山东省高密市2015届高三4月月考 数学理

数学（理）试题

本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，检测时间120分钟．

第Ⅰ卷 （选择题，共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上．

一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数

7i对应的点的坐标为 34i1717A.(1,1) B. (1,1) C. (,1) D. (,1)

2552．已知全集为R，集合Ax21,Bxx3x20，则ACRB A. xx0 B. x1x2

x2C. x0x1或x2

12 D. x0x1或x2

x233．函数yx与y()图形的交点为(a,b)，则a所在区间是

A．（0，1） B．（1，2 ） C．（2，3 ） D．（3，4） 4. 已知具有线性相关的两个变量x,y之间的一组数据如下：

x y

0 2.2 1 4.3 2 4.5 3 4.8 4 6.7 y0.95xa,则当x6时,y的预测值为 且回归方程是 A．8.4 B．8.3 C．8.2

D．8.1

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 48 B.

32 3C.16 D. 32 6．将函数y3sin(2x所得图象对应的函数 A．在区间[3)的图象向右平移

个单位长度， 271212,]上单调递减 B．在区间[71212,]上单调递增

C．在区间[7. 函数fx,]上单调递减 D．在区间[,]上单调递增 6363cosx的图象大致是 2x

8．下列说法正确的是 ．．

A．“pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件

B．若数据x1,x2,x3，…，xn的方差为1，则2x1,2x2,2x3,,2xn的方差为2

61”发生的概率为 222D．已知随机变量X服从正态分布N2,，且PX40.84，则PX00.16

C．在区间[0,]上随机取一个数x，则事件“sinxcosx9．从6名同学中选4人分别到A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D城市游览，则不同的选择方案共有

10.已知O为坐标原点，向量OA(1,0),OB(1,2).若平面区域D由所有满足

OCOAOB(22,11)的点C组成，则能够把区域D的周长和面积同时分

为相等的两部分的曲线是 A．y1nxA．96种 B．144种 C．240种 D．300种

15x B. y

x5xx

C．yee1 D． yxcosx

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题；

2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上．

11．设P是圆(x3)(y1)4上的动点,Q是直线x3上的动点,则PQ的最小值为_______.

2212．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是______. 13．正偶数列有一个有趣的现象： ①2+4=6； ②8+10 +12=14+16； ③18+20+22+24=26+28+30，… 按照这样的规律，则2016在第 个等式中．

xy2014．设zkxy,其中实数x,y满足x2y40,若z的最大值

2xy40为12,则实数k________.

15. 已知M是x28y的对称轴与准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足

PMmPN，当m取得最大值时，点P恰在以M、N为焦点的双曲线上，则该双曲线的实轴

长为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

已知ab,c3， cosA-cosB3sinAcosA-3sinBcosB. （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若sinA224，求ABC的面积. 517．（本题满分12分）

甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250， C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：

概率人甲乙车型A 51B p14C q34

若甲、乙都选C类车型的概率为

3. 10（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率； （Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表： 车型 补贴金额（万元/辆） A 3 B 4 C 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列和数学期望． ． 18．（本小题满分12分）

在如右图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB2BC，

ABC60，ACFB．

（Ⅰ）求证：AC平面FBC；

（Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．

19.（本小题满分12分）

已知数列an是公差不为零的等差数列，a12，且a2,a4,a8成等比数列. （Ⅰ）求数列an的通项；

（Ⅱ）设bn1an是等比数列，且b27,b571，求数列bn的前n项和Tn. 20．（本题满分13分）

n2x2y2已知椭圆C：221（ab0）的焦距为2，且过点（1，），右焦点为F2．设A，

ab2线段AB的中点M的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，QB是C上的两个动点，

两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求F2PF2Q的取值范围． 21．（本小题满分14分） 已

知

函

数

12f(x)lnxmx2,g(x)12mxx,mR,2令

F(x)f(x)g(x).

1时，求函数f(x)的单调递增区间； 2（Ⅱ）若关于x的不等式F(x)mx1恒成立，求整数．．m的最小值； （Ⅰ）当m（Ⅲ）若m2，正实数x1,x2满足F(x1)F(x2)x1x20，证明：x1x251. 2数学（文）参考答案及评分标准

一、选择题（每小题5分，共50分） ACBBB CAADD

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．(x2)2y210 12．4 13．31 14．2 15．4(21) 三、解答题：16．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)

f(x)3sinxcosxcos2x131sin2xcos2x1 222sin(2x)1 ……………………………………………………3分

6∴ f(x)的最小值为2，最小正周期为. ………………………………5分

2（Ⅱ）∵ f(C)sin(C)1， 0 即sin(2C)1

6611∵ 0C，2C，∴ 2C，∴ C． ……7分

366662∵ m与n共线，∴ sinB2sinA0．

ab由正弦定理 ， 得b2a, ①…………………………………9分 sinAsinB22∵ c3，由余弦定理，得9ab2abcos3， ②……………………10分

解方程组①②，得a3． …………………………………………12分

b2317．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）从这140辆汽车中任取1辆，则该车行驶总里程超过5万公里的概率为

2020203． ………………3分

14073020145． ……………6分 （Ⅱ）（ⅰ）依题意n140（ⅱ）5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A，B，C；

5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M，N． “从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：

AB，AC ，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．

“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种： AM，AN，BM，BN，CM，CN．

设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件D，

则P(D)63． 1053．…………12分 5答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CBAB,

C

P ∴CB平面ABEF，

又AF平面ABEF，所以CBAF , -----2分

又AB2，AF1，BAF60，由余弦定理知BF3，

222∴AFBFAB得AFBF ----------------------4分

AFCBB∴AF⊥平面CFB， -----------------5分 AF平面AFC；∴平面ADF平面CBF； ------------6分

（Ⅱ）连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，

∴PH∥CF，又∵AF平面AFC，∴PH∥平面AFC -------------------8分 连结PO，则PO∥AC，AC平面AFC，PO∥平面AFC -----------------10分

POPO1P∴平面POO1∥平面AFC， ----------------11分

PM平面POH， 所以PM//平面AFC． ------------12分

19．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，因为cn(1)nSn 所以T20S1S2S3S4S20330

则a2a4a6a20330，………………………………3分 则10(3d)1092d330， 2解得d3，

所以an33(n1)3n． ……………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知bn2(a2)3n22n1

bn1bn2(a2)3n12n[2(a2)3n22n1]4(a2)3n22n1

1243n2[(a2)()n2]，

2312n212n2由bn1bn(a2)()0a2() ， ………………10分

2323512n212n2因为2()随着n的增大而增大，所以n1时，2()最小值为

423235所以a．………………………………………………………………12分

420．（本小题满分13分）

（Ⅰ）由于抛物线y4x 的焦点坐标为(1,0)，所以c1，

因此a2b21， ……………………2分

ab221xy因为原点到直线AB：1的距离为d， 227abab解得：a24,b23，……………………4分

2x2y2所以椭圆C的方程为1．……………………5分

43ykxm（Ⅱ）由x2y2，得方程(4k23)x28kmx4m2120，（）……………6分

134由直线与椭圆相切得m0且64k2m24(4k23)(4m212)0，

整理得：4k2m230，……………………8分 将4k23m2,m234k2代入（）式得

m2x28kmx16k20，即(mx4k)20，解得x4k， m4k3,)，……………………10分 mm334km又F1(1,0)，所以kPF1m，所以kF1Q，

4k4km31m4km所以直线F1Q方程为y(x1)，……………………11分

3ykxm联立方程组，得x4， 4kmy(x1)3所以点Q在定直线x4上．……………………13分 21．（本小题满分14分） 所以P(x解：（Ⅰ）f(x)ea,f(1)ea.

yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)ea， ………………………1分

∴切线l的方程为y(ea)(ea)(x1)，即(ea)xy0.…………………3分

(ea)1(1)0022又切线l与点(1,0)距离为,所以，

2222(ea)(1)解之得，ae1,或ae1. …………………5分 （Ⅱ）∵对于任意实数x0,f(x)0恒成立，

x∴若x0，则a为任意实数时，f(x)e0恒成立； ……………………6分

ex若x0,f(x)eax0恒成立，即a，在x0上恒成立，…………7分

xexxexex(1x)ex 设Q(x),则Q(x), ……………………8分 22xxx 当x(0,1)时，Q(x)0，则Q(x)在(0,1)上单调递增； 当x(1,)时，Q(x)0，则Q(x)在(1,)上单调递减；

所以当x1时，Q(x)取得最大值，Q(x)maxQ(1)e， ………………9分 所以a的取值范围为(e,).

综上，对于任意实数x0,f(x)0恒成立的实数a的取值范围为(e,). …10分

x（Ⅲ）依题意,M(x)elnxex，

xxex1exlnxex1(lnx1)ex1, ………………11分 所以M(x)xx111x1 设h(x)lnx1,则h(x)22,当x1,e,h(x)0,

xxxx 故h(x)在1,e上单调增函数,因此h(x)在1,e上的最小值为h(1)0，

1lnx1h(1)0， ………………12分 x1x 又ex0,所以在[1,e]上，M(x)(lnx1)e10，

即h(x)x 即M(x)g(x)f(x)在[1,e]上不存在极值.

-END-

………………14分