铁路曲线要素的测设、计算与精度分析

铁路曲线要素的测设、计算与精度分析

1-1 圆曲线的测设

铁路线路平面曲线分为两种类型：一种是圆曲线，主要用于专用线和行车速度不高的线路上；另一种是带有缓和曲c线的圆曲线，铁路干线上均用此种曲线。 铁路曲线测设一般分两步进行，先测设曲线主点，然后依据主点详细测设曲线。 铁路曲线测设常用的方法有：偏角法、切线支距法和极坐标法。

圆曲线 （圆曲线段长度）（circular curve） 线路平面方向改变时，在转

向处所设置的曲率不变的曲线。

圆曲线线型 由一个圆曲线组成的曲线称为单曲线；由两个或两个以

上同向圆曲线组成的称为复曲线。转向相同的两相邻曲线连同其间的直线段所组成的曲线称为同向曲线；转向相反的两相邻曲线连同其间的直线段所组成的曲线称为反向曲线。

圆曲线铁路 由于复曲线会增加勘测设计、施工和养护维修的困难，

降低列车运行的平稳性和旅客舒适条件，因此新建铁路一般不应设置复曲线；在困难条件下，为减少改建工程，改建既有线可保留复曲线；增建与之并行的第二线，如有充分的技术经济依据，也可采用复曲线

圆曲线长度 在圆曲线地段，为了克服列车在曲线上运行而产生的

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离心力，需设置外轨超高（参见曲线超高），当曲线半径较小时，为保证列车按强制自由内接形式通过曲线，需进行必要的轨距加宽；为了平顺地过渡曲线率、外轨超高和轨距加宽，保证行车平稳与旅客舒适，在圆曲线的两端需设置一定长度的缓和曲线； 同时圆曲线的最小长度受、曲线测设、养护维修、行车平稳和旅客舒适等条件控制，因确定圆曲线和夹直线长度的理论与计算方法在力学上无大的差别，故圆曲线最小长度与夹直线最小长度采用同一标准。

圆曲线要素 曲线偏角的大小影响列车在曲线上的运行阻力。曲线半

径、外轨超高、缓和曲线长度和圆曲线长度对行车速度起限制作用（参见曲线限速），因此，这此要素要根据行车速度拟定。曲线偏角（转向角）、曲线半径R、缓和曲线长度lo、切线长度T和曲线长度L统称为曲线要素。这些要素的确定及各曲线主点里程的推算是曲线设计的主要内容。设计时偏角在平面图上量得，曲线半径R与缓和曲线长度lo系根据行车速度和设置条件选配得出，切线长度T和曲线长度L则根据几何关系计算得出。 首先介绍圆曲线的测设方法。

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一、圆曲线要素计算与主点测设

为了测设圆曲线的主点，要先计算出圆曲线的要素。 （一）圆曲线的主点

ⅠⅡ图

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如图1所示：

JD——交点，即两直线相交的点；

ZY——直圆点，按线路前进方向由直线进入圆曲线的分界点； QZ——曲中点，为圆曲线的中点；

YZ——圆直点，按路线前进方向由圆曲线进入直线的分界点。 ZY、QZ、YZ三点称为圆曲线的主点。 （二）圆曲线要素及其计算 在图1中：

T——切线长，为交点至直圆点或圆直点的长度；

L——曲线长，即圆曲线的长度（自ZY经QZ至YZ的圆弧长度）； E0——外矢距，为JD至QZ的距离。 T、L、E0称为圆曲线要素。

α——转向角。沿线路前进方向，下一条直线段向左转则为α左；向右转则为α右。 R——圆曲线的半径。

α、R为计算曲线要素的必要资料，是已知值。Α可由外业直接测出，亦可由纸上定线求得；R为设计时采用的数据。

圆曲线要素的计算公式，由图1得：

外线长 T = R·tan

曲线长 L = R·α·外矢距 E0= R（sec

 2180 （1）

-1） 2式中计算L时，α以度为单位。

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在已知α、R的条件下，即可按式（1）计算曲线要素。它既可用计算器求得，亦可根据α、R由《铁路曲线测设用表》中查取。 （三）圆曲线主点里程计算

主点历程计算是根据计算出的曲线要素，由一已知点里程来推算，一般沿里程增加方向由ZY→QZ→YZ进行推算。

若已知交点JD的里程，则需先算出ZY或YZ的里程，由此推算其它主点的里程。 （四）主点的测设

在交点（JD）上安置经纬仪，瞄准直线Ⅰ方向上的一个转点，在视线方向上量取切线长T得ZY点，瞄准直线Ⅱ方向上一个转点，量T得YZ点；将视线转至内角平分线上量取E0，用盘左、盘右分中得QZ点。在ZY、QZ、YZ点均要打方木桩，上钉小钉以示点位。

为保证主点的测设精度，以利曲线详细测设，切线长度应往返丈量，其相对较差不大于1/2000时，取其平均位置。

二、偏角法测设圆曲线

仅将曲线主点测设于地面上，还不能满足设计和施工的需要，为此应在两主点之间加测一些曲线点，这种工作称圆曲线的详细测设。曲线上中桩间距宜为20m；若地形平坦且曲线半径大于800m时，圆曲线内的中桩间距可为40m；且圆曲线的中桩里程宜为20m的整数倍。在地形变化处或按设计需要应另加设桩，则加桩宜设在整米处。

偏角法是曲线测设中最常用的方法。

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偏角法测设曲线的原理 1. 测设原理

偏角法实质上是一种方向距离交会法。 偏角即为弦切角。

偏角法测设曲线的原理是：根据偏角和弦长交会出曲线点。如图2，由ZY点拨偏角δ1方向与量出的弦长c1交于1点；拨偏角δ2与由1点量出的弦长c2交于2点；同样的方法可测出曲线上其他点。

δ１Ｃ１Ｃ２δ２图

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2.弦长计算

铁路曲线半径一般很大，20m的圆弧长与相应的弦长相差很小，如R=450m时，弦弧差为2mm，两者的差值在距离丈量的容许误差范围内，因而通常情况下，可将20m的弦长当作弦长看待；只有当R≤400m时，测设中才考虑弦弧差的影响。

3.偏角计算

由几何学得知，曲线偏角等于其弦长所对圆心角的一半。 图2中，ZY～1点的曲线长为K，它所对的圆心角为φ=角为

K180，则其相应的偏R2K180 (2) 2R 式中，R为曲线半径；K为置镜点至测设点的曲线长。

若测设点间曲线长相等，设第1点偏角为δ1，则各点偏角依次为

221

331……

nn1

由于《测规》规定，圆曲线的中桩里程宜为20m的整倍数，而通常在ZY、QZ、YZ附近的曲线点与主点间的曲线长不足20m，则称其所对应的弦为分弦。分弦所对应的偏角可按式（2）来计算。

测设曲线点的偏角，既可以按式（2）用计算器计算。

三、长弦偏角法测设圆曲线

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利用光电测距仪配合带有编程功能的计算器来测设曲线，采用长弦偏角法最适宜，如图3。

图 3 知道了曲线点的测设里程，即测设的曲线长Li，即可进行计算。其资料计算

公式如下：

iiLi180Ri2ci2Rsini （3）

式中δi、ci为测设曲线点i的偏角与弦长。

测设时，将测距仪安置于ZY点上，以JD为后视0°00′00″方向，照准部旋转δi偏角，持镜者沿长弦视线方向移动，司镜人员用测距仪的跟踪测量法跟踪，当显示数字与弦长接近时，反光镜停下，正式测出斜距和竖直角，然后算出水平距离；当平距与弦长相差1m左右时，用2m的钢卷尺直接量距并钉下木板桩，再将反光镜安于木桩上来校核距离，与弦长相差1cm之内即可。

长弦偏角法不仅可以跨越地面上的障碍，而且精度高、速度快，是一种能适用于

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各种地形的测设方法。

四、切线支距法测设圆曲线

切线支距法，实质为直角坐标法。它是以ZY或YZ为坐标原点；以过ZY（或YZ）的切线为x轴，切线的垂线为y轴。x轴指向JD，y轴指向圆心o，如图4。 曲线点的测设坐标按下式计算：

图

xiRsini yiR(1cosi) 180iLiR

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4）

（

式中，Li为曲线点i至ZY（或YZ）的曲线长。Li一般定为10m、20m、……，已知R，即可计算出xi、yi。亦可从曲线表第三册第九表中查取每10m一桩的（Li-xi）及yi的值，如表1。

表1 圆曲线切线支距

L 10 20 30 40 50

测设时从ZY或YZ开始,沿切线方向直接量出xi并钉桩；若yi较小时，可用方向架 直角器在xi点测设曲线点，当yi较大时，应在xi处安置经纬仪来测设。若使用曲线表，则从ZY（或YZ）开始沿切线方向每丈量Li，应退回（Li-xi）钉桩来测设曲线点，如图5.

R=700 L-x 0.00 0.00 0.01 0.02 0.04 y 0.07 0.29 0.64 1.14 1.79 L-x 0.00 0.00 0.01 0.03 0.06 R=600 y 0.08 0.33 0.75 1.33 2.08 L-x 0.00 0.10 0.02 0.04 0.08 R=500 y 0.10 0.40 0.90 1.60 2.50

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切线支距法简单，各曲线点相互独立，无测量误差累积。但由于安置仪器次数多，速度较慢，同时检核条件较少，故一般适用于半径较大、y值较小的平坦地区曲线测设。

图 51-2 缓和曲线的性质

缓和曲线 （transition curve）设置在直线与圆曲线或不同半

径的圆曲线之间的曲率连续变化的曲线。为使列车安全、平顺、舒适地由直线过渡到圆曲线，在直线与圆曲线之间要设置缓和曲线。缓和曲线的作用是:在缓和曲线范围内，其半径由无限大渐变到圆曲线半径，从而使车辆产生的离心力逐渐增加，有利于行车平稳；在缓和曲线范围内，外轨超高由零递增到圆曲线上的超高量，使向心力逐渐增加，与离心力的增加相配合；当曲线半径小于350m，轨距需要加宽时，可在缓和曲线范围内，由标准轨距逐步加宽到圆曲线上的加宽量。设计缓和曲线时，有线形选择、长度计算、如何选用和保证缓和曲线间圆曲线或夹直线的必要长度三个问题。

缓和曲线线型 一般根据行车速度选择。直线型超高顺坡的三次

抛物线型缓和曲线线型简单，便于测设、养护维修，长度短而实用，国外时速160km/h以下铁路广泛采用，中国铁路在行车速度不大于160km/h的线路上一直采用这种线型。当行车速度大于200km/h时，也可采用曲线型超高顺坡的高次缓和曲线。

缓和曲线长度 缓和曲线必须有足够的长度。其控制因素主要有三

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个：① 要保证超高顺坡不致使车轮脱轨，即超高顺坡不能过陡。中国铁路的设计标准要求超高顺坡不得大于2‰。② 要保证超高时变率不致使旅客不适，即外轮的升降速度不宜过快。中国干线铁路的超高时变率容许值一般采用28～36㎜/s。③ 要保证欠超高（未被平衡的离心加速度）时变率不致影响旅客舒适，即欠超高的增加速度不宜过快。中国干线铁路的欠超高时变率容许值一般采用40～52.5㎜/s。合理的缓和曲线长度应同时满足上述三个条件，即缓和曲线的最小长度应取上述三个计算值中的较大值。中国《铁路线路设计规范》（GB50090-99）中规定了不同的路段设计速度、曲线半径和工程条件下的缓和曲线长度的设计标准，供设计选用。

选用原则 缓和曲线长度应根据地形、纵断面及相邻曲线、客货车比例、货车速度、运输要求以及将来发展的可能等条件按规定值选用。主要原则有：① 地形简易地段、自由坡段、旅客列车对数较多和将来可能较大幅度提高客货列车速度的路段应优先选用较大数值。② 地形困难、紧坡地段或停车站两端、凸形纵断面坡顶等行车速度不高的地段以及Ⅱ、Ⅲ级铁路中客车对数较少且货车速度较低的路面和对行车速度要求不高的路段，可选用较小数值。③条件许可时，可采用较规定数值长的缓和曲线，以创造更好的运营条件。④ 设计线路平面是，若曲线偏角较小，设置缓和曲线后，圆曲线长度达不到规定值，则宜加大半径增加圆曲线长度。如果条件限制，不易加大曲线半径或加大后仍不能满足要求时，则可采用较短的缓和曲线长度，或适当改变路线平面。⑤ 若两相邻曲线的交点距离较短，设计缓和曲线后，夹直线长度达不到规定值，应修改线路平面。如减小曲线半径或选用较短的缓和曲线长度，或改移夹直线的位置，以延长两交点间的直线长度和减小曲线偏角；当同向直线间夹直线长度不够时，可采用一个较长的单直线代替同向曲线。

一、缓和曲线的作用

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高速由直 当列车以线进入圆曲线时，就会产生离心力，危及该列车运行安全和影响旅客的舒适。为此要使曲线外轨高

些（称超高），使列车产生一个内倾力F1'以抵消离心力的影响，见图6。为了解决超高引起的外轨台阶式升降，需在直线与圆曲线间加入一段曲率半径逐渐变化的过渡曲线，这种曲线称缓和曲线。另外，当列车由直线进入圆曲线时，由于惯性力的作用，使车轮对外轨内侧产生冲击力，为此，加设缓和曲线以减少冲击力。再者，为避免通过曲线时，由于机车车辆转向架的原因，使轮轨产生侧向摩擦，圆曲线部分的轨距应加宽，这也需要在直线和圆曲线之间加设缓和曲线来过渡。

二、缓和曲线的性质

缓和曲线时直线与圆曲线间的一种过渡曲线。它与直线分界处半径为∞，与圆曲线相接处半径与圆曲线半径R相等。缓和曲线上任一点的曲率半径ρ与该点到曲线起点的长度成反比，如图6。

ＰＺＨＪＤ图 6

1ρ∝ 或 ρl=C （5）

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式中，C是一个常数，称缓和曲线半径变更率。 当l=l0时，ρ=R，所以

Rl0=C （6）

式中，l0为缓和曲线总长。

ρl=C是缓和曲线的必要条件，实用中能满足这一条件的曲线可作为缓和曲线，如辐射螺旋线、三次抛物线等。我国缓和曲线均采用辐射螺旋线。

三、缓和曲线方程式

按照ρl=C为必要条件导出的缓和曲线方程为：

l5l9xl2440C3456C （7） 3711llly6C336C342240C5

根据测设要求的精度，实际应用中可将高次项舍去，并顾及到C=Rl0，则上式变为

l5xl40R2l02yl6Rl03 （8）

式中，x、y为缓和曲线上任一点的直角坐标，坐标原点为直缓点（ZH）或缓直点（HZ）；通过该点的缓和曲线切线为x轴，如图7。

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图 l为缓和曲线上任一点P到ZH（或HZ）的曲线长； l0为缓和曲线总长度。

当l=l0时，则x=x0，y=y0，代入式（8）得：

3xl00l040R2l2 （9） y006R

式中，x0、y0为缓圆点（HY）或圆缓点（YH）的坐标。

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四、缓和曲线的插入方法

α O′β·0βα-2βα0α 图 8

缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆曲线半径不变的条件下，插入到直线段和圆曲线之间，如图8。缓和曲线的一半长度处在原圆曲线范围内，另一半处在原直线段范围内，这样就使圆曲线沿垂直切线方向，向里移动距离p，圆心由O′移至O，显然oop.sec

2插入缓和曲线之后，使原来的圆曲线长度变短了。

插入缓和曲线之后，曲线主点有5个，它们是：直缓点ZH、缓圆点HY、曲中点QZ、圆缓点YH及缓直点HZ。

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五、缓和曲线常数的计算

β0、δ0、m、p、x0、y0等成为缓和曲线的常数。其物理含意及集合关系由图10得知：

β0——缓和曲线的切线角，即HY（或YH）点的切线与ZH（或HZ）点切线的交角；亦即圆曲线一段延长部分所对应的圆心角。 δ0——缓和曲线的总偏角；

m——切垂距，即ZH（或HZ）到由圆心O向切线所作垂线垂足的距离； p——圆曲线内移量，为垂线长与圆曲线半径R之差。

x0、y0的计算见式（9），其它常数的计算公式如下：

l018002R0

l01801036R (10) l03m2240R2l0lo2l04l02p324R24R2688R

下面我们推证式（10）中最常用的两个常数β0和δ0，见图9。

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yβdβρ=∞ρI0hydl直线ZHIδ5xdyy1dxβ0y0JDxx0圆曲线

图9

（一）求β0

设β为缓和曲线上任一点的切线角；ρ为该点的曲线曲率半径；l为该点至ZH点的缓和曲线长。

∵ dβ=dl/ρ,将ρl=Rl0代入上式，则dβ=l·dl/Rl0

ldll2 ∴ d 00Rl2Rl00ll 当l=l0时，β=β0

l0180则 0 （11） 2R

（二）

求δ

0

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由图10得知，tan0y0 x0y0 x0 ∵δ0很小，故 0tan0 将式（9）代入上式，并取至二次项， ∴ 0

l00 （12） 6R3 缓和曲线常数，亦可以R及l0为引数，由曲线表第三册第二表查取，如表2。 如，R=500m，l0=60m，由表2查得β0=3°26′16″，δ0=1°08′45″，m=29.996m，p=0.300m，x0=59.978m，y0=1.200m。

1-3缓和曲线连同圆曲线的测设

一、偏角法测设曲线

（一）曲线综合要素计算

由图9可知，曲线综合要素计算公式如下：

切线长 Tm(Rp)tan 曲线长 L2l0

外矢距 E0(Rp)sec 切曲差 q=2T-L

使用时，亦可依据R、α、l0由铁路曲线测设用表第一、二册第一表查取，该表格式如表2。

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2

l0R(20)180R180 （13）

2R

R=500 表2 综合要素 α T Δ L Δ q E0 Δ L0=100m

28°00′ 174.86 05 175.24 10 175.63 15 176.02 20 176.40 25 176.79 30 177.18 35 177.57 40 177.95 45 178.34 50 178.73 55 179.12

当l0≠100m时之校正数

8 15 344.35 345.07 345.80 346.53 347.25 347.98 348.71 349.44 350.16 350.89 350.62 352.35 15 29 5.37 5.41 5.46 5.51 5.55 5.60 5.65 5.70 5.74 5.79 5.84 5.89 16.17 16.26 16.35 16.45 16.54 16.64 16.73 16.83 16.92 17.02 17.12 17.21 2 4 8 16 15 29 2 4 word文档 可自由复制编辑

线路等级 Ⅰ、Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅲ 专 专 专 L0 130 90 80 70 60 40 30 20 ΔT +15.13 －5.04 －10.07 －15.10 －20.12 －30.17 －35.18 －40.19 ΔL +30.00 －10.00 －20.00 －30.00 －40.00 －60.00 －70.00 －80.00 Δq +0.26 －0.08 －0.14 －0.20 －0.24 －0.34 －0.36 －0.38 ΔE0 +0.59 －0.16 －0.31 －0.44 －0.55 －0.72 －0.78 －0.83 注：表中△为1′与2′之插算值，以cm为单位。 (二)主点的里程计算与测设

1.主点里程计算

已知ZH里程为33+424.67，则主点里程为 ZH 33+424.67 +l0 60 HY 33+484.67 +

L－l0 94.82 2L－l0 94.82 2 QZ 33+579.49 +

YH 33+674.31 +l0 60 HZ 33+734.31 （校核）

ZH 33+424.67

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+2T 315.12 33+739.79 －q 5.47 HZ 33+734.32

2.主点的测设

主点ZH、HZ、QZ的测设方法与前述圆曲线主点测设方法相同；而缓圆点HY和圆缓点YH的测设通常采用切线支距法，见图7。自ZH（或HZ）沿切线方向量取x0,打桩、钉小钉，然后将经纬仪架在该桩上，后视切线沿垂直方向量取y0，打桩、钉小钉，得HY（或YH）点。

为保证主点测设精度，角度要用测回法分中定点；距离应往返丈量，在限差以内取平均值。

（三）缓和曲线的详细测设 1.偏角计算

线圆曲图 10

由图10得知，缓和曲线上任一点i的偏角为：

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δ≈sinδ≈

y(∵δ很小) ll3 ∵y=(见式9)

6Rl0l2180 ∴ （14） 6Rll21800又2Rl0

3 （15）

故 b=β－δ=2δ (16) 式中，δ为缓和曲线上任一点的正偏角，b为该点的反偏角。 同理可得，

b0=2δ0 (17) 由式（16）、式（17）得出结论（a）：

缓和曲线上任一点后视起点的反偏角，等于由起点测设该点在铁路设计中，缓和曲线长度均为10m的整数倍，为测设方便，一般每10m测设一点。 若将缓和曲线等分为N段，则各分段点的偏角之间有如下关系：

li 设δ1为第1点的偏角，δi为第i点的偏角，则由式（14）可知，δi=

6Rl022 ∴ δ1：δ2：…：δn=l12:l2 (18) ::ln2由式（18）得出结论（b）：

偏角与测点到缓和曲线起点的曲线长度的平方成正比。 在等分的条件下，l2=2l1, l3=3l1,…,lN=Nl1,

故 δ2=22·δ1，δ3=32·δ1，…，δn=N2δ1=δ0 ∴ δ1=

1δ0 (19) 2N由式（19）可得出结论（c）：

由缓和曲线的总偏角δ0，可求得缓和曲线上任一点的偏角δi。

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δ0可由铁路曲线测设用表第三册第三表查取，亦可计算求得。

2.缓和曲线的测设方法

如图11，将经纬仪安置于ZH点，后视JD，将水平度盘安置在0°00′00″位置，转动照准部拨偏角δ0，校核HY点位，如在视线方向上，即可开始测设其它点。依次拨δ1、δ2、……δn,量出点与点之间的弦长与相应视线相交，即可定出曲线点1、2、…。

在缓和曲线的测设中，亦应注意偏角的正拨与反拨的度盘安置方法。

（四）圆曲线的详细测设

δβδ0δ1图 11

加设缓和曲线之后圆曲线的测设，其关键是正确确定后视方向及读盘安置值。如图11，经纬仪安置于HY点上，后视ZH，并将读盘度数安置为反偏角b0值（正拨），倒转望远镜反拨圆曲线上第1′点 的偏角δ1′，得相应曲线点，直至QZ。

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另一半曲线，则在YH点设站，以（360°－b0）来后视HZ，而倒镜后圆曲线为正拨偏角来测设。

为避免仪器视准误差的影响，也可以（180+b0）后视ZH，平转照准部，当读盘度数为0°00′00″时，即为HY点的切线方向。

若利用《铁路曲线测设用表》测设，为避免分弦偏角的累计计算工作，现场常把HY→1′的方向作为零方向，如图12，以b0+δ′1(δ1′为圆曲线上第1点的偏角）后视ZH点。

0°00' 00''图 12 二、切线支距法测设曲线

（一）坐标计算公式

如图13，它是以ZH（或HZ）为坐标原点，以切线为x轴，垂直切线方向为y轴。

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图 13

1.缓和曲线部分

l5xl

40R2l20 （20）

y=l36Rl 0

2.圆曲线部分

xiRsinim

（21）

yiR1cosip 式中 lil0iR1800 word文档 可自由复制编辑

实际应用时，切线支距亦可由《铁路曲线测设用表》第三册第九表中查取，其格式如表1。

（二）测设方法

与切线支距法测设圆曲线的方法相同（见第一部分第四项）

三、长弦偏角法测设曲线

由式（19）及式（21）可以按式（22）计算出曲线上任一点的弦长c及偏角δ，将测距仪安置于ZH（或HZ）点，即可进行曲线测设。其中

弦长 cixi2yi2

yi （22） 偏角 iarctanxi 式中，xi、yi为曲线上任一点i的坐标。

偏角法有校核，适用于山区，但其缺点是误差积累，故测设时要注意经常检核。支距法，其方法简单，误差不积累，其缺点是安置仪器次数多，曲线点相互独立，故测设中的错误不易发现，它仅适用于平坦地区及支距y较小的曲线。长弦偏角法测设精度高、速度快、任何地区均可适用。

1-4、遇障碍时的曲线测设方法

一、偏角法遇障碍时曲线的测设

（一）圆曲线测设遇障碍

如图14，在圆曲线A安置经纬仪测设完1、2、3点，当测设4点时不通视，需要把仪器安置于3点上（该店桩已钉小钉）。为了利用原先已算好的偏角资料，以0°00′00″后视A点，倒镜后直接拨偏角δ交定出4点，同法可定出5、6……各点。

4，

用钢尺量出弦长3～4与视线相

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δ3δ4δ5方向切线δ3δ2324切线方向δ115A图 14

由以上测设方法得出结论：经纬仪置于曲线上任一点，继续向前测设曲线点时，首先将度盘读数拨到所对后视点点号的偏角值，找准后视点，倒镜后，打开照准部拨所测点的偏角值即可。

另一种测设方法如图15，以3点位测站，以（360°—δ3）后视A点，倒镜后，当度盘读数为0°00′00″时，其视线方向为3点的切线方向，再拨偏角δ

3-4

即可得到4点的方向，量弦长3～4与视线方向相交，即可得到4点；同法可

定出5、6………等点。

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δ3δ2δ132δ3-44δ3-515A图 15

由此得出结论：经纬仪置于曲线上任一点，继续向前测设时，于度盘上安置测站至后视点间的偏角值，并照准后视点；倒镜后，松开照准部，拨测站至测设点间的偏角值，即可得到测设点的方向。

上述两种方法，可按照测试者的习惯来选用，其关键是正确计算后视点方

向的度盘安置读数。 （ 二）缓和曲线测设遇障碍

因视线受阻，仪器安置于ZH（或HZ）点不能一次将缓和曲线上各分段点测设完，可将经纬仪安置于任一已测设的分段点上，继续向前测设。

如图16，B、T为缓和曲线上已测设的分段点（已打桩钉钉），置镜于T得到，后视B点并使度盘安置为后视偏角δB,倒镜、松开照准部，反拨前视点F的前视偏角δF,在此视线上量距即可测得F点。 后视点和前视点的偏角，可按下式计算：

后视点偏角δB=δ1(T-B)(B+2T)

前视点偏角δF=δ1(F-T)(F+2T)

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(23)

Li1800iR；B、T、F分别为后视 式中δ1为缓和曲线第一分段点的偏角，

点、置镜点、前视点的分段点编号;l1=10m。

-δ-δβ图 16

导证：如图16

设l1为第1分段点的曲线长（一般为10m），则

B点距ZH点的曲线长 lBBl1 T点距ZH点的曲线长lTTl1 F点距ZH点的曲线长lFFl1

T点的切线角 T为测站。

FTFT

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2lT而T2Rl0

tanTF

yFyTxFxT

tanTFTF ;xFxTlFlT TF角甚小，33lFlT22yFyTlTlT6Rl6RlFlFlT2Rl0lFlT2Rl0122lFlFlT2lT6Rl01lFlTlF2lT6Rl0l12FTF2T6Rl01FTF2T 同理可证B1TBB2T后视各点的偏角值。

在使用时，亦可按铁路曲线测设用表第三册第三表（格式见表3）， 查取前、

二、控制点遇障碍时曲线的测设

（一）交点不能到达时的测设方法

当交点位于河流、深沟、建筑物中，或由于线路转向角过大使切线太长，交点不便测设，这时可用副交点法或导线法来测设副交点，以代替交点。 1.副交点法

如图17，交点JD10(C)位于河流中不能测设，因而转向角α也就无法直接测定。此时可在直线I的适当位置选定一点A打桩钉钉，该点称副交点JD10-1；同法，可在直线II上选一点B与A点通视 法，且便于量距，称为副交点JD10-2。

测量α

1、

α2，并丈量AB的距离。为保证精度，角度应用J2或J6经纬仪观测

两个测回；距离应往返丈量，在限差内时取平均值。

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（）θθ210-2（）（）ⅠⅡ图 17

由于转向角α=α1+α2;AC、BC的距离由AB按正弦定理推得。根据R、α、l0即可计算曲线综合要素T、L、E0、q,并由此来测设主点ZH、HZ、QZ。其方法为：

（1）置镜于A，后视直线Ⅰ上任一转点桩，在该方向上由A量取（T-AC）长度，即得ZH点；用同样方法，置镜于B点可测设出HZ点。

（2）因为CM=E0，θ=（180°-α） 在ΔCAM中，根据AC、CM及θ，用余弦定理可求出AM长度，并由正弦定理求得∠CAM（γ）。

置镜于A，后视ZH，根据γ及AM可定出QZ（M）点。QZ应用测回法分中定点，距离应往返丈量取平均值。

2.导线法

当地形复杂，两切线上的副交点不通视或相距较远时，可用导线将两个副交点联系起来，图18。

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图 18 实地测出导线各转折角及连接角A、B和导线边长。以A为坐标原点，AC（切

线）为x轴，则αAC=0°00′00″；转向角α=αCB-αAC,即直线CB对的方位角为曲线的转向角。

根据计算出的导线点坐标，可以求得AC及BC长度，即

AC=xC=xB-

yB tan BCyB

sin 曲线综合要素计算和主点测设方法同副交点法。 （二）主点不能到达时的测设方法 1.在HY（或YH）上安置经纬仪测设

如图19，主点ZH（或HZ）位于水中不能测设，这时首先利用切线支距法由JD沿切线方向量出（T-x0）打桩钉钉，再由此桩与切线垂直方向量出y0打桩钉钉，得到HY（或YH），然后将经纬仪安置在HY上，后视JD转ω角得到切线方向，即可测设曲线。

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图

其中

180arctan

yTx0

2.利用极坐标法在曲线上设置控

δ图 203.

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如图20，当缓和曲线上有障碍物时，可由切线上的A点用极坐标测设曲线点B。由B点里程可以得到B上的切线坐标xB、yB,从而可得到距离DAB和δA角

Aarctan

yB(xBxA)

DAByBsinA

将经纬仪安置于A点，后视JD，拨方向量出DAB，即得B点。

1-6、曲线测设的误差

曲线测设，首先是测定出主点，然后以主点为依据，由一个主点测设至另一个主点。由于多方面因素的影响，导致产生闭合差，如图21。

用偏角法由ZH测设至QZ点时，测定的QZ′点与主点QZ不重合，产生闭合差f。将f在QZ′处分解为切线方向分量f纵，称纵向闭和差；和法线方向分量f横，称横向闭合差，以此来衡量曲线测设的精度。

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f纵f横图 21

一、曲线测设闭合差的规定

《铁路测量技术规则》规定，曲线闭合差限差为： 1.偏角法

l 纵向闭合差 （l为两点间的曲线长）；

2000 横向闭合差 10cm 2.极坐标法

点位误差 ±10㎝。

三、测设误差的分析

曲线测设都是先定出主点，然后详细测设曲线桩，分段闭合到主点上作检核。 用偏角法测设曲线时，其闭合差既受主点测设精度的影响，又受详细测设时的误差影响。主点测设的精度主要受到：转向角测量的误差、切线丈量的精度、确定ZH及HZ时的定向误差、确定HY及YH时x0及y0的丈量精度及其定向误差、确定QZ时E0的丈量精度及分角线方向的测角误差等因素的影响。详细测设曲线时的误差主要来自：主点测设的精度、偏角测设的精度（包括经纬仪对中、目标偏心、照准和读数误差、投点误差等）、照准后视点的方向误差、以弦长代替弧长的误差及弦长丈量误差等因素的影响。

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用极坐标法测设曲线时，由于光电测距仪测距精度高，故测距误差对点位精度的影响不显著。对点位精度影响较大的主要是：主点测设精度、设置测站时的测角精度、详细测设时的角度安置精度、测站数的个数等因素。

在上述因素中，以切线丈量精度、弦长丈量精度及偏角测设误差和转镜次数对曲线测设闭合差的影响最大。而且，曲线愈长闭合差愈大；曲线半径愈小对横向闭合差的影响愈大。

为保证曲线的测设精度，首先要提高切线的测量精度，以确保主点的测设精度；其次，在详细测设曲线时，要认真使仪器对中、整平，仔细对准后视点以减少偏角的测量误差，丈量弦长时要抬平钢尺、垂球落点准确；再者，对于长大曲线应增设控制点，分段测设、分段闭合。在有条件时，应采用长弦偏角法或极坐标法，利用光电测距仪或全站仪测设曲线，以提高工作效率和测设精度。

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缓和曲线常数公式推导

如图8所示，

α O′β·0βα-2βα0α 图 8

曲线主点为：直缓点ZH,缓圆点HY,曲中点QZ,圆缓点YH,缓直点HZ。

β0——缓和曲线的切线角，即HY（或YH）点的切线与ZH（或HZ）点切线的 交角；亦即圆曲线一段延长部分所对应的圆心角。 δ0——缓和曲线的总偏角；

m——切垂距，即ZH（或HZ）到由圆心O向切线所作垂线垂足的距离； p——圆曲线内移量，为垂线长与圆曲线半径R之差。

x0、y0的计算见式（9），其它常数的计算公式如下：

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l018002Rl018010036R

3l0l0m2240R2 (10) l02l04l02p324R2688R24R下面为五个基本要素的推证：

（一）求 x0、y0

由dxcosdl，dysin

将cosβ,sinβ按级数展开得：

cos1

22!44!，

sin

33!55!，

l2且已知2Rl0，

24dx1dl2!4!1l221l2412!2Rl04!2Rl0

dx(1

114ll8)dl22448Rl04!16l0

x(10l141ll8)dl22448Rl04!16Rl0

(l

1158lll)040R2l024!169R4l04

l5l99ll224440Rl04!169Rl0

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略去l的最高次项得：

l5 xl ① 2240Rl0 同理

3dydl3!

(

(1216ll)dl32Rl03!2Rl0



y(0l1216ll)dl332Rl03!8Rl0

121ll6)dl332Rl03!8Rl0

(

131ll)06Rl03!87R3l03

l3l733Rl 6Rl03!56

略去l的最高次项得：

l3 y ③

6Rl0

将l=l。分别代入上①、②式得：

3l0l02 x0l0 y0

6R40R2 (二) 求m

由上图中几何关系知：

0 mx0Rsin 因前已求得：

3l0l02 x0l0 y0 26R40R3l0305 ml0 R0240R3!5!word文档 可自由复制编辑

3l0l01l031l05 ml0 R()()240R5!2R2R3!2R335l0l0l0l0 l0225440R248R5!2R3l0l0 略去高次项得：m

2240R2 （三）求p

由上图几何关系知：

py0R(1cos0)y0(RRcos0)

因前面已求得：

l02 y06R cos010044!l0 2R022!

l020204R() p6R2!4!1l0221l02l02R（） 2R 6R2！2R4!224lll000 R(2) 46R8R4!16Rl02l02l04 36R8R4!16R 略去l。的最高次项得：

l02l02l02p

6R8R24R（四）求 δ0

由上图知：sin0y0 x0y0 x0 因δ0 很小，故 0sin0word文档 可自由复制编辑

将x0、y0 取至l0 的二次方代入上式得：

l02l 06R0

l06R 因前面已求得：0

所以：0l0 2R03

第二章

算例：已知R=600，l0=110,α=1430′

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0

l01801101800515072R2600l01801001450336R

l0l031101103m54.9852222240R240600l02l04l021102p0.840324R24R246002688Rl01103x0l0110109.908240R40600

l02l0411021104y03.36336R6600336600336R切线长： TmRptan21430 54.9856000.840tan

2 131.42m曲线长: L2l0R20180 l0R180

6001430 110180 261.84m外矢距： E0Rpsec2R 6000.840sec 5.68m14302600

切曲差： q2TL  2131.42261.84 1.00

JD里程——DK 533+424.67

JD DK 533+424.67 -T 131.42

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ZH DK 533+293.25 +l0 110 HY DK 533+403.25

+（L-2l0）/2 (261.84-2110)/2=20.92 QZ DK 533+424.17

+（L-2l0）/2 (261.84-2 110)/2=20.92 YH DK 533+445.09 +L0 110 HZ DK 533+555.09 ZH DK 533+295.912 +2T 2131.42=262.84 DK 533+556.09 -q 1.00 HZ DK 533+555.09

支镜在ZH点，后视DJ，ZH——HY,每10m偏角，ZH的里程为DK 533+293.25，按铁路测规要求，缓和曲线应该10m一点，则N=11 由式 3 可知

l018011018001452.54

36R66000014503 12N112偏角值计算表 ZH 00052.09

里程 DK 533+293.25 DK 533+303.25 DK 533+313.25 DK 533+323.25 偏角值 0000'00'' 10000'52.09'' 22210003'28.36'' 33210007'48.81'' word文档 可自由复制编辑

HY DK 533+333.25 DK 533+343.25 DK 533+353.25 DK 533+363.25 DK 533+373.25 DK 533+383.25 DK 533+393.25 DK 533+403.25 44210013'53.44'' 55210021'42.25'' 66210031'15.24'' 77210042'32.41'' 88210055'33.76'' 99211010'19.29'' 1010211026'49'' 1111211045'02.54'' 支镜在ZH点，后视JD，HZ——YH,每10m偏角 偏角值计算表 里程 HZ DK 533+555.09 YH word文档 可自由复制编辑

偏角值 0000'00'' DK 533+545.09 DK 533+535.09 DK 533+525.09 DK 533+515.09 DK 533+505.09 DK 533+495.09 DK 533+485.09 DK 533+475.09 DK 533+465.09 DK 533+455.09 DK 533+445.09 1359059'7.91'' 2359056'31.6'' 3359052'11.1'' 4359046'6.56'' 5359038'17.7'' 6359028'44.7'' 7359017'27.5'' 8359004'26.24'' 9358049'40.7'' 10358033'11'' 11358014'57.4''

支镜在HY点，后视QZ，计算每20m偏角，HY的里程为DK 533+403.25；又因为HY点里程DK533+403.25则第一点的里程为DK533+410,所以分弦长为6.75m，所以

备注 后视QZ 校核 曲线偏角资料 置镜点及测设里程 点间曲 偏角 线长（m） ° ′ ″ HY DK533+403.25 0 00 00 410 6.75 0 19 20.24 QZ DK533+424.17 20.92 0 59 55.88 支镜在HY点，后视QZ，计算每20m偏角;

曲线偏角资料 置镜点及测设里程 点间曲 偏角 线长（m） ° ′ ″ YH DK533+445.09 0 00 00 430 15.09 359 16 46.2 QZ DK533+424.17 20.92 359 00 4.12

备注 后视QZ 校核 word文档 可自由复制编辑