1．在△ABC中，AB = AC，△ABC = 30°，△BDE是等边三角形，连接CD、AE．
(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，AE、BC交于点P，且AE△AC.若PC = 4，求PE的长；
(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是CD中点，连接AF、EF，求证：AE = 2AF ；
(3)如图3，在（2）的条件下，AB=8，E在直线BC上运动，将△AEF沿EF翻折得到
1△MEF，连接DM，G是AB上一点，且BG=AB，O是直线BC上的另一个动点，连
4接OG，将△BOG沿OG翻折得到△HOG，连接HM，当HM最小时，直接写出此时点D到直线EM的距离．
32．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinC＝．点K在AC边上，点M，N
5分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；
（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描9器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时
4长．
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB△CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD−DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
(1)求梯形ABCD的高和△A的度数；
(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
4．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连结AG、DE．
（1）猜想AG与DE的数量关系，请直接写出结论；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到图2，请判断：
（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）在正方形OEFG旋转过程中，请直接写出： △当α＝30°时，△OAG的度数；
△当△AEG的面积最小时，旋转角α的度数．
5．如图1，在ABC中，ACB90,CD平分ACB，且ADBD于点D．
（1）判断△ABD的形状；
（2）如图2，在（1）的结论下，若BQ22,DQ3,BQD75，求AQ的长； （3）如图3，在（1）的结论下，若将DB绕着点D顺时针旋转090得到DP，连接BP，作DEBP交AP于点F．试探究AF与DE的数量关系，并说明理
由．
6．如图，在Rt△ABC中，C90，AB5，AC4．动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PQAB交AC或BC于点Q，分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M．设PQM与ABC重叠部分的面积为S，点P运动的时间为tt0秒．
（1）当点Q在AC上时，CQ的长为______（用含t的代数式表示）． （2）当点M落在BC上时，求t的值．
（3）当PQM与ABC的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式． （4）点N为PM中点，直接写出点N到ABC的两个顶点的距离相等时t的值．
7．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ△AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使A，D在PQ异侧，设点P的运动时间是x（s）（0＜x＜2）．
（1）AP的长为 cm（用含x的代数式表示）； （2）当Q与C重合时，则x＝ s；
（3）△PQD的周长为y（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
8．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．设P点的运动时间为t．
（1）CP＝ cm．（用含t的式子表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
9．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，BC=5
3 ，△C=30°．点D从点C出发沿CA方
向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF△BC于点F，连接DE、EF．
（1）AC的长是________，AB的长是________．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值，△BEF的面积是2
3 ？
10．在Rt△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，动点D在直线BC上（不与点B，C重合），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接DE，F，G分别是DE，CD的中点，连接FG．
【特例感知】（1）如图1，当点D是BC的中点时，FG与BD的数量关系是 ，FG与直线BC的位置关系是 ；
【猜想论证】（2）当点D在线段BC上且不是BC的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？
△请在图2中补全图形；
△若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】（3）若AB＝AC=2，其他条件不变，连接BF、CF．当△ACF是等边三角形时，请直接写出△BDF的面积．
11．如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=5cm，BC=8cm，动点P从B出发沿BC向C运动，速度为2cm/s．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为1cm/s，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点P'是点P关于直线AC的对称点，连接PP′和P′Q，P′P和AC相交于点E．设运动时间为t秒．
（1）若当t的值是多少时，P'P恰好经过点A？
（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（0＜t≤4）；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分△P′PC？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点Q在PC的垂直平分线上？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．
12．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，将CA绕点C顺时针旋转至CD，连接AD，E为直线CD上一点，连接AE；
（1）如图1，若△BAC＝60°，△ACD＝90°，E为CD中点，AB23，求△BCE的面积；
（2）如图2，若△ACD＝90°，点E在线段CD上且△DAE＋△ABC＝90°，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接DF，求证：BC2DF；
（3）如图3，AB＝1，△BAC＝90°，△ACD＝105°，若BE恰好平分△AEC，点P为线段AE上的动点，点E′与点E关于直线DP对称，AE′与CD交于点Q，连接CE′，当2CEAECE的值最小时，直接写出CQ的值．
13．已知，如图△，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC△AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s：同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图△，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题： （1）CQ＝ ，BQ＝ ，AP＝ ，CP＝ ． （2）当t为何值时，PQ∥MN；
（3）设△OMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使S△QMC：S四边形ABQP＝1：4．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，等腰ABC的底边BC＝8，高AD＝2，M是AB中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止，另一动点F从点B出发，以相同的速度沿BC运动，到点D停止．已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以EF为边作正方形EFGH，使点G、H和点A在BC的同侧，设点E运动的时间为t秒．
（1）当t≥1时，用含t的代数式表示EF的长；
（2）设正方形EFGH面积为S1，正方形EFGH与ABC重叠面积为S2，当S1：S2＝2时，求t的值；
（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒25个单位的速度沿折线段DM﹣MB﹣BM﹣MD运动，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形EFGH内（含边界）的时长．
15．如图1，正方形ABCD中，点P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点B出发沿着BD以1cm/s的速度向点D运动；点Q同时从点D出发沿着DB以2cm的速度向点B运动．设运动的时间为xs，△AQP的面积为ycm2，y与x的函数图象如图2所示，根据图象回答下列问题： （1）a＝ ．
（2）当x为何值时，APQ的面积为6cm2；
（3）当x为何值时，以PQ为直径的圆与APQ的边有且只有三个公共点．
16．如图1，有一张矩形纸条ABCD，边AB、BC的长分别是方程x27x100的两个根(ABBC)，E为CD上一点，CE1． （1）连接AE，BE，试说明∠AEB90．
（2）如图2，M为边AB上一个动点，将四边形BCEM沿ME折叠，使点B，C分别落在点B′，C上，边MB与边CD交于点N． △如图3，当点M与点A重合时，求N到ME的距离．
△在点M从点A运动到点B的过程中，求点N相应运动的路径长（路程）．
17．如图，已知在RtABC中，ACB90，AC8，BC16，D是AC上的一点，
CD3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运
动时间为t，连接AP．
（1）当t3秒时，求AP的长度；
（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作DEAP于点E，连接PD，在点P的运动过程中，当PD平分APC时，直接写出t的值．
18．如图，已知在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是斜边AB上的动点，联结CD，作DE△CD交射线CB于点E，设AD＝x． （1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长； （2）当△BED是等腰三角形时，求x的值； （3）如果yDE，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． DB
19．已知：如图，在长方形ABCD中，AB4cm,BC6cm，点E为AB中点．点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）线段BP,PC的长可用含t的式子分别表示为 cm， cm；
（2）若某一时刻BPE与CQP全等，求此时t的值和点Q的运动速度．
20．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（4，0），连接AB，点P（0，t）是y轴上的一动点，以BP为一直角边构造等腰直角△BPC（B，P，C的顺序为顺时针），且△BPC＝90°，过点A作AD△x轴并与直线BC交于点D，连接PD． （1）如图1，当t＝2时，求点C的坐标； （2）如图2，当t＞0时，求证：△ADC＝△PDB；
（3）如图3，当t＜0时，求DP﹣DA的值（用含有t的式子表示）．
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