一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．化简（﹣x3）2的结果是（ ） A．﹣x6B．﹣x5C．x6D．x5 2．下列数中与
最接近的是（ ）
A．2B．3C．πD．4
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形的四边相等B．平行四边形的对角互补
C．平行四边形是轴对称图形D．平行四边形的对角线互相平分 4．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ） A．2，3，4B．2，3，5C．3，4，4D．3，4，5
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）
6．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，D是边BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），将△ABD沿AD折叠，点B落在点B'处，连接BB'，B'C，若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个
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数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为． 8．计算（
+2）2的结果等于．
9．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝．
10．甲、乙两名同学的5次射击训练成绩如表（单位：环）：
甲 乙
7 6
8 10
9 9
8 7
8 8
比较甲、乙这5次射击成绩的方差S2甲与S2乙的大小关系为S2甲S2乙（填“＞”“＝”或“＜”）
11．如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x的取值范围是．
12．对于反比例函数y＝，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点（﹣2，﹣2）；③y随x的增大而减
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小；④当x＞﹣2时，y＜﹣2．其中所有正确结论的序号是． 13．如图，⊙O是正△ABC的外接圆．若正△ABC的边心距为1，则⊙O的周长为．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，点E、F分别是AC、AD的中点，S△AEF：S△BCD＝．
15．如图，点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y2＝（x＜0）的图象上，AB⊥y轴，若△AOB的面积为2，则k的值为．
16．如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn∁nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点
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D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2019＝．
三．解答题（本大题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或满算步骤） 17．计算：18．化简：
÷（a﹣
． ）．
19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：D是BC的中点；
（2）若BA⊥AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
20．一只不透明的袋子中装有4个球，其中两个红球，一个黄球、一个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为．
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（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，用列表法或树形图的方法，求两次都是红球的概率．
21．2020蓉漂•云招聘活动在4月25日正式启动，共发布了岗位13198个．某网络公司招聘一名高级网络工程师，应聘者小魏参加笔试和面试，成绩（100分制）如表所示：
笔试
评委1
面试
评评评评评评委委委委委委2 3 4 5 6 7
94
95 92 99 98 97 96
成绩 98
其中规定：面试得分中去掉一个最高分和一个最低分，余下的面试得分的平均值作为应聘者的面试成绩． （1）请计算小魏的面试成绩；
（2）如果面试成绩与笔试成绩按6：4的比例确定，请计算出小魏的最终成绩．
22．某商店第一个月以每件100元的价格购进200件衬衫，以每件150元的价格售罄．由于市场火爆，该商店第二个月再次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫的进价和数量都有一定的提高，其数量的增长率是进价增长率的2.5倍，该批衬衫仍以每件150元销售．第二个月结束后，商店对剩余的50件衬衫以每件120元的价格一次性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利
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17500元．设第二批衬衫进价的增长率为x．
（1）第二批衬衫进价为元，购进的数量为件．（都用含x的代数式表示，不需化简） （2）求x的值．
23．如图，是一座横跨沙颖河的斜拉桥，拉索两端分别固定在主梁l和索塔h上，索塔h垂直于主梁l，垂足为D．拉索AE，BF，CG的仰角分别是α，45°，β，且α+β＝90°（α＜β），AB＝15m，BC＝5m，CD＝4m，EF＝3FG，求拉索AE的长．（精确到1m，参考数据：
≈2.24，
≈1.41）
24．已知：二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），当2≤x≤4时，函数有最大值5．
（1）求此二次函数图象与坐标轴的交点；
（2）将函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0）图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象，若点P（x0，y0）是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于m的一元二次方程m2﹣y0m+k﹣4+y0＝0恒有实数根时，求实数k的最大值．
25．两个运输小队分别从两个仓库以相同的工作效率调运一批物资，两队同时开始工作．第二小队工作5天后，由于技术问题检修设
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备5天，为赶上进度，再次开工后他们将工作效率提高到原先的2倍，结果和第一小队同时完成任务．在两队调运物资的过程中，两个仓库物资的剩余量yt与第一小队工作时间x天的函数图象如图所示．
（1）①求线段AC所表示的y与x之间的函数表达式； ②求点F的坐标，并解释点F的实际意义．
（2）如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是天．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB边上的动点，过点D作DE⊥AB交边AC于点E，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．
（1）当AD＝4时，求EF的长度； （2）求△DEF的面积的最大值；
（3）设O为DF的中点，随着点D的运动，则点O的运动路径的长度为．
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27．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是
的中点，过点F
作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”． （1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB． （2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．
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参考答案
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．解：原式＝x6， 故选：C．
2．解：∵16＜19＜20.25， ∴4＜则与
＜4.5，即3＜
﹣1＜3.5，
﹣1最接近的是π，
故选：C．
3．解：A、平行四边形的四条边不一定相等，故错误，是假命题； B、平行四边形的对角相等，故错误，是假命题；
C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故错误，是假命题，
D、平行四边形的对角线互相平分，故错误，是真命题， 故选：D． 4．解：A、∵
＝
＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
B、∵2+3＝5，∴不能组成三角形； C、∵D、∵
＝5＞4，3+4＞4，∴能组成锐角三角形； ＝5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
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故选：C．
5．解：由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），
故选：C． 6．解：如图1，
当BB′＝B′C时，△BCB'是等腰三角形，
如图2，当BC＝BB′时，△BCB'是等腰三角形，
故若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是2， 故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
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故答案为：5.5×104． 8．解：（＝3+4＝7+4
+2）2 +4 ，
．
故答案为：7+4
9．解：原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2， 故答案为：﹣y（3x﹣y）2 10．解：
＝（7+8+9+8+8）＝8，
＝（6+10+9+7+8）＝8，
S2甲＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2] ＝0.4；
S2乙＝[（6﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2] ＝2；
则S甲2＜S乙2． 故答案为：＜．
11．解：根据题意得：1＜1﹣2x＜2， 解得：﹣＜x＜0， 则x的范围是﹣＜x＜0， 故答案为：﹣＜x＜0
12．解：①∵k＝4＞0，∴它的图象在第一、三象限，故正确；
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②把点（﹣2，﹣2）代入反比例函数y＝，成立，故正确； ③当x＞0时，y随x的增大而减小，故错误． ④当x＞﹣2时，y＜﹣2或y＞0，所以错误； 故答案为：①②．
13．解：延长AO交BC于D，连接OB，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝AC， ∵OB＝OC，
∴AO垂直平分BC，即OD⊥BC， ∴OD＝1，AD平分∠BAC， 同理OB平分∠ABC， ∴∠OBD＝30°，
在Rt△OBD中，OB＝2OD＝2， ∴⊙O的周长＝2π×2＝4π． 故答案为4π．
14．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点， ∴CD＝AD＝DB，△ADC的面积＝△BCD的面积， ∵点E、F分别是AC、AD的中点， ∴EF∥CD，2EF＝CD，
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∴△AEF∽△ADC， ∴
，
∴S△AEF：S△BCD＝1：4； 故答案为：1：4．
15．解：设点A坐标（a，）
∵点B在反比例函数y2＝（x＜0）的图象上，AB⊥y轴， ∴
∴x＝ak
∴点B（ak，） ∵△AOB的面积为2 ∴（a﹣ak）×＝2 ∴1﹣k＝4 ∴k＝﹣3 故答案为：﹣3
16．解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形， ∴A1D1∥A2C1， ∴∴
＝＝
， ，
∴A1D1＝，
同理可得：A2D2＝，
∴S1＝1﹣×1×＝40﹣×40，S2＝4﹣×4，S3＝42﹣×
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42，…，Sn＝4n﹣1﹣×4n﹣1＝×4n﹣1， ∴S2019＝×42018， 故答案为：×42018．
三．解答题（本大题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或满算步骤） 17．解：原式＝4＝2
．
÷（a﹣
）
+1﹣2
+3﹣4，
18．解：＝＝
÷
19．（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE． ∵E为AD的中点， ∴AE＝DE． ∴有
，
∴△AFE≌△DCE（AAS）． ∴AF＝CD． ∵AF＝BD，
∴BD＝CD，即D是BC的中点；
（2）四边形AFBD是菱形．理由如下：
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连接FD．∵AF∥BD且AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形． 同理可证四边形AFDC是平行四边形． ∴FD∥AC． ∵BA⊥AC， ∴BA⊥FD．
∴四边形AFBD是菱形．
20．解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率为＝
，
故答案为：． （2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次都是红球的有4种结果， 所以两次都是红球的概率为．
21．解：（1）（94+95+98+97+96）÷5＝96（分）． 故小魏的面试成绩是96分； （2）96×
+98×
＝96.8（分）．
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故小魏的最终成绩是96.8分． 22．解：（1）依题意得：
第二批衬衫进价为 100（1+x）元，购进的数量为 200（1+2.5x）件．
故答案是：100（1+x），200（1+2.5x）；
（2）根据题意，得
200×（150﹣100）+[150﹣100（1+x）][200（1+2.5x）﹣50]+50[120﹣100（1+x）]＝17500． 化简，得50x2﹣5x﹣1＝0． 解这个方程，得x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去）．
所以x的值是20%．
23．解：在Rt△BDF中，∵∠DBF＝45°，∠BDF＝90°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴FD＝BD＝BC+CD＝9m，
∵α+β＝90°，∠ADE＝∠GDC＝90°， ∴△ADE∽△GDC， ∴
＝
，
∴AD•CD＝GD•ED，
设EF＝3FG＝3x，则24×4＝（9﹣x）（9+3x）， 解得：x＝1，或x＝5（舍去）， ∴EF＝3，
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∴DE＝EF+FD＝12m， ∵AD＝AB+BD＝24m， ∴AE＝
＝
＝12
≈27（m），
答：拉索AE的长约为27m．
24．解：（1）抛物线y＝y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0）的对称轴为：x＝
＝1
∵a＞0，抛物线开口向上： ∴当x≥1时，y随x增大而增大； 由已知：当2≤x≤4时，函数有最大值5． ∴当x＝4时，y＝5，
∴16a﹣8a﹣3＝5，解得a＝1； ∴y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与y轴交于（0，﹣3），抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）
（2）若关于m的一元二次方程m2﹣y0m+k﹣4+y0＝0 恒有实数根，则须即4k≤
恒成立，即k
，
恒成立．
∵点p（x0，y0）是（2）中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，且抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴0＜y0≤4，
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∴3≤≤4，（k取的值之下限）
∴实数k的最大值为3．
25．解：（1）①设AC的函数表达式为y＝kx+b， 将（12，0），（0，360）代入y＝kx+b， 得
，解得
即线段AC所表示的y与x之间的函数表达式为y＝﹣30x+360；
②第一小队的工作效率为360÷12＝30（t/天），
第二小队再次开工后的工作效率为30×2＝60（t/天），调运物资为60×2＝120（t），
即点E的坐标为（10，120），所以点F的纵坐标为120． 将y＝120代入y＝﹣30x+360，可得x＝8， 即点F的坐标为（8，120）．
点F的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120t；
（2）120÷30＝4（天）， 5+4＝9（天）． 故答案为9．
26．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴AB＝
＝10．
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∵DE⊥AB， ∴∠EDA＝90°．
∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°， ∴△AED∽△ABC， ∴
＝
． •AB＝5．
∴AE＝
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣5＝3． ∵DE⊥AB， ∴∠DEF＝90°． ∵∠EDA＝∠DEF＝90°， ∴EF∥AB． ∴△CEF∽△ACB， ∴
＝
． •AB＝
．
∴EF＝
（2）设AD＝x． ∵△AED∽△ABC， ∴
＝
＝
．
•AB＝x．
∴DE＝•BC＝x，AE＝
∴CE＝AC﹣AE＝8﹣x． ∵△CEF∽△ACB， ∴
＝
． •AB＝10﹣
x．
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∴EF＝
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∴S△DEF＝DE•EF＝﹣∴当x＝
x2+x＝﹣（x﹣）2+6．
时，S△DEF取最大值为6．
因此，△DEF的面积的最大值为6．
（3）如图，以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，
设AD＝t，则点D坐标（t，0），点E（t，t），点F（10﹣t）
∵点O是DF的中点， ∴点O（5+
t，t）
上运动，
t，
∴点O在直线y＝
∵过点D作DE⊥AB交边AC于点E， ∴0≤t≤
∴当t＝0时，点O坐标为（5，0） 当t＝
时，点O坐标为（
，
）
＝
∴点O的运动路径的长度＝故答案为：
27．解：（1）如图2，
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在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC， ∵点F是
的中点，FA＝FB，
，
在△FAG和△FBC中，∴△FAG≌△FBC（SAS）， ∴FG＝FC， ∵FE⊥AC， ∴EG＝EC，
∴AE＝AG+EG＝BC+CE；
（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE， 理由：如图3，
在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC， ∵点F是∴FA＝FB，
的中点，
，
∴∠FCG＝∠FCB， 在△FCG和△FCB中，∴△FCG≌△FCB（SAS）， ∴FG＝FB， ∴FA＝FG， ∵FE⊥AC，
，
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∴AE＝GE，
∴CE＝CG+GE＝BC+AE；
（3）如图3，
在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°， ∴BC＝AB＝2，AC＝2当点P在弦AB上方时，
在CA上截取CG＝CB，连接PA，PB，PG， ∵∠ACB＝90°， ∴AB为⊙O的直径， ∴∠APB＝90°， ∵∠PAB＝45°， ∴∠PBA＝45°＝∠PAB， ∴PA＝PB，∠PCG＝∠PCB， 在△PCG和△PCB中，∴△PCG≌△PCB（SAS）， ∴PG＝PB， ∴PA＝PG， ∵PH⊥AC， ∴AH＝GH，
∴AC＝AH+GH+CG＝2AH+BC，
，
，
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∴2＝2AH+2，
﹣1，
∴AH＝
当点P在弦AB下方时，如图5，
在AC上截取AG＝BC，连接PA，PB，PC，PG ∵∠ACB＝90°， ∴AB为⊙O的直径， ∴∠APB＝90°， ∵∠PAB＝45°， ∴∠PBA＝45°＝∠PAB， ∴PA＝PB，
在△PAG和△PBC中，∴△PAG≌△PBC（SAS）， ∴PG＝PC， ∵PH⊥AC， ∴CH＝GH，
∴AC＝AG+GH+CH＝BC+2CH， ∴2
＝2+2CH，
﹣1，
﹣（
﹣1）＝
+1，
+1．
，
∴CH＝
∴AH＝AC﹣CH＝2
即：当∠PAB＝45°时，AH的长为﹣1或
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