衬砌计算1

目 录

一、 二次衬砌结构计算…………………………………….............……1

(一)基本参数…………………………………………………………… ...2 (二)荷载确定…………………………………………………………….2 (三)计算衬砌几何要素………………………………………...…….....3 (四)位移计算………………………………………………………..…….4 1.单位位移……………………………………………………….....…..5 2.载位移—主动荷载在基本结构中引起的位移…………………..…..6 3.载位移—单位弹性抗力及相应的摩擦力引起的位移…………........8 4.墙底（弹性地基梁上的刚性梁）位移………………………..…….12 (五)解力法方程………………………………………………….………12 (六)计算主动荷载和被动荷载分别产生的衬砌内力……………………13 (七)最大抗力值的求解………………………………………..………14 (八)计算衬砌总内力……………………………………………………16 (九)衬砌截面强度检算………………………………………..………17 (十)内力图………………………………………………………….……18

参考资料…………………………………………………………………..…..19

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二次衬砌结构计算

一、二次衬砌结构计算

选取五级级围岩复合式衬砌的二次衬砌作为典型衬砌，做结构计算。

（一）基本参数

1. 围岩级别：Ⅴ

2. 围岩容重：18.5kN/m3；

3. 围岩弹性抗力系数：K1.5105kN/m3；

4. 衬砌材料为C25混凝土，弹性模量Eh2.85107kPa，容重h23kN/m3。 5. 抗压极限强度：fcu11.9103kNm2，ftd1.27103kNm2； 6. 衬砌拱厚度：d50cm；

（二）荷载确定

1. 围岩垂直均布压力

按矿山法施工的隧道围岩荷载为：

qs0.452s-10.4525-118.51iB50.4525-118.510.112.735236.03kN/m2

式中：

s—围岩类别，此处s=5;

γ—围岩容重，此处γ=18.5kN/m3;

ω—跨度影响系数，ω=1+i(B-5),隧道跨度B=12.72m,B=5~15m时，i取0.1。 考虑到初期支护承担大部分围岩压力，而二次衬砌一般作为安全储备，故对围岩 压力进行折减，本隧道按25%折减，取为177.02kN/m2。 围岩水平均布压力e=0.4qs=70.808kN/m2。 浅埋隧道围岩垂直均布压力

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按矿山法施工的隧道围岩荷载为:

Ht7.03m,Bt12.72m,H8m,h15.03m

tantang(tan2g1)tangtangtan(tan2401)tan40tan40tan40tan32

=3.27

tantangtan[1tan(tangtan)tangtan]3.27tan403.27[13.27(tan40tan32)tan40tan32] =0.303

e1H0.30318.5844.84kNm2

2e2h18.50.30315.0384.25kNm

1e(e1e2)64.5kNm2e(H1/2Hi)tan2(45。-/2)=65.3 kN/m2

q浅=H(1H/Bttan)18.58(18/12.720.303tan32)

130.37kNm

则经过计算最终取在深埋情况下的围岩压力

q=177.02kN/m2

e=0.4qs=0.4177.02=70.808kN/m2

（三）计算衬砌几何要素

1. 几何尺寸：

内轮廓半径r=5.60m, 拱截面厚度d=0.50m 则外轮廓半径R=r+d=5.6+0.50=6.10m,

拱轴线半径r′=r+0.5×d=5.6+0.5×0.50=5.85m, 拱轴线圆弧中心角θ=110° 2. 半拱轴线长度S及分段轴长ΔS：

S180r'110×5.8511.226m， 180将半拱轴平均分为8段，每段轴长为：

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S11.226S1.403m883. 各分块接缝（截面）中心几何要素： （1）与竖直轴夹角

i S1801.4031801'13.75r5.852113.7513.7527.5

3227.513.7541.25 4341.2513.7555 5513.7568.75

546568.7513.7582.5 7682.513.7596.25

8796.2513.75110 另外8110，角度闭合差Δ=0。

（四）位移计算

1.单位位移（所有尺寸见图1）

衬砌几何要素、拱部各截面与垂直轴之间的夹角和截面中心垂直坐标汇总于表1

图1 二次衬砌结构计算图

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截面  () sin cos x (m)

单位位移计算表 表1 y1y d yIII (m)(m)(m)(m)(m)(1y)I(m) 22积分系数 130 0 2 27.5 4 55 6 82.5 7 0.0000 1.0000 0.4617 0.8870 0.8191 0.5735 0.9914 0.1305 -0.1088 0 0.0000 1.4499 2.7012 3.8572 4.792 5.4523 5.8 5.8152 5.4972 0.0000 0.4177 0.911 1.7017 2.7446 3.9797 5.3364 6.7369 0.5 96.1538 0.0000 0.0000 16.7762 79.8 96.1538 193.2569 351.1460 701.8441 1348.271 2384.365 3860.571 5755.7300 7962.6711 1 13.75 0.2376 0.9713 3 41.25 0.6593 0.7518 5 68.75 0.9320 0.3624 0.5 96.1538 40.1634 0.5 96.1538 87.5961 0.5 96.1538 163.6249 278.4405 0.5 96.1538 263.9037 724.310 0.5 96.1538 382.6632 1522.885 0.5 96.1538 513.1151 2738.1876 0.5 96.1538 647.7785 4364.0192 96.25 0.9940 1 3 2 1 2 2 1 2 3 1 8 90 8.1001 0.5 96.1538 778.8553 6308.8065 769.2304 2877.7005  3

16033.2254 22557.8569 注：1.I—截面惯性矩，I=bd/12,b取单位长度。 2.不考虑轴力的影响。

S1.40370.4922107E2.8510KPa S11.403511I2.85107769.23043.786810E Sy1.403512212877.700514.166410EI2.85107 Sy21.46752216033.225578.928107EI2.8510计算精度校核为：

1121222(3.7868214.166478.928)105111.0476105 S(1y)21.4035ss22557.857111.0478107EI2.8510闭合差Δ=0.00000002

2.载位移—主动荷载在基本结构中引起的位移

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(1).每一楔块上的作用力：

竖向力：Qi=q·bi 侧向力：Ei=e·hi 自重力：Gidi1dish 2式中：bi——衬砌外缘相邻两截面之间的水平投影长度，由图1中量得； hi——衬砌外缘相邻两截面之间的竖直投影长度，由图1中量得；

di——接缝i的衬砌截面厚度。

b11.4499;b21.3668;b31.2053;b40.9748;b50.6884;b60.3543;b70.0605bi6.1B2h10.1748;h20.5144;h30.8245;h41.0874;h51.2879;h61.4147;h71.4603;h81.4222hi8.1868.185m作用在各楔块上的力计算如表2所示;

载位移计算表 表2

截集中力 面 Q G 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 E 0 力臂 aq 0 0.6834 0.6027 0.4874 0.3442 0.1771 0 0 ae 0 ag 0 0.6834 0.6026 0.4874 0.3442 0.1771 0.0302 Q·aq 0 G·ag 0 11.0263 9.7226 7.8639 5.5534 2.8574 0.4872 -0.9765 -1.3811 256.6612 16.1345 12.3772 241.9509 16.1345 36.4236 213.3622 16.1345 58.3811 172.5590 16.1345 76.9966 121.8605 16.1345 91.1936 62.7181 0 0 16.1345 103.4009 16.1345 100.7031 0.0874 175.4023 0.2572 145.8238 0.4123 103.9927 0.5437 0.6439 0.7073 59.3948 21.5815 3.2732 0 0 16.1345 100.1720 0.0521 -0.0605 0.7301 -0.0856 0.7111 (2).外荷载在基本结构中产生的内力 内力按下式计算（见图2所示） 弯矩：

0MpMi01,px(QG)i1yEQaqGagEaei1

图二： 轴力：

Ni0,psini(QG)cosiE

ii 6

式中：Δxi、Δyi——相邻两接缝中心点坐标增量值，按右式计算：Δxi=xi－xi-1 Δyi=yi－yi-1

Mi0,p、Ni0,p的计算见表3，表4.

载位移计算表 Mi,p 表3

E·ae 0 1.0817 9.368 24.0705 41.8630 58.7195 70.8517 75.4930 71.6100

载位移计算表 Ni,p 表4

截面 0 1 2 3 4 5 6 7 8 sinα 0 0.2376 0.4617 0.6593 0.8191 0.9320 0.9914 0.9940 0.9396 cosα 1 0.9713 0.8870 0.7518 0.5735 0.3624 0.1305 0 ∑Q+G 0 272.795 530.881 760.377 949.0715 1087.066 1165.919 1198.188 ∑E 0 48.8008 107.182 184.17 275.372 375.544 sinα∑Q+G 0 245.133 501.3520 777.4338 1013.1546 1155.944 cosα∑E 0 12.022 43.2869 80.583 105.640 99.80540 49.0183 -52.1412 0 0Np 00∑Q+G 0 0 272.7957 530.8812 760.3779 949.7153 ∑E 0 0 12.3772 48.8008 107.18 Δx 0 1.3841 1.3301 1.1559 0.9348 Δy 0 0.1846 0.4933 0.7907 1.0428 1.2351 1.3566 1.3987 1.3656 Δx∑Q+G 0 0 362.8456 613.6456 710.8012 626.5770 377.9730 26.81614 -375.893 Δy∑E 0 0 6.1056 38.5868 OMP 0 -187.510 -721.3764 -1509.536 111.7694 -2438.918 227.4790 -3376.1329 373.5700 -4202.2883 525.2739 -4828.8952 654.0477 -5177.2787 184.1786 0.6602 1087.0666 275.3723 0.3477 1165.9192 375.5443 0.023 1182.05 478.9453 -0.318 0 52.8171 201.8467 420.7682 671.7933 913.3492 1106.926 1227.1693 1125.928 12.3772 64.8397 -0.1088 1182.0537 478.9453 1175.0280 579.6484 1125.9286

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(3).主动荷载位移 计算结果见表5所示

主动荷载位移计算表 表5 截面 0 0Mp 41/I(m4) 96.1538 96.1538 y/I(m) 0.0000 40.1634 87.5961 163.6249 263.9037 382.6632 513.1151 647.7785 778.8553 2877.7005 0Mp/I 0Mpy/I 0Mp (1+y)/I 积分系数1/3 1 4 2 4 2 4 2 4 1 0 0 -18029.83933 -69363.08588 -145147.639 -234511.2652 -324628.013 -404065.9913 -464316.6314 -497815.0288 -2157877.494 0 -7531.063886 -63189.77124 -246997.7373 -643639.6183 -1291922.103 -2156257.756 -3128054.714 -4032351.515 -11569944.28 0 -25560.90321 -132552.8571 -392145.3763 -878150.8835 -1616550.116 -2560323.747 -3592371.345 -4530166.544 -13727821.77 1 -187.510 2 -721.3764 96.1538 3 -1509.536 96.1538 4 -2438.918 96.1538 5 6 7 8 -3376.1329 -4202.2883 -4828.8952 -5177.2787 ∑ 96.1538 96.1538 96.1538 96.1538 769.2304 则：

1pS0MpM1MpS1.402ds(2157877.4944)0.10627EhIEI2.85100000

2pS0yMpM2MpS1.403dsI2.85107(11569944.28)0.5692EhIE

计算精度校核：

1p2p0.10620.5692=0.6712

2p (1y)MpS1.402I2.85107(13727821.77)0.6721E0闭合差Δ=0.0009。

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3.载位移—单位弹性抗力及相应的摩擦力引起的位移 各接缝处的弹性抗力强度

抗力上零点假定在接缝2处，228b;

最大抗力值假定在接缝5处，569h; 拱部任一截面截面外缘的抗力强度按下式计算：

(cos2

bcos2iicos2cos2)hbh(cos228cos2icos228cos269)h0.7796cos2(i0.77960.128)hcos2(1.196i0.652)h算出：20,30.332h,40.691h,5h

最大抗力值以下各截面抗力强度按下式计算：

(1y'2iiy'2)h

h式中：y'i—所考察截面外缘点到到h点的垂直距离;

y'h—墙角外缘点到到h点的垂直距离;由图1 中量得: y4147y''61.72.875，y84.297

1.414722.87526(14.2972)h0.8916h,7(14.2982)h0.5526h80;

按比例将所求的抗力绘在分块图上 (2).各楔块上抗力集中力Ri’ 按下式近似计算：

R'ii(i12)Si外

式中：ΔSi外—楔块外缘长度。 (3).抗力集中力与摩擦力的合力Ri

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按下式计算：

RiRi'12 式中：—围岩与衬砌间的摩擦系数，此处取u=0.2。 则：

RiRi'10.221.0198Ri'

其作用方向与抗力集中力Ri的夹角β=arctanμ=11.3099°。由于摩擦阻力的方向与衬砌位移的方向相反，其方向向上。

将Ri的方向线延长，使之交与竖直轴，量取夹角Ψk，将Ri分解为水平与竖直两个分力：

RH=Ri·sinΨk RV=Ri·cosΨk

以上计算列于表6.

弹性抗力及摩擦力计算表 表6

截面 3 4 5 6 7 8 σ (σh) (σi-1+σi) /2 ΔSi外 1.463 1.463 1.463 1.463 1.463 1.463 R(σh) 0.2476 0.7631 1.2614 1.4111 1.0773 0.4122 ΨK sinΨK cosΨK 0.7544 0.6530 0.4954 0.2398 0.0174 -0.1398 RH(σh) 0.1625 0.5779 1.0957 1.3698 1.0771 0.4081 RV(σh) 0.1868 0.4983 0.6250 0.338 0.0188 -0.0576 '0.332 0.166 0.691 0.5115 1 0.8455 0.8916 0.9458 0.5526 0.7221 0 0.2763 41.02 0.6563 49.23 0.757 60.3 89 0.8686 0.9998 76.12 0.9708 98.04 0.9901 (4).计算单位抗力及其相应的摩擦力在基本结构中产生的内力

00弯矩：MRirki 轴力：NisinRVcosiRH

式中：rki—力Ri至接缝中心点K的力臂，由图1量得。 计算见表7及表8.

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Mi0 计算表 表7`

R3=0.2476σh R4=0.7631σh R5=1.2614σh R6=1.4111σh R7=1.0773σh R8=0.4122σh (σh) 0M截面 r3i Rr() r4iR4r4i(h) r5i Rr()55ihr6iRr()66ih r7i Rr() r8iRr() 3 4 5 6 7 8 0.0495 0.0122 1.3276 1.0130 2.5635 3.2335 3.9191 5.5302 5.3196 5.7308 6.6838 2.7550 -0.012 -0.7278 -3.6756 -7.2605 -13.6454 0.5231 0.3991 2.553 3.244 3.2203 4.5776 0.8663 1.0927 2.2174 3.1289 3.8012 4.0950 4.9873 2.0557 0.7212 1.0176 4.8231 5.1959 5.8375 2.4062 2.1445 2.3102 0.7673 0.8266 3.5163 1.4494 2.1334 0.879 1.146 0.4738 -20.1343 Ni0

计算表 表8

截面 3 4 5 6 7 8 α (°) 41.25 55 68.75 82.5 96.25 90 sinα 0.6593 0.8191 0.9320 0.9914 0.9940 0.9396 cosα 0.7518 0.5735 0.3624 0.1305 0 ∑RV (σh) 0.1868 0.6851 1.31 1.6401 1.6012 sinα∑RV ∑RH (σh) (σh) 0.1231 0.5611 1.220 1.625 1.6489 1.5044 0.1625 0.7395 1.8352 3.205 4.282 4.6902 cosα∑RH (σh) 0.1221 0.4241 0.6650 0.4182 -0.4658 0 0 N (σh) 0.0009 0.1369 0.5549 1.2067 2.114 1.5044 -0.1088 1.6589 (5).单位抗力及相应摩擦力产生的载位移 计算见表9

单位抗力及相应摩擦力产生的载位移计算表 表9 截面 Mσ0 1/ I (σh) 96.1538 96.1538 96.1538 96.1538 96.1538 96.1538 ∑ 0y/I Mσ/I -1.1784 -69.9895 -353.4294 -698.1322 -1312.036 0Mσy/I -0.4922 -63.760 -601.4308 0Mσ(1+y)/I -1.6707 -133.7499 -954.8602 0积分系数1/3 2 4 2 4 1 3 3 -0.012 4 -0.7278 5 -3.6756 6 -7.2605 7 -13.6454 8 -20.1343 163.6249 263.9037 382.6632 513.1151 647.7785 778.8553 -1916.0938 -2614.2261 -5221.5133 -6533.5502 -12267.3334 -1936.0099 -10331.32 -4370.7765 -18134.614 -22505.3908 1

S00MM1MS1.4024ds(4370.7765)2.1510EhIEI2.85107 11

0

SM2MEIdsSyM020EI1.4022.8510(18134.614)8.9211047h计算精度校核：



12=2.151048.921104=11.07110-4SE(1y)M01.4024 sI2.85107(22505.3908)11.071110闭合差Δ=0.0000001。

4.墙底（弹性地基梁上的刚性梁）位移 单位弯矩作用下的转角：

11 KI96.15386.41104a81.5105主动荷载作用下的转角：

004apM8pa5177.27876.41103.3186

单位抗力及相应摩擦力作用下的转角：

0aM0820.13436.411040.0129

衬砌计算矢高fy88.1863m

计算力法方程的系数

a41111a0.37868106.411046.7887104

a1212fa(1.41668.18636.41)10453.8978104a2222f2a7.89281048.186326.41104437.4622104a00101pap(1a)h0.10623.3186(2.151040.0129)h3.42480.0131ha0202pfap(2f0a)

h0.56928.18633.3186(8.921048.18630.0129)h27.73630.1065h （五）解力法方程12

以上将单位抗力图及相应摩擦力产生的位移乘以h倍，即被动荷载的载位移。 求解方程：

Xa22a10a12a20

1a212a11a220.0437(3.42480.01314h)53.898710(27.73630.1065h)(53.8978104)26.78871040.04371.6871041.5512106h6.1689107273.4682.5145h式中

X1p273.468X12.5145

Xa11a20a12a102a212a11a226.7887104(27.73630.1065h)53.8987104(3.42480.0131h)(53.8987104)26.78871040.04373.70121041.6924106h6.1689107599.9972.7434h式中

X

2p599.997,X22.7434

计算公式为

MM0PX1PyX2PP, NN0PX2PcosP

M0X1yX2M,

N0X2cosN

计算过程见表10和表11

（六）计算主动荷载和被动荷载分别产生的衬砌内力13

主被动荷载作用下衬砌弯矩计算表 表10

截面 0 1 2 3 4 5 6 7 8

主被动荷载作用下衬砌轴力计算表 表11

截面 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ONP OMP X1p 273.468 X2p•y 0 [Mp] 273.468 OM X1 X2•y [M] -2.5145 -1.3685 -0.0152 2.1419 4.2872 0 -187.510 -721.3764 -1509.536 -2438.918 -3376.132 -4202.288 -4828.8952 -5177.2787 0 0 0 -2.5145 0 -2.5145 1.1459 -2.5145 2.4992 -2.5145 4.6684 273.468 250.6187 336.5767 273.468 546.5972 98.6888 273.468 1021.014 -215.053 -0.012 273.468 1646.751 -518.698 -0.7278 -2.5145 7.5295 273.468 2387.808 -714.856 -3.6756 -2.5145 10.9179 4.7278 273.468 3928.822 -326.996 -7.2605 -2.5145 14.6398 4.8648 273.468 4432.119 -123.3074 -13.6454 -20.1343 -2.5145 18.4820 2.3221 -2.5145 22.2218 -0.4269 273.468 4860.035 43.7750 X2p•cos 599.997 582.8023 532.2038 451.1016 344.1441 217.4617 78.3153 -65.3197 0 [Np] 599.997 635.6194 734.0505 871.8698 1015.9374 1130.8109 1185.2413 1161.8495 1125.928 ON X2•cos 2.7434 2.6647 2.4334 2.0625 1.5735 0.9943 0.3580 -0.2986 0 [N] 2.7434 2.664 2.4334 2.0634 1.7104 1.5492 1.5647 1.8153 1.5044 0 52.8171 201.8467 420.7682 671.7933 913.3492 1106.926 1227.1693 1125.928 O 0 0 0.0009 0.1369 0.5549 1.2067 2.114 1.5044 （七）最大抗力值的求解 首先求出最大抗力方向内的位移。

考虑到接缝6处的径向位移与水平方向有一定的偏离，因此修正后有：

hp

MPSJ(y6yi)sin6, Eh MSJ(y6yi)sin6E

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计算过程见表12

最大抗力位移修正计算表 表12 截面 0 1 2 3 4 5 6 Mp/I 26294.987 32363.1287 9489.3031 M/I -241.7787 -201.5864 -67.4615 (y6-yi) 5.3364 4.9187 4.4254 3.6347 2.5918 1.3567 0 Mp(y6-yi)/I M（y6-yi)/I 积分系数1/3 140320.5706 159184.5211 41993.9621 -75158.9196 -129265.4645 -93254.2951 0 43820.3745 -1290.228 -991.5430 -298.5441 748.5730 835.157 616.7503 0 -379.8347 1 4 2 4 2 4 -20678.1631 205.9518 -49874.7837 322.2305 -68736.120 -69903.427 454.5959 467.7690 ∑ 位移值为： MPS1.403hp5p(yy)I6i2.8510743820.37450.002157Eh5 MS1.4035I(y6yi)2.85107(308.197)1.517210E

98.7721最大抗力值为：

hhp1hK0.002157151.5172101.5105（八）计算衬砌总内力

按下式计算衬砌总内力：

MMPhM, NNPhN 计算过程见表13

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衬砌总内力计算表 表13 截Mp 面 0 1 2 3 4 5 6 7 8 273.468 336.5767 98.6888 -215.053 -518.698 -714.856 -326.996 -123.3074 43.7750 M M Np 599.997 635.6194 734.0505 871.8698 1015.9374 1130.8109 h 98.77 98.77 98.77 98.77 98.77 98.77 98.77 98.77 98.77 N 1026.636 1049.91136 1112.480 1192.759 1281.9302 1371.7347 1428.5756 1444.155 1359.8847 e -0.0165 -0.0221 -0.0243 0.0121 0.1103 0.1431 -0.0879 -0.3275 0.0054 M/I 4505.888222 20504.55554 9357.589355 -2117.784753 -12724.56466 -27767.93513 -27748.08514 -29234.57712 3891.881209 -61333.03248 My/I 1882.10951 18679.6501 15923.8098 -5812.472032 -50639.94998 -148180.809 -186936.0748 -236802.9981 14559.57625 -577327.1583 积分系数1/3 1 4 2 4 2 4 2 4 1 -2.5145 46.8612 -1.3685 -0.0152 2.1419 4.2872 4.7278 4.8648 2.3221 -0.4269 213.247 97.3189 -22.0249 -132.3355 -288.7866 111.4197 1185.2413 85.9602 5.0594 1161.8495 1125.928 ∑ 计算精度的校核：根据拱顶切开点之间的相对转角和相对水平位移应为零的条件来检查。

(1).相对转角的校核

SMIa0 E式中：

S M1.4023(61333.0325)3.017107EI2.8510

aM8a4.57756.411042.9341103 闭合差： 0.0829103

(2)相对水平位移的校核按下式计算：.

SMyIfa0 E式中：

SMy1.402(577327.1583)0.02847EI2.8510

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fa8.1801982.93411030.024

闭合差：-0.0044

（九）衬砌截面强度检算

检算几个控制截面： 1.拱顶（截面0）

e0.0165m0.45d0.225m,故截面偏心距符合要求。 又有：0.2d0.1me0.0165m,亦符合规范要求。 ed0.0165可得： 0.50.03311.5e d11.50.0330.9505kRabd0.95051.1910410.5 N1026.6365.5082.4式中：RR4a—混凝土极限抗压强度，取a1.410kPa。

2.墙底（截面8）偏心检查 e=0.0054m（十）内力图

将内力图计算结果按比例绘制成弯矩图M与轴力图N,如图3所示。

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图三：二次衬砌内力

参考资料

1、中华人民共和国行业标准《公路隧道设计规范》（JTGD70-2004），北京：人民交通出版社，2004年．

2、《公路隧道施工技术规范》（JTG F60-2009）北京：人民交通出版社，2009年．

3、中华人民共和国行业标准《公路工程技术标准》（JTG B01—2003） 4、中华人民共和国行业标准《公路隧道勘测规程》（JTJ 063—85） 5、夏永旭主编，《隧道结构力学计算》，北京：人民交通出版社，2004年 6、王毅才，《隧道工程》，北京：人民交通出版社，2001.7

7、孙家驷等著，《公路勘测设计》，重庆：重庆大学出版社，1995.5 8、张雨化，《道路勘测设计》，北京：人民交通出版社，2003.7 9、陈秋南主编，《隧道工程》，北京：机械工业出版社，2008年

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