北京市丰台区2018年中考一模数学试卷(含答案)

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1．如图所示，△ABC中AB边上的高线是（ ）

CDAGEBF （A）线段AG （B）线段BD （C）线段BE 2．如果代数式x4有意义，那么实数x的取值范围是（ ）

（A）x≥0 （B）x≠4 （C）x≥4 （D）x＞4

3．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）

（D）线段CF

（A）正三棱柱 （B）正三棱锥 （C）圆柱 （D）圆锥 4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ab = c，那么实数c在数轴上的对应点的位置可能是（ ）

a10b12

5．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，点B，AC⊥AB于点A，交直线b于点C．如果∠1 = 34°，那么∠2的度数为（ ）

cA2BC1ab （A）34° （B）56° （C）66° （D）146°

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，如果将线段OA绕点O逆时针方向旋转90°，那么点A的对应点的坐标为（ ）

y2121O12 3（A）(-1，2) （B）(-2，1) （C）(1，-2) （D）(2，-1) 4

5 1 63781A2x

7．太阳能是来自太阳的辐射能量．对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源，因此许多国家都在大力发展太阳能．下图是2013-2017年我国光伏发电装机容量统计图．根据统计图提供的信息，判断下列说法不合理的是（ ） ．．．

（A）截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13 078万千瓦 （B）2013-2017年，我国光伏发电新增装机容量逐年增加

（C）2013-2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2 500万千瓦 （D）2017年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的40%

8．如图1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距8cm的A，B两点同时开始沿线段AB运动，运动过程中甲光斑与点A的距离S1(cm)与时间t (s)的函数关系图象如图2，乙光斑与点B的距离S2(cm)与时间t (s)的函数关系图象如图3，已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌△P2Q2O2．下列叙述正确的是（ ）

（A）甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍 （B）乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/s （C）甲乙两光斑全程的平均速度一样

（D）甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．在某一时刻，测得身高为1.8m的小明的影长为3m，同时测得一建筑物的影长为10m，那么这个建筑物的高度为 m．

10．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数y随自变量x的增大而减少，则这个函数的表达式为 ．

2

11．在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中，小宇同学看到一道有趣的数学问题：古代数学家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为与之面积相等的矩形，从而得到“筝形的面积等于其对角线乘积之半”．

（说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形）

EA请根据右图完成这个数学问题的证明过程．

证明：S筝形ABCD = S△AOB + S△AOD + S△COB + S△COD．

易知，S△AOD = S△BEA，S△COD = S△BFC． 由等量代换可得： BDOS筝形ABCD = S△AOB + + S△COB +

= S矩形EFCA = AE·AC 1= · ． 2

m24m4m2F ． C12．如果代数式m2m1，那么的值为 mm22

13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A = 15°，弦CD = 4，那么AB的长是 ．

CAOEDB

14．营养学家在初中学生中做了一项实验研究：甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加600ml牛奶．一年后营养学家统计发现：乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多2.01cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均身高的增长值的75%少0.34cm．设甲、乙两组同学平均身高的增长值分别为x cm、y cm，依题意，可列方程组为 .

15．“明天的降水概率为80%”的含义有以下四种不同的解释：

① 明天80%的地区会下雨； ② 80%的人认为明天会下雨； ③ 明天下雨的可能性比较大；

④ 在100次类似于明天的天气条件下，历史纪录告诉我们，大约有80天会下雨. 你认为其中合理的解释是 ．（写出序号即可）

16．下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．

3

三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分） 17．计算：82cos45(3π)0|12|．

3x4x1,18．解不等式组：5x1

x2.2

19．如图，在△ABC中，AB = AC，D错误!未找到引用源。是BC错误!未找到引用源。边上的中点，DE⊥AB

于点E，DF⊥AC于点F． 求证：DE = DF．

AEBDFC 20．已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围； （2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． ．．．．．．

4

x2 - 4x + 2m = 0

21．已知：如图，菱形ABCD，分别延长AB，CB到点F，E，使得BF = BA，BE = BC，连接AE，EF，

FC，CA．

（1）求证：四边形AEFC为矩形；

（2）连接DE交AB于点O，如果DE⊥AB，

AB = 4，求DE的长．

DABC

EF

22．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y2的图象与一次函数ykxb的图象的交点分别为 xP(m，2)，Q(-2，n).

（1）求一次函数的表达式；

（2）过点Q作平行于y轴的直线，点M为此直线上的一点，当MQ = PQ时，直接写出点M的坐标.

23．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作

⊙O的切线交BC的延长线于点F． （1）求证：EFED；

3（2）如果半径为5，cos∠ABC =，求DF的长．

5BECFOAD

5

24．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 【收集数据】

从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：

【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

（说明：优秀成绩为80＜x≤100，良好成绩为50＜x≤80，合格成绩为30≤x≤50．） 【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示：

其中a =__________. 【得出结论】

（1）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是________校的学生；（填“甲”或“乙”）

（2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为________； （3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．

（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

6

25．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，点D为AB边上的动点（点D不与点A，点B重合），过点D作ED⊥CD交直线AC于点E．已知∠A = 30°，AB = 4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD = xcm，AE = ycm.

CEB D A小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

y4321

O1234x（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE =

1AD时，AD的长度约为 cm． 2

226．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax4ax3a的最高点的纵坐标是2．

（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；

（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1，将图象G1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G2，

图象G1和G2组成图象G．过(0，b)作与y轴垂直的直线l，当直线l和图象G只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求b的取值范围和x1 + x2的值．

7

y6543217654321O123456123456x 27．如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE = ，点B7关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线8CE于点M，N. （1）依题意补全图形； （2）当= 30°时，直接写出∠CMA的度数； （3）当0°<< 45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．

CEAB

28．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1，W2给出如下定义：点P为图形W1上一点，点Q为图形W2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形W1，W2的“中立点”．如果点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么“中立点”M的坐标为x1x2y1y2,． 22已知，点A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)． （1）连接BC，在点D(

11，0)，E(0，1)，F(0，)中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是____________； 22（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，

求点K的坐标；

（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．

8

y6543217654321O12345678123456x

北京市丰台区2018年中考一模数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 B 6 A 7 B 8 C 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．6； 10．y

1

等，答案不唯一； 11．S△BEA，S△BFC，AC•BD； 12．1； x

yx2.01,13．8； 14． 15．③，④； x75%y0.34;16．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都

分别相等．或：同圆半径相等，三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等．

三、解答题（本题共68分，第17--24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分） 17．解：82cos45(3π)0|12|．

=2222121 ……………………4分

2=22. ……………………5分

18．解：解不等式①，得x1， ……………………2分

解不等式②，得x1. ……………………4分

–4–3–2–101234

∴原不等式组的解集是1x1．………5分

19．证明：连接AD. A∵AB＝BC，D错误!未找到引用源。是BC错误!未找到引用源。边上的中点， ∴∠BAD=∠CAD. ………………………3分 ∵DE⊥AB于点E错误!未找到引用源。，DF⊥AC于点F错误!未找到引用源。， ∴DE＝DF． ………………………5分

EF

9

BDC（其他证法相应给分）

20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ>0.

2∴Δ=（4）42m168m0．

∴m2. ………………………2分 （2）∵m2，且m为非负整数，

∴m=0或1. ………………………3分

当m=0时，方程为x24x0，解得方程的根为x10，x24，符合题意；

当m=1时，方程为x24x20，它的根不是整数，不合题意，舍去. 综上所述，m=0. ………………………5分

21．（1）证明：∵BF=BA，BE=BC，

∴四边形AEFC为平行四边形. ………………………1分 ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC.

A ∴BE=BF.

∴BA + BF = BC + BE，即AF=EC.

∴四边形AEFC为矩形. ………………………2分

E （2）解：连接DB.

由（1）知，AD∥EB，且AD=EB. ∴四边形AEBD为平行四边形 ∵DE⊥AB，

∴四边形AEBD为菱形.

∴AEEB，AB2AG，ED2EG. ………………………4分 ∵矩形ABCD中，EBAB，AB=4， ∴AG2，AE4.

∴Rt△AEG中，EG=23.

∴ED=43. ………………………5分 （其他证法相应给分）

22．（1）解： ∵反比例函数yD C

G B F

2的图象经过点P(m,2)，Q(-2，n)， x∴m1，n1．

∴点P，Q的坐标分别为(1，2)，(-2，-1). …….…….…….……2分 ∵一次函数ykxb的图象经过点P(1，2)，Q(-2，-1)，

kb2,k1, ∴ 解得2kb1.b1.∴一次函数的表达式为yx1． .…….…….…….……3分 （2）点M的坐标为（-2，-1+32）或（-2，-1-32）……………5分

10

23．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2.

∵DE∥AB，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3. B∵BC是⊙O的切线，∴∠BDF＝90°. 12∴∠1+∠F＝90°，∠3+∠EDF＝90°.

EO∴∠F＝∠EDF.∴EFDE. …….…….……………2分

3（2）解：连接CD. C∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°. FD∵DE∥AB，∴∠DEF＝∠ABC.

∵cos∠ABC=

A3CE3，∴在Rt△ECD中，cos∠DEC==. 5DE5设CE=3x，则DE=5x .

由（1）可知，BE= EF=5x.∴BF=10x ，CF=2x. 在Rt△CFD中，由勾股定理得DF=25x． ∵半径为5，∴BD10. ∵BF×DC= FD×BD， ∴10x4x1025x，解得x5. 2∴DF =25x=5. …….…….……………5分

（其他证法或解法相应给分.）

24．解：a=80； ………………………1分 （1）甲； ………………………2分 （2）

1 ； ………………………3分 10（3）答案不唯一，理由需支持推断结论.

如：乙校竞赛成绩较好，因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高，乙校的中位数75高于甲校的中位数65，说明乙校分数不低于70分的学生比甲校多. ………………………5分

25．解：

（1）1.2； ………………………2分 （2）如右图； ………………………4分 （3）2.4或3.3 ………………………6分

22y y=12x O y x 26．解：（1）∵抛物线yax4ax3aax2a，

∴对称轴为x= 2．………………………………………1分

∵抛物线最高点的纵坐标是2，

11

x ∴a= -2． ………………………………………2分

2∴抛物线的表达式为y2x8x6. ……………3分

（2）由图象可知，b2 或-6≤b<0. ………………6分

由图象的对称性可得：x1+x2=2． ……………… 7分

G27．解：（1）如图； …………………1分

（2）45°； …………………2分

DC643215（3）结论：AM=2CN． …………………3分 证明：作AG⊥EC的延长线于点G．

∵点B与点D关于CE对称，

A∴CE是BD的垂直平分线．

∴CB=CD．

∴∠1=∠2=．

∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD． ∵∠4=90°，

11∴∠3=（180°∠ACD）=（180°90°）=45°．

22∴∠5=∠2+∠3=+45°-=45°．…………………5分 ∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG⊥EC， ∴∠G=90°=∠8．

∴在△BCN和△CAG中， ∠8=∠G， ∠7=∠6， BC=CA，

∴△BCN≌△CAG．

∴CN=AG． ∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°，

∴AM=2AG．

∴AM=2CN． …………………7分 （其他证法相应给分.）

M8NE7By

28．解：（1）点A和线段BC的“中立点”的是点D，点F； ………2分

（2）点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、

半径为1的圆上运动.

因为点K在直线y=- x+1上， 设点K的坐标为（x，- x+1），

则x2+（- x+1）2=12错误!未找到引用源。，解得x1=0，x2=1错误!未找到引用源。. 所以点K的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分

（3）（说明：点N与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、

半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时，符合题意.）

y 8分 所以点N的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2错误!未找到引用源。. ………

12

x x

13