该笔贷款在时点0的价值

（3）你的公司需要支付银行多少钱，就与获得不含利率上下限贷款一样了？ 解答：

在时点1，贷款利率为5.5%，在利率上限和下限之间，贷款利息正常支付；而若到时点2，若市场利率达到6.5%，由于利率上限的存在，贷款利率执行6.25%的标准；而当市场利率下降到4.5%，由于贷款下限的存在，贷款利率执行4.75%的标准。因此，在时间1，公司的现金支付为100×5.5%=5.5万元。

而在时点2，当市场利率为6.5%时，公司的现金流量支付为100×6.25%=6.25万元，而实际上按照市场利率，应当支付6.5万元（因此相当于利率上限的存在为公司节省了0.25万元的现金流出）

当市场利率为4.5%时，公司的现金流量支出为100×4.75%=4.75万元,而按照市场利率，公司应支付4.5万元（因此相当于利率下限的存在为公司额外带来了0.25万元的现金流出） 因此： （1）公司在时点0的现金流入为100万元，现金流出为0；在时点1，现金流出为5.5万元，在时间2现金流出面临不确定性，若市场利率为6.5%，则公司的现金流出为6.25万元；若市场利率为4.5%，则公司的现金流出为4.75万元；

（2）公司贷款在时点0的价值除贷款本金外，主要就是嵌有利率上限和利率下限的期权定价，该利率上限相当于在利率上升时保护了公司的利益，而利率下限则相当于在利率下降时保护了银行的利益。因此，我们从公司的角度出发，计算贷款中含有期权的价值：

将时点2利率上限和利率下限时公司的损益进行贴现，贴现至时点1，则利率上下限期权的价值在时点1为：

0.52.50.5(2.5)0.027

16.5%14.5%进一步的贴现至时点0，则有期权在时点0的价值为：

0.0270.026

15.5%即该笔贷款在时点0的价值为100-0.026=99.974万元

（3）公司需要向银行支付这笔额外的期权费用2600元，就可以获得不含利率上下限贷款一样了。即公司相当于100万元的成本购买了价值99.974万元的贷款，差额为期权费用。

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