电磁场答案五

5.1 真空中直线长电流I的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。

解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流I产生的磁场

zBe0I 穿过三角形回路面积的磁通为2r

bd3b2I

dS0I2zd3b2dxBS2x[dz]dx0Id0zdxdx dS

由题5.1图可知，z(xd)tand6x3，故得到 题 5.1 图 0Id3b2x3d0Ibd3bdxdx[23ln(12d)] 5.2 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所示。计算各部分的磁感应强度B，并证明腔内的磁场是均匀的。

解 将空腔中视为同时存在J和J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个电流密度为J、均匀分布在半径为a的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

由安培环路定律Bdl0I，可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的

Crb 0B2Jrbrbb圆柱内的电流产生的磁场为 J rdab o a b20Jrbb oab 2r2rbbb 电流密度为J、均匀分布在半径为a的圆柱内的电流产生的磁场为

题5.2图

 0B2Jraraaar 20aJa2r2raaa这里ra和rb分别是点oa和ob到场点P的位置矢量。

将Ba和Bb叠加，可得到空间各区域的磁场为

圆柱外：B0b2a22Jr2rb2ra (rbb) bra 圆柱内的空腔外：B02Jra2br2ra (rbb,raa)

a 空腔内： B02Jrbra02Jd (raa)

式中d是点和ob到点oa的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。

5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J。 (1) Herar,B0H （圆柱坐标）

(2) Hex(ay)eyax,B0H (3) Hexaxeyay,B0H

(4) Hear,B0H（球坐标系）

解 根据恒定磁场的基本性质，满足B0的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由JH求出源分布。

（1）在圆柱坐标中 B1(rBr)1(ar2)2a0

rrrr该矢量不是磁场的场矢量。 （2） B(ay)(ax) 0xyexeyez该矢量是磁场的矢量，其源分布为 JHe2a zxyzayax0 （3） B(ax)(ay) 0xyexeyez该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 JH0

xyzaxay01B1(ar)0

rsinrsin该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 （4） 在球坐标系中 Brersineeractage2a

0ar2sinJ(r)5.4 由矢量位的表示式A(r)d证明磁感应强度的积分公式 4RJ(r)RB(r)0d 34R并证明B0

: 解

0J(r)J(r)B(r)A(r)0dd4R4Rer1JH2rsinr001J(r)()d

4RB[A(r)]0

5.5 有一电流分布J(r)ezrJ0(ra)，求矢量位A(r)和磁感应强度B(r)。 解 由于电流只有ez分量，且仅为r的函数，故A(r)也只有ez分量，且仅

00J(r)RRJ(r)()dd 334R4R为r的函数，即A(r)ezAz(r)。在圆柱坐标系中，由Az(r)满足的一维微分方程

和边界条件，即可求解出A(r)，然后由B(r)A(r)可求出B(r)。

记ra和ra的矢量位分别为A1(r)和A2(r)。由于在ra时电流为零，所以

2Az1(r)由此可解得

1Az1(r)0J0r （ra） rrr1Az22Az2(r)(r)0 （ra）

rrr1Az1(r)0J0r3C1lnrD1

9Az2(r)C2lnrD2

Az1(r)和Az2(r)满足的边界条件为 ① r0时，Az1(r)为有限值

AA② ra时，Az1(a)Az2(a)，z1raz2ra

rr由条件①、②，有 C10，10J0a3C2lnaD2，10J0a2C21

93a113，由此可解得 C210J0aD20J0a3(lna)

333故

1Az1(r)0J0r3D1 （ra）

9111Az2(r)0J0a3lnr0J0a3(lna) （ra）

333参考点确定，若令r0时，式中常数D1由

则有Az1(r)0，D10。 z P(x,y,z) 空间的磁感应强度为 a b I x 题5.6图

 r y

10J0r2 （ra） 30J0a3 （ra）

B2(r)A2(r)e3r5.6 如题5.6图所示，边长分别为a和b、载有电流I的小矩形回路。

（1）求远处的任一点P(x,y,z)的矢量位A(r)，并证明它可以写成 prA(r)0m3。 其中pmezIab；

4r（2）由A求磁感应强度B，并证明B可以写成

B1(r)A1(r)eB体角。

0Iabezer场点对小电流回路所张的立

(d) 式中d4r2解 （1）电流回路的矢量位为 A(r)0I4C1dl R式中：R[(xx)2(yy)2z2]12[r22rsin(xcosysin)x2y2]12

11根据矢量积分公式dldS，有 dldS()

CSRRCS而 (1)(1)

RRI1( )所以 A(r)0dS4SR对于远区场，rx,ry，所以Rr，故

A(r)故

0I01101 dS()[IdS]()(eIab)()z4r4r4rSSprr0pm(3)0m3

4r4rpsinr（2）由于 A(r)0pmez(3)e0m2

4r4r0pm11(er2cosesi n)BAer(sinA)e(rA)34rrsinrrezer 3又由于 er2cosesinr3(cos)r()r2r20故 B0pm(ez2er)0I(abez2er)I(d)

4r4r45.7 半径为a磁介质球，具有磁化强度为

Mez(Az2B)

其中A和B为常数，求磁化电流和等效磁荷。

解 磁介质球内的磁化电流体密度为 JmMez(Az2B)ezez2Az0 等效磁荷体密度为 mM磁介质球表面的磁化电流面密度为

(Az2zB) z2A

z

I 10 x 2

ezer(Aa2cos2B) e(Aa2cos2B)sin

等效磁荷面密度为 JmSMnramnMraerez(Aa2cos2B)

题5.8图

布。

(Aa2cos2B)cos

5.8 如题5.8所示图，无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两种磁介质的分界面，试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度B1和B2；（2）磁化电流分

解 （1）由安培环路定理，可得 HeI

2r所以得到 B10He0I

2rI

B2He2r （2）磁介质在的磁化强度

(0)I1 MB2He020rH1(P1) H2(P1)

则磁化电流体密度

l (0)I1d1d1h JmMez(rM)ez(r)0

rdr20rdr H1(P2)H2(P2) 在r0处，B2具有奇异性，所以在磁介质中r0处存1 2 在磁化线电流Im。以z轴为中心、r为半径作一个圆形回 题5.9图

1I 路C，由安培环路定理，有 IImBdl0C0故得到 Im(1I)

0在磁介质的表面上，磁化电流面密度为

(0)I eJmS=M?ezz=0r20r5.9 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为H0，若此平面电流回路位于磁导率分别为1和2的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度H1和H2。

解 由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界面上的磁场只有法向分量，根据边界条件，有B1B2B。在分界面两侧作一个小矩形回路，分别就真空和存在介质两种不同情况，应用安培环路定律即可导出H1、H2与H0的关系。

在分界面两侧，作一个尺寸为2hl的小矩形回路，如题5.9图所示。根据安培环路定律，有

CHdlH1(P)hH2(P)hHP)h111(2H) h I （1） 2(2P因H垂直于分界面，所以积分式中Hl0。这里I为与小矩形回路交链的电流。

对平面电流回路两侧为真空的情况，则有

CH0dl2H0(P1)h2H0(P2)hI （2）

由于P和P2是分界面上任意两点，由式（1）和（2）可得到 H1H22H0 1BB即 2H0

2212于是得到 BH0

122221BB故有 H1H0 H2H0

2121125.10 证明：在不同介质分界面上矢量位A的切向分量是连续的。

n 解由BAl 1得

A1媒质① 媒质② BdSSAdSAdlSC C h A2 题5.10图

C

由于B为有限值，上式右端等于零，所以

A1lA2l0

由于矢量l平行于分界面，故有

A1tA2t

5.11 一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场B0中，并使它们的轴与B0平行，（铁的磁导率为）。求两样品内的B和H；若已知B01T、50000，求两样品内的磁化强度M。

解 对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件H1tH2t，有

HH0B00

（1）

在媒质分界面上任取一点P，围绕点P任作一个跨越分界面的狭小矩形回路C，其长为l、宽为h，如题5.10图所示。将式（1）应用于回路C上，并令h趋于零，得到

AdlA1lA2llimBdS

h0SBHB0 01(4999 1)B00000对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件B1nB2n，有

BB0

HBB0

MBH14999 )B000500005．12 如题5.12图所示，一环形螺线管的平均半径r015cm，其圆形截面

MH(B1的半径a2cm，鉄芯的相对磁导率r1400，环上绕N1000匝线圈，通过电流I0.7A。

（1）计算螺旋管的电感；

（2）在鉄芯上开一个l00.1cm的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的r不变）

（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。

解 （1）由于ar0，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中

心处的磁场。由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为

NI H2r0r0 a 22aNI o 与螺线管铰链的磁链为 NSH 2r0 l0 故螺线管的电感为

a2N2LI I2r0 图 题5.12

72214004100.021000 2.346H

20.15（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有B0BB，

但空气隙中的磁场强度H0与铁芯中的磁场强度H不同。根据安培环路定律，有

H0l0H(2r0l0)NI

又由于B00H0、B0rH及B0BB，于是可得 B22aNI 0r所以螺线管得磁链为 NSBrl0(2r0l0)0rNI

rl0(2r0l0)故螺线管得电感为

0ra2N24210714000.02210002L0.944H

Irl0(2r0l0)14000.00120.150.001 （3）空气隙中的磁场能量为 Wm010H20S l0

22鉄芯中的磁场能量为 Wm10rHS(2r0l0 )2Wrl014000.001故 m01.487

Wm2r0l020.150.0015.13 证明：单匝线圈励磁下磁路的自感量为L01Rm，Rm为磁路的磁阻，故NI激励下，电感量为LN2Rm。磁路中单匝激励下的磁场储能Wm0Rm022，则NI激励下的WmN2Wm0。

解 在单匝线圈励磁下，设线圈中的电流为I，有0L0II。则在NI激Rm2NI 励下，磁路的磁通为 N0Rm22N 故电感量为 LIRm为

2R1I2在单匝线圈励磁下，Wm0L0Im02。在NI激励下，磁路的磁能

22Rm212N2I2N2Rm2WmLI022Rm2l1 N2Wm0

5.14 如题5.14图所示，两个长的矩形线 I1 w1 圈，放置在同一平面上，长度分别为l1和l2，宽① 度分别为w1和w2，两线圈最近的边相距为S， r S 两线圈中分别载有电流I1和I2。设l1>>l2，且两

w2 ② 线圈都只有一匝，略去端部效应。证明：两线圈

l的互感是 2 l(Sw1)(Sw2) 题5.14图 M02ln2S(Sw1w2)

解 由于l1>>l2，因此可近似认为线圈①中的电流在线圈②的回路中产生的磁场与两根无限长的平行直线电流产生的磁场相同。线圈①中的电流I1在线圈②的回路中产生的磁场为

I11B1201()

2rrw1与线圈②交链的磁通12为

0I1l2Sw2Sw1w2 11()l2drlnlnrrw2SSw11S0I1l2(Sw1)(Sw2) ln2S(Sw1w2)l(Sw1)(Sw2) 故两线圈间的互感为 M1202lnI12S(Sw1w2) 5.15 长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题5.15图(a)所示。证明：直导线与矩形回路间的互感是

aR M0ln221222122[2b(RC)bR]

b A B A B

a R1R R C b C PQ P Q abI12012Sw2题5.15图()

题5.15图()

解 设长直导线中的电流为I，则其产生的磁场为 B0I

2r由题5.15图(b)可知，与矩形回路交链的磁通为

IaI0BdS02S2R1RaIR1dr0ln1 r2R1222212 ]2其中 R[C2(bRC)][R2b22bR2C1故直导线与矩形回路间的互感为

0aR10a[R2b22bR2C2]12

MlnlnI2R2RmaR -0ln221222122p[2b(R-C)+b+R]5.16 如题5.16图所示的长螺旋管，单位长度

 密绕n匝线圈，通过电流I，鉄心的磁导率为、截 面积为S，求作用在它上面的磁场力。

I x 解 由安培环路定理可得螺旋管内的磁场为 题5.16 图

HnI

设铁心在磁场力的作用下有一位移dx，则螺旋管

内改变的磁场能量为

1dWmH2Sdx0H2Sdx(0)n2I2Sdx

22则作用在鉄心上的磁场力为 FxdWmdx磁力有将铁心拉进螺旋管的趋势。

Ic21(0)n2I2S 2