一、实验目的
1．探究弹簧形变与弹力的关系。
2．学会利用图像法处理实验数据，探究物理规律。 二、实验原理
1.如图所示，弹簧在下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相等。
2．用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹簧形变与弹力的关系。
三、实验器材
铁架台、毫米刻度尺、弹簧、钩码(若干)、铅笔、重垂线、坐标纸等。 [部分器材用途]
重垂线 坐标纸
四、实验步骤
1．根据实验原理图，将铁架台放在桌面上(固定好)，将弹簧的一端固定于铁架台的横梁上，在靠近弹簧处将刻度尺(分度值为1 mm)固定于铁架台上，并用重垂线检查刻度尺是否竖直。
2．记下弹簧下端不挂钩码时所对应的刻度l0，即弹簧的原长。
3．在弹簧下端挂上钩码，待钩码静止时测出弹簧的长度l，求出弹簧的伸长量x和所受的外力F(等于所挂钩码的重力)。
4．改变所挂钩码的数量，重复上述实验，要尽量多测几组数据，将所测数据填写在表格中。
记录表：弹簧原长l0＝________cm。
次数 内容 拉力F/N 弹簧总长/cm 弹簧伸长/cm
检查刻度尺是否竖直 绘制Fx图像，便于实验数据处理 1 2 3 4 5 6 1
五、数据处理
1．以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图，连接各点得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线。
2．以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式，并解释函数表达式中常数的物理意义。
六、误差分析 1．系统误差
钩码标值不准确和弹簧自身重力的影响造成系统误差。 2．偶然误差
(1)弹簧长度的测量造成偶然误差，为了减小这种误差，要尽量多测几组数据。 (2)作图时的不规范造成偶然误差，为了减小这种误差，画图时要用细铅笔作图，所描各点尽量均匀分布在直线的两侧。
七、注意事项
1．所挂钩码不要过重，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度，要注意观察，适可而止。
2．每次所挂钩码的质量差适当大一些，从而使坐标点的间距尽可能大，这样作出的图线准确度更高一些。
3．测弹簧长度时，一定要在弹簧竖直悬挂且处于稳定状态时测量，以免增大误差。 4．描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使各点均匀分布在直线的两侧。
5．记录实验数据时要注意弹力、弹簧的原长l0、总长l及弹簧伸长量的对应关系及单位。
6．坐标轴的标度要适中。
[基础考法]
考法(一) 实验原理与操作
1．如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个质量均为m的钩码探究在弹性限度内弹簧形变与弹力的关系。
(1)为完成实验，还需要的实验器材有：_____________________________________。 (2)实验中需要测量的物理量有：___________________________________________。
2
(3)图乙是弹簧弹力F与弹簧伸长量x的Fx图线，由此可求出弹簧的劲度系数为________N/m。图线不过原点是由于__________________。
(4)为完成该实验，设计实验步骤如下：
A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来；
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l0；
C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺；
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个、…钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码；
E．以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与伸长量的关系式。首先尝试写成一次函数，如果不行，则考虑二次函数；
F．解释函数表达式中常数的物理意义； G．整理仪器。 请
将
以
上
步
骤
按
操
作
的
先
后
顺
序
排
列
出
来
：
________________________________________________________________________。
解析：(1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和伸长量。
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与弹簧对应的长度)。
(3)取图像中(0.5,0)和(3.5,6)两个点，代入F＝kx解得k＝200 N/m，由于弹簧自身的重力，使得弹簧不加外力时就有形变量。
(4)根据实验操作的合理性可知先后顺序为C、B、D、A、E、F、G。
答案：(1)刻度尺 (2)弹簧原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与弹簧对应的长度) (3)200 弹簧自身的重力 (4)CBDAEFG
2．某同学做“探究弹簧形变与弹力的关系”的实验。
(1)图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为7.73 cm；图乙是在弹簧下端悬挂钩码后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量Δl为________ cm。
(2)本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项
3
中规范的做法是________。(填选项前的字母)
A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重 B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重
(3)图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量Δl与弹力F的关系图线，图线的AB段明显偏离直线OA，造成这种现象的主要原因是__________________________________________。
解析：(1)弹簧伸长后的总长度为14.66 cm，则伸长量Δl＝14.66 cm－7.73 cm＝6.93 cm。
(2)逐一增挂钩码，便于有规律地描点作图，也可避免因随意增加钩码过多超过弹簧的弹性限度而损坏弹簧。
(3)AB段明显偏离OA，伸长量Δl不再与弹力F成正比，是超出弹簧的弹性限度造成的。 答案：(1)6.93 (2)A (3)弹簧受到的拉力超过了其弹性限度 考法(二) 数据处理与误差分析
3．(2018·全国卷Ⅰ)如图(a)，一弹簧上端固定在支架顶端，下端悬挂一托盘；一标尺由游标和主尺构成，主尺竖直固定在弹簧左边；托盘上方固定有一能与游标刻度线准确对齐的装置，简化为图中的指针。
现要测量图(a)中弹簧的劲度系数。当托盘内没有砝码时，移动游标，使其零刻度线对准指针，此时标尺读数为1.950 cm；当托盘内放有质量为0.100 kg的砝码时，移动游标，再次使其零刻度线对准指针，标尺示数如图(b)所示，其读数为________ cm。当地的重力加速度大小为9.80 m/s，此弹簧的劲度系数为________ N/m(保留三位有效数字)。
解析：标尺的游标为20分度，精确度为0.05 mm，游标的第15个刻度与主尺刻度对齐，则读数为37 mm＋15×0.05 mm＝37.75 mm＝3.775 cm。
弹簧形变量x＝(3.775－1.950)cm＝1.825 cm， 砝码平衡时，mg＝kx， 所以劲度系数k＝＝答案：3.775 53.7
4．用如图甲所示的实验装置探究弹簧形变与弹力的关系。弹簧自然悬挂，待弹簧静止时，长度记为L0；弹簧下端挂上砝码盘时，长度记为Lx ；在砝码盘中每次增加10 g砝码，弹簧长度依次记为L1至L6。数据如下表所示：
4
2
mg0.100×9.80
N/m≈53.7 N/m。
x1.825×10－2
代表符号 数值/cm L0 25.35 Lx 27.35 L1 29.35 L2 31.30 L3 33.40 L4 35.35 L5 37.40 L6 39.30
(1)请根据表中数据在图乙中作图，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与Lx的差值。 (2)由图可知弹簧的劲度系数为________N/m；通过图和表可知砝码盘的质量为________g。(结果保留两位有效数字，重力加速度g取9.8 m/s)
解析：(1)根据描点作图法可得图像如图所示。
2
ΔF(2)根据图像及胡克定律ΔF＝kΔx，可得k＝＝4.9 N/m。由表格得到，弹簧原长
ΔxL0＝25.35 cm；挂砝码盘时Lx＝27.35 cm；由胡克定律知砝码盘质量m＝
4.9×0.273 5－0.253 5
kg＝10 g。
9.8
答案：(1)图见解析 (2)4.9 10
kLx－L0
＝g5．某同学在做“探究弹簧形变与弹力的关系”的实验中，所用实验装置如图甲所示，所用钩码质量均为30 g。他先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在弹簧的下端，每次都测出相应的弹簧总长度，并将数据填在表中。实验中弹簧始终未超过弹性限度，取g＝10 m/s。
(1)根据实验数据在图乙所示的坐标系中作出弹簧所受弹力大小与弹簧总长度之间的函数关系的图线。
钩码质量/g 弹簧总长度/cm 0 6.00 30 7.00 60 8.00 90 9.00 120 10.00 150 11.00 2
5
(2)该弹簧的自然长度为________cm；劲度系数k＝________N/m。
(3)若该弹簧所能承受的最大拉力(超过此值就不是弹性形变)为10.2 N，则弹簧的最大长度为Lm＝________cm。
(4)图线延长后与L＝5×10 m直线的交点的物理意义是___________________。 解析：(2)由作出的FL图线可知，图线与横轴的交点的横坐标表示弹簧弹力F＝0时弹ΔF簧的长度，即弹簧的自然长度，由图知为6 cm；图线的斜率即为弹簧的劲度系数k＝＝
ΔL30 N/m。
(3)由图像可以得出图线的数学表达式为F＝30L－1.8(N)，所以当弹簧弹力为10.2 N时弹簧长度最大，即Lm＝0.4 m＝40 cm。
(4)图线延长后与L＝5×10 m直线的交点表示弹簧长度为5 cm时的弹力，此时弹簧被压缩了1 cm，即表示弹簧被压缩1 cm时的弹力为0.3 N。
答案：(1)如图所示
－2－2
(2)6 30 (3)40 (4)弹簧被压缩1 cm时的弹力为0.3 N
[例1] (1)某次研究弹簧所受弹力F与弹簧长度L关系实验时，得到如图甲所示的F L图像，由图像可知：弹簧原长L0＝________ cm，求得弹簧的劲度系数k＝________ N/m。
(2)按如图乙的方式挂上钩码(已知每个钩码重G＝1 N)，使(1)中研究的弹簧压缩，稳定后指针指示如图乙所示，则指针所指刻度尺示数为________ cm。由此可推测图乙中所挂钩码的个数为________个。
[三步稳解题]
1．分析实验目的：测量弹簧的原长和劲度系数。
6
2．确定实验原理：水平放置弹簧，弹簧压缩对应的弹力大小等于钩码的重力。 3．制定数据处理方案
(1)由F＝k(L－L0)可知，FL图线的斜率等于弹簧的劲度系数。图线与L轴交点的横坐标为弹簧原长。
(2)弹簧的压缩量为(L0－L)，由F＝k(L0－L)求出弹力，则钩码个数N＝。
[解析] (1)由胡克定律F＝k(L－L0)，结合题图甲中数据得：L0＝3.0 cm，k＝200 N/m。 (2)由题图乙知指针所示刻度为1.50 cm，由F＝k(L0－L)，可求得此时弹力为：F＝3 N，故所挂钩码的个数为3个。
[答案] (1)3.0 200 (2)1.50 3
[例2] 某实验小组探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系。实验装置如图甲所示：一均匀长弹簧竖直悬挂，7个指针P0、P1、P2、P3、
FGP4、P5、P6分别固定在弹簧上距悬点0、10、20、30、40、50、60圈处；
通过旁边竖直放置的刻度尺，可以读出指针的位置，P0指向0刻度。设弹簧下端未挂重物时，各指针的位置记为x0；挂有质量为0.100 kg的砝码时，各指针的位置记为x。测量结果及部分计算结果如下表所示(n为弹簧的圈数，取重力加速度为9.80 m/s)。已知实验所用弹簧总圈数为60，整个弹簧的自由长度为11.88 cm。
2
x0(cm) x(cm) n k(N/m) 1P1 2.04 2.64 10 163 P2 4.06 5.26 20 ① ② P3 6.06 7.81 30 56.0 P4 8.05 10.30 40 43.6 P5 10.03 12.93 50 33.8 P6 12.01 15.41 60 28.8 k
(m/N) 0.006 1 0.017 9 0.022 9 0.029 6 0.034 7 (1)将表中数据补充完整：①________，②________。
11
(2)以n为横坐标，为纵坐标，在图中给出的坐标纸上画出 n图像。
kk 7
(3)图乙中画出的直线可近似认为通过原点。若从实验中所用的弹簧截取圈数为n的一段弹簧，该弹簧的劲度系数k与其圈数n的关系的表达式为k＝________N/m；该弹簧的劲度系数k与其自由长度l0(单位为m)的关系的表达式为k＝________N/m。
[三步稳解题]
1．分析实验目的：探究弹簧的劲度系数k与其长度(圈数)的关系。
2．确定实验原理：挂重物前，各指针对应的读数为弹簧原长x0，挂重物后，各指针对应的读数为弹簧伸长后的长度x，则有： mg＝k(x－x0)。
3．制定数据处理方案
1
(1)由mg＝k(x－x0)可求出k和 。
k11
(2)根据表中数据在坐标系n中描点连线，可得到n图像。
kk160
(3)由图线求出对应斜率，设为a，则表达式为k＝，而由n＝·l0再推得kan0.118 8与l0的关系式。
[解析] (1)根据胡克定律有mg＝k(x－x0)， 解得k＝1
mg0.100×9.80
＝－2 N/m≈81.7 N/m， x－x05.26－4.06×10
k≈0.012 2。
1
(2) n图像如图所示
k
8
1.75×10
(3)根据图像可知，k与n的关系表达式为k＝，
3
nk与l0的关系表达式为k＝
3.47
。
l0
[答案] (1)①81.7 ②0.012 2 (2)图像见解析 1.75×101.67×101.83×10
～之间均可(3)
3
3
3
n
nn
3.473.313.62
～之间均可
l0l0l0
[创新领悟]
实验原理的创新 1.弹簧水平放置，消除弹簧自身重力对实验的影响。 2.改变弹簧的固定方式，研究弹簧弹力大小与压缩量之间的大小关系。 实验器材的创新 1.用橡皮筋代替弹簧做实验。 2.拉力传感器显示的拉力F与橡皮筋的弹力并不相等，仅为橡皮筋弹力在水平方向的分力。 实验原理和数据处理的创新 1.用压力传感器测物体B所受支持力的大小，但与弹簧弹力大小并不相等，二者差值为m0g。 2.物体C下移的距离x为弹簧压缩量的变化量，即F＝m0g＋k(x0－x)＝m0g＋kx0－kx，故Fx图线斜率的大小为弹簧的劲度系数。 9
实验过程的创新 图1： 1.利用固定在弹簧上的7个指针，探究弹簧的劲度系数k与弹簧长度的关系。 2.利用“化曲为直”的思想，将探究劲度系数k与弹簧圈数的关系，转化为探1究与n的关系。 k图2： 利用浮力对弹簧弹力大小的影响，探究弹簧的劲度系数及钩码浮力的大小。 [创新考法]
1.如图为某同学在“探究弹簧形变与弹力的关系”时的实验装置，让刻度尺零刻度与弹簧上端平齐，弹簧不挂物体时下端指针所指的刻度为x0，在弹簧下用足够长的轻质细线挂上4个相同的钩码(弹簧处于弹性限度内)，静止置于烧杯T内，控制阀门S通过细胶管向烧杯中缓慢注水，依次浸没4个钩码，记录每浸没一个钩码时指针所指的刻度x1、
x2、x3、x4，已知每个钩码质量为m，重力加速度为g，以xn为纵坐标，n为横坐标建立坐标系，作出xn和浸没钩码个数n的关系图线，求得图
线斜率为a，纵截距为b，则该弹簧的劲度系数为________，每个钩码所受浮力为________。(用a、b、m、g和x0表示)
解析：设每个钩码所受浮力为F，由题意可列关系式k(xn－x0)＝4mg－nF，则xn＝－n4mg4mg4mga＋＋x0，解得k＝，F＝。 kb－x0x0－b答案：
4mg4mga b－x0x0－bFk2．某同学利用图1所示装置来研究弹簧形变与弹力的关系。设计的实验如下：A、B是质量均为m0的小物块，A、B间由轻弹簧相连，A的上面通过轻绳绕过两个定滑轮与一个轻质挂钩相连。挂钩上可以挂上不同质量的物块C。物块B下放置一压力传感器。物块C右边有一个竖直的直尺，可以测出挂钩下移的距离。整个实验中弹簧均处于弹性限度内，重力加
10
速度g＝9.8 m/s。实验操作如下：
2
(1)不悬挂物块C，让系统保持静止，确定挂钩的位置O，并读出压力传感器的示数F0。 (2)每次挂上不同质量的物块C，用手托住，缓慢释放。测出系统稳定时挂钩相对O点下移的距离xi，并读出相应的压力传感器的示数Fi。
(3)以压力传感器示数为纵坐标，挂钩下移距离为横坐标，根据每次测量的数据，描点作出Fx图像如图2所示。
①由图像可知，在实验误差范围内，可以认为弹簧弹力与弹簧形变量成________(选填“正比”“反比”或“不确定关系”)；
②由图像可知：弹簧劲度系数k＝________N/m。
解析：(3)①对B分析，根据平衡条件有：F弹＋m0g＝F，可知F与弹簧弹力呈线性关系，又F与x呈线性关系，可知弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比；②由题意可知，Fx图线斜19.6率的绝对值表示弹簧的劲度系数，则k＝ N/m＝98 N/m。
0.2
答案：(3)①正比 ②98
3.某物理实验小组在探究弹簧的劲度系数k与其原长l0的关系实验中，按如图所示安装好实验装置，让刻度尺零刻度与轻质弹簧上端平齐，在弹簧上安装可移动的轻质指针P，实验时的主要步骤是：
①将指针P移到刻度尺l01＝5 cm处，在弹簧挂钩上挂上200 g的钩码，静止时读出指针所指刻度并记录下来；②取下钩码，将指针P移到刻度尺
l02＝10 cm处，在弹簧挂钩上挂上250 g的钩码，静止时读出指针所指刻度并记录下来；③
取下钩码，将指针P移到刻度尺l03＝15 cm处，在弹簧挂钩上挂上50 g的钩码，静止时读出指针所指刻度并记录下来……重复进行，每次都将指针P下移5 cm，同时保持挂钩上挂的钩码质量不变。
将实验所得数据记录、列表如下：
次数 1 2 3 4
弹簧原长l0/cm 5.00 10.00 15.00 20.00 弹簧长度l/cm 7.23 15.56 16.67 22.23 钩码质量m/g 200 250 50 50 11
5
25.00 30.56 50 根据实验步骤和列表数据，回答下列问题：
(1)重力加速度g取10 m/s。在次数3中，弹簧的原长为15 cm时，其劲度系数k3＝________N/m。
(2)同一根弹簧所取原长越长，弹簧的劲度系数________(弹簧处在弹性限度内)。 A．不变 C．越小
B．越大 D．无法确定
2
解析：(1)弹簧的原长为l03＝15 cm时，挂钩上挂的钩码质量为50 g，所受拉力F3＝m3g＝0.5 N，弹簧长度l3＝16.67 cm，弹簧伸长x3＝l3－l03＝1.67 cm。根据胡克定律F＝kx，解得k3＝30 N/m。
(2)弹簧的原长为l05＝25 cm时，挂钩上挂的钩码质量为50 g，所受拉力F5＝m5g＝0.5 N，弹簧长度l5＝30.56 cm，弹簧伸长x5＝l5－l05＝5.56 cm。根据胡克定律F＝kx，解得k5＝9 N/m。由此可知，同一根弹簧所取原长越长，弹簧的劲度系数越小，选项C正确。
答案：(1)30 (2)C
4．某物理学习小组用如图甲所示装置来研究橡皮筋的劲度系数(遵循胡克定律且实验中弹力始终未超过弹性限度)，将一张白纸固定在竖直放置的木板上，原长为L0的橡皮筋的上端固定在O点，下端挂一重物。用与白纸平行的水平力(由拉力传感器显示其大小)作用于N点，静止时记录下N点的位置a，请回答：
(1)若拉力传感器显示的拉力大小为F，用刻度尺测量橡皮筋ON的长为L及N点与O点的水平距离为x，则橡皮筋的劲度系数为__________________(用所测物理量表示)。
(2)若换用另一个原长相同的橡皮筋，重复上述过程，记录静止时N点的位置b，发现O、
a、b三点刚好在同一直线上，其位置如图乙所示，则下列说法中正确的是__________。
A．第二次拉力传感器显示的拉力示数较大 B．两次拉力传感器显示的拉力示数相同 C．第二次所用的橡皮筋的劲度系数小 D．第二次所用的橡皮筋的劲度系数大
12
解析：(1)设橡皮筋与竖直方向夹角为θ，重物重力为G，结点N在竖直拉力(重物重力
FG)、橡皮筋拉力T和水平拉力F作用下处于平衡状态，满足图示关系，则sin θ＝，
T而sin θ＝，T＝k(L－L0)，联立得k＝
xLFL。
xL－L0
(2)由受力图知F＝Gtan θ，两次中G、θ均相同，所以两次拉力传感器显示的拉力示数相同，A错，B对；同理，两次橡皮筋的拉力也相同，而橡皮筋的原长相同，第二次的伸长量大，由胡克定律知第二次所用的橡皮筋的劲度系数小，C对，D错。
答案：(1)
FL (2)BC
xL－L0
13
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