高中数学必修2第三章直线与方程知识点总结与练习

第一节直线的倾斜角及斜率、直线的方程

[知识能否忆起]

一、直线的倾斜角及斜率 1．直线的倾斜角

(1)定义：x轴正向及直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线及x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为

y2－y1y1－y2k＝＝.

x2－x1x1－x2

二、直线方程的形式及适用条件 名称 点斜几何条件 方 程 局限性 过点(x0，y0)，斜率y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的式 斜截式 两点式 截距式 一般式 为k 斜率为k，纵截距为直线 b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 不包括垂直于坐标轴的直线 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线 过两点(x1，y1)，(x2，y－y1x－x1＝ y2)，(x1≠x2，y1≠y2) y2－y1x2－x1在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，xy＋＝1 abAx＋By＋C＝b≠0) 0(A，B不全为0) [小题能否全取]

1．(教材习题改编)直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( )

A．30° B．60° C．150° D．120°

3

解析：选C 由k＝tan α＝－，α∈[0，π)得α＝150°.

33

2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，4则直线l的方程为( )

A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0

3

解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.

4

3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )

A．1 B．4 C．1或3 D．1或4

4－m解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.

m＋2

4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．

5－3a－3

解析：kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.

6－45－4

由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 答案：4

5．若直线l过点(－1,2)且及直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．

3

解析：由已知得直线l的斜率为k＝－.

23

所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，

2即3x＋2y－1＝0. 答案：3x＋2y－1＝0

1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．

3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，

则需要分类讨论．

直线的倾斜角

及斜率 典题导入

[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，3π

－3)的直线的倾斜角为，则y＝( )

4A．－1 B．－3 C．0 D．2

(2)(2012·苏州模拟)直线xcos θ＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是________．

3π2y＋1－－3

[自主解答] (1)tan＝

44－2因此y＋2＝－1.y＝－3.

333

(2)由题知k＝－cos θ，故k∈－，，结合正切函333

2y＋4

＝＝y＋2，

2

数的图象，当

－

k∈0，

π3

0，时，直线倾斜角α∈，当k∈63

5π3

，π，故直线的倾斜角的范，0时，直线倾斜角α∈63

π5π，π围是0，∪. 66

[答案] (1)B

π5π，π(2)0，∪ 66

由题悟法

1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围；

(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．

2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．

以题试法

1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称π

轴为x＝，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为( )

4A．45° B．60° C．120° D．135°

解析：选D 由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴

ππ为x＝知，f(0)＝f2，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，4

故倾斜角为135°.

2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线

l：y＝k(x－2)＋1及线段AB相交，则k的取值范围是( )

1



A.，＋∞ 2

B．(－∞，－2]

1

D.－2， 2

1



C．(－∞，－2]∪，＋∞ 

2

解析：选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l及线段AB相交，则kPA≤k≤kPB.

1

∵kPA＝－2，kPB＝，

21

∴－2≤k≤.

2

直 线 方

程 典题导入

[例2] (1)过点(1,0)且及直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．

(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)＋y＝9的弦

2

2

MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．

[自主解答] (1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.

则所求直线方程为x－2y－1＝0.

1－0

(2)由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直

1－3线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

[答案] (1)x－2y－1＝0 (2)2x－y－1＝0

由题悟法

求直线方程的方法主要有以下两种：

(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；

(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．

以题试法

3．(2012·龙岩调研)已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：

(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；

(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线． 因为线段AB，AC71



中点坐标分别为，1，－，－2， 22

1

x＋

2y＋2

所以这条直线的方程为＝，

1＋271

＋22

整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为

－＝131368

xy1.

(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为

y＋4x－1

3＋4

＝2－1

，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距

式方程为－＝1.

11117

xy直线方程的综

合应用 典题导入

[例3] (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0及l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．

[自主解答] 法一：设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上．

2＝3，

由题意知y＋y2＝0，

Bx＋xB

则点B(6－x，－y)，

2x－y－2＝0，

解方程组

6－x＋－y＋3＝0，

得16y＝3，

11x＝，

3

16－03则k＝＝8.

11－33

故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)， 点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，

y＝kx－3，由2x－y－2＝0，

3k－2

x＝k－2，解得4ky＝k－2.

AAy＝kx－3，

由x＋y＋3＝0，



解得－6ky＝k＋1.

B3k－3xB＝，

k＋1

∵P(3,0)是线段AB的中点， 4k－6k∴yA＋yB＝0，即＋＝0，

k－2k＋1∴k－8k＝0，解得k＝0或k＝8. 若k＝0，则xA＝1，xB＝－3， 此时

2

xA＋xB1－3

2

＝

2

≠3，∴k＝0舍去，

故所求的直线方程为y＝8(x－3)， 即8x－y－24＝0.

由题悟法

解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若及最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．

以题试法

4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别及

x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，

1

A2－，0，B(0，1－2k)， k11

△AOB的面积S＝(1－2k)2－ k2

1＝4＋2

－4k11

－＋k≥2(4＋4)＝4. 

11

当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．

k21

故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

2(2)∵|MA|＝

1

k2

＋1，|MB|＝4＋4k，

1＋1·

4＋4k＝2

2

2

∴|MA|·|MB|＝ ≥2×2＝4，

k2

k＋2＋2

k2

1

当且仅当k＝2，即k＝－1时取等号，

2

1

k故直线方程为x＋y－3＝0.

[典例] (2012·西安模拟)设直线l的方程为 (a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

[尝试解题] (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．

故a＝2，方程即为3x＋y＝0.

当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，

a－2得＝a－2，即a＋1＝1， a＋1

故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.

综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，

－a＋1则a－2≤0，

＞0，

－a＋1

或a－2≤0.

＝0，

∴a≤－1.

综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．

——————[易错提

醒]———————————————————————————

，当直线在x轴及y轴上的截距为零时也满足.

：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，

解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.

——————————————————————————————————————

针对训练

过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．

4解析：①当过原点时，直线方程为y＝－x；

3

xy②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，

a－a即x－y＝a.代入点(3，－4)，得a＝7. 即直线方程为x－y－7＝0. 4

答案：y＝－x或x－y－7＝0

3

1．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )

A．(1，－2) B．(1,2) C．(－1,2) D．(－1，－2)

解析：选A 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．

2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是

( )

A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0 C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0

解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，|0＋11＋16||0＋11＋C|由点到直线的距离公式可得＝2222，解得C2＋112＋11＝16(舍去)或C＝－38.

3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且及y轴交于点P，则P点坐标为( )

A．(3,0) B．(－3,0) C．(0，－3) D．(0,3)

解析：选D ∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2. 又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)， 整理即得y＝2x＋x＝0，得P(0,3)．

4．(2013·佛山模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )

A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0

解析：选A 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，

aca所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且

bbbc－＞0，故ab＞0，bc＜0. b5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单

位，所得到的直线为( )

111

A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1

3331

C．y＝3x－3 D．y＝x＋1

3

解析：选A 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y11

＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－

33111)，即y＝－x＋.

33

6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )

A．－2 B．－7 C．3 D．1 解析：选C 线段AB中，得m＝3.

7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．

解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x21

轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.

kk2

1



答案：(－∞，－1)∪，＋∞ 2

1＋m



，0的中点代入直线2

x＋2y－2＝0

2

8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．

33

解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－

22

xyx；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，得aaa＝1，直线方程为x＋y＝1.

综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0. 答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝0

9．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________．

解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得 (x＋2)m－(x＋y－1)＝0，

x＋2＝0，则x＋y－1＝0，

x＝－2，

得y＝3.

答案：(－2,3)

10．求经过点(－2,2)，且及两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．

xy解：设所求直线方程为＋＝1，

abab由已知可得1

2|a||b|＝1，

a＝2，

b＝1.

22

－＋＝1，

解得

a＝－1，b＝－2

或

故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.

11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数的取值范围．

解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1； 1

当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．

m＋1π

(2)①当m＝－1时，α＝；

2②当m≠－1



时，m＋1∈－

m∈－

3

－1，3－1，求直线AB的倾斜角α3

3

∪(0，3 ]， ，03

31

∴k＝∈(－∞，－3 ]∪，＋∞， m＋13πππ2π

，，∴α∈∪62. 23

综合①②知，直线AB的倾斜角

π2π

，α∈6. 3

，射线OA、OB分别及x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在1

直线y＝x上时，求直线AB的方程．

2解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1， 3

kOB＝tan(180°－30°)＝－，

3

3

所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.

3设A(m，m)，B(－3n，n)， 所以AB的中点

m－C2

3nm＋n

， ，2

1

由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得

2

m＋n1m－3n2＝2·2，m－0n－0

＝，m－1－3n－1

解得m＝3，所以A(3， 3)．

33＋3又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，

23－13＋3

所以lAB：y＝(x－1)，

2

即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.

1．若直线l：y＝kx－3及直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )

ππ

，A.6 3ππ

，C.3 2

ππ

，B.6 2ππ

，D.6 2

解析：选B 由

y＝kx－3，2x＋3y－6＝0，

解得

32＋3

x＝2＋3k6k－23y＝2＋3k.

，

x＞0，∵两直线交点在第一象限，∴

y＞0，

3

解得k＞.

3

∴直线lππ

，的倾斜角的范围是6. 2

2

2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)

2

＋(y－1)＝5截得的弦最短时，直线l的方程为________________．

解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C及点P的连线及直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最2－1

短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC的斜率为＝－1，设直

1－2线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.

答案：x－y＋1＝0

3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．

法二：设直线过定点(x0，y0)，则kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，

∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，

解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．

(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，

要使直线lk≥0，

不经过第四象限，则

1＋2k≥0，

解得k的取值范围是[0，＋∞)．

1＋2k(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的

k截距为

1＋2k



，01＋2k，∴A－，B(0,1＋2k)． k

1＋2k又－<0且1＋2k>0，∴k>0.

k111＋2k故S＝|OA||OB|＝×(1＋2k)

22k111＝4k＋＋4≥(4＋4)＝4， k22

11

当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．

k2

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为( )

A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0 解析：选B ∵kl1＝3，kl2＝－k，l1⊥l2，

11

∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.

332．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)及Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．

2a－1＋aa－1解析：k＝tan α＝＝.

3－1－aa＋2

a－1

∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，

a＋2

故－2＜a＜1. 答案：(－2,1)

l过点P(3,2)，且及x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点

如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为

xy＋＝1， ab∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.

32

ab∴1＝＋≥2

326

abab，即ab≥24.

132

∴S△ABO＝ab＝，即a＝6，b＝4时，

2ab△ABO的面积最小，最小值为12. 此时直线l的方程为＋＝1.

64即2x＋3y－12＝0.

xy第二节两直线的位置关系

[知识能否忆起]

一、两条直线的位置关系

斜截式 一般式 2A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B1≠0) 2A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B2≠0) 方 程 相 交 垂 直 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2 k1≠k2 1A1B2－A2B1≠0 A1B1当AB≠0时，记为≠ 22AB22k1＝－或 k2k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 A1A2当BB≠0时，记为·＝－1 12BB12{AB－AB＝0，BC－BC≠0 或12212112 平 行 k1＝k2 且b1≠b2 {AB－AB＝0，AC－AC≠0 12211221A1B1C1当ABC≠0时，记为＝≠222 ABC222重 合 k1＝k2 且b1＝b2 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0) A1B1C1当ABC≠0时，记为＝＝ 222A2B2C2二、两条直线的交点

设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组

{Ax＋By＋C＝0，Ax＋By＋C＝0 的解，若方程组有唯一

1

1

1

2

2

2

解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．

三、几种距离 1．两点间的距离

平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：

d(A，B)＝|AB|＝

2．点到直线的距离

x1－x2

2

＋y1－y2

2

.

|Ax1＋By1＋C|

点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 22

A＋B3．两条平行线间的距离

两条平行线Ax＋By＋C1＝0及Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|22. A＋B[小题能否全取]

1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为( )

A．6 B．－6 C．5 D．－5 解析：选B 由已知得k1＝1，k2＝∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1， ∴1×

m＋1

5

.

m＋1

5

＝－1，即m＝－6.

2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为( )

5

A. B.5

51

C．5 D.

5|0＋2×

解析：选B d＝

－15

－3|

＝5.

3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( ) A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1) C．(－a，－b) D．(－b，－a) 解析：选B 设对称点为(x′，y′)，则

y′－b×x′－a－1＝－1，

x′＋ay′＋b2

＋2

＋1＝0，

解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.

4．l1：x－y＝0及l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为( )

A．3 B．5 C．－5 D．－8

解析：选D 由{x－y＝0，2x－3y＋1＝0， 得l1及l2的交点坐标为(1,1)．

所以m＋3＋5＝0，m＝－8.

5．及直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．

|m＋5|解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝22，得

4＋3

m＝10或－20.

答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝0

1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．

2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．

两直线的平行

及垂直 典题导入

[例1] (2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：

ax＋2y－1＝0及直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [自主解答] 由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.

[答案] A

在本例中若l1⊥l2，试求a.

解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0， 2∴a＝－.

3

由题悟法

1．充分掌握两直线平行及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．

2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝

k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.

(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝l1⊥l2⇔A1A2＋

B1B2＝0.

以题试法

1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线xsin A＋ay＋c＝0及bx－ysin B＋sin C＝0

的位置关系是( )

A．平行 B．重合

C．垂直 D．相交但不垂直

解析：选C 由已知得a≠0，sin B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－sin A·

sin Aa，k2＝

bsin B，由正弦定理得k1·k2＝－

a＝－1，所以两条直线垂直．

sin B两直线的交点及距 b

离问题 典题导入

[例2] (2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x＋(y＋4)＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.

[自主解答] 因曲线C2：x＋(y＋4)＝2到直线l：y＝x的距0－离为－4

－2＝22－2＝2，所以曲线C1及直线l不2

2

2

2

22

2

2

能相交，故x＋a＞x，即x＋a－x＞0.

设C1：y＝x＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的|x0－y0|－x0＋x0＋a距离d＝＝＝

22

2

2

112

x0－2＋a－4

2

4a－1

≥＝2，所42

9以a＝.

49

[答案]

4

由题悟法

1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．

2．点到及坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：

(1)点P(x0，y0)到及y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|. (2)点P(x0，y0)到及x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.

以题试法

2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c213＝0之间的距离为，则c的值是________．

136ac解析：由题意得＝≠，

3－2－1得a＝－4，c≠－2，

则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，

2

c＋12

c则

213

＝，解得c＝2或－6.

1313

答案：2或－6

对 称 问 题

典题导入

[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )

A．210 B．6 C．33 D．25

[自主解答] 如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝40＝210即为光线所经过的路程．

[答案] A

由题悟法

对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称

①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足

{x′＝2a－x，y′＝2b－y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称

①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，

An－b

×－＝－1，n)，则有Bm－a

A·a＋m2

＋B·

b＋n2

＋C＝0.

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

以题试法

3．(2012·南京调研)及直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )

A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0 C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0

解析：选A 及直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.

[典例] (2012·银川一中月考)求经过直线l1： 3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂 直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．

[常规解法] 解方程组

{3x＋2y－1＝0，5x＋2y＋1＝0，

得l1，l2的交点坐标为(－1,2)． 35

由l3的斜率得l的斜率为－.

53

5

则由点斜式方程可得l的方程为y－2＝－(x＋1)即5x＋3y3

－1＝0.

——————[

高

手

支

招]———————————————————————————

运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：

(1)及直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)；

(2)及直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；

(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0及l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

——————————————————————————————————————

[巧思妙解] 由于l过l1，l2的交点，故可设l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋3＋5λ51

2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－＝－，得λ＝.

2＋2λ35代入直线系方程得l方程5x＋3y－1＝0. 针对训练

求及直线2x＋6y－11＝0平行，且及坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．

解：由题意，设所求直线方程为2x＋6y＋bx＝0，得y＝－；

6令y＝0，得x＝－，则直线2x＋6y＋b＝0及坐标轴的交点坐标

2

bb分别为0，－，－，0. 62

1bb1b又所围成的三角形面积S＝·－·－＝·＝6，所

262212

2

bb以b＝144，所以b＝±12.

故所求直线方程为2x＋6y＋12＝0或2x＋6y－12＝0. 即为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.

2

1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0及直线l2：

k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选C 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．

1

2．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1及直线l2：ky－x＝

22k的交点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

解析：选B 解方程组{kx－y＝k－1，ky－x＝2k， 得两

k2k－1，直线的交点坐标为，因为k－1k－1

1k0＜k＜，所以＜0，

2k－1

2k－1

＞0，故交点在第二象限．

k－1

3．(2012·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1及l2的距离为( )

83A. B. 52C．4 D．8

解析：选B ∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方1

程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1及直线l2的

23

距离为22＝.

3＋42

4．若直线l1：y＝k(x－4)及直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )

A．(0,4) B．(0,2)

C．(－2,4) D．(4，－2)

解析：选B 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)及直线

1＋72

l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．

5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2及l1关于直线x＋y＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )

1

A．－2 B．－ 21C. D．2 2

解析：选A 依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3， 131即y＝x＋，其斜率是，

222由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.

6．(2012·岳阳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是( )

A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0 C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0

解析：选C 设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝λ＝－4.l的方程为x＋3y－8＝0.

7．(2012·郑州模拟)若直线l1：ax＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为________．

1解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.

21

答案：－ 2

8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________．

解析：若三条直线有两条平行，另外一条及这两条直线相交，

则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.

答案：0,1,2

9．(2013·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．

|4×4－3×a－1|

解析：由题意得，点到直线的距离为＝

5|15－3a||15－3a|

.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，55所以a∈[0,10]．

答案：[0,10]

10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，

1

1

abb)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．

解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝

11

＋＋2b)ab＝

2

2

a＋2b1

＝(a55

2ba1135＋210(3＋22)＝，当且3＋a＋b≥555

2＋2

仅当a＝2b，a＋b＝ab，即a＝1＋2，b＝时取等号．所

235＋210

以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.

511．(2012·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0及l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l的方程．

解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)， 由{y＝kx＋2－k，4x＋3y＋1＝0， 解得由

3k－7－5k＋8



，A； 3k＋43k＋4

{y＝kx＋2－k，4x＋3y＋6＝0，

解得

3k－128－10k，B3k＋4. 3k＋4

∵|AB|＝2， ∴

525k2

＋3k＋43k＋4＝

2

2，

整理，得7k－48k－7＝0， 1

解得k1＝7或k2＝－.

7

因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0. 12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点；

(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．

解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，

y′)．

y′－y∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①

x′－x又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上， ∴3×由

x′＋xy′＋y2

－2①

＋3＝0.②

②

得

－4x＋3y－9

， ③ x′＝53x＋4y＋3y′＝5. ④

(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7， ∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．

(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称－4x＋3y－93x＋4y＋3直线方程为－－2＝0，

55化简得7x＋y＋22＝0.

1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直2

线y＝x的距离为，这样的点P的个数是( )

2A．1 B．2 C．3 D．4

解析：选C ∵点P到点A和定直线距离相等， ∴P点轨迹为抛物线，方程为y＝4x.

2|t－2t|2,

设P(t2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3

22＝1－2，故P点有三个．

2．(2012·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m＋n的最小值是( )

A．2 B．22 C．4 D．23

2

2

2

2

解析：选C 设原点到点(m，n)的距离为d，所以d＝m＋n，又因为(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x＋|－10|2

3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝2＝2，所以m2

4＋3＋n的最小值为4.

3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和

2

222

B(0，4)的距离之差最大．

解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，

b－4即3·＝－1.

a则a＋3b－12＝0.① 又由于线段

ab＋4



，BB′的中点坐标为2，且在直线2

l上，

则3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②

22解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)． 于是AB′的方程为

ab＋4

y－1x－4

＝，即2x＋y－9＝0.

3－13－4

解{3x－y－1＝0，2x＋y－9＝0， 得{x＝2，即l及AB′的交点坐标为P(2,5)．

y＝5，

1．点(1，cos θ)(其中0≤θ≤π)到直线xsin θ＋ycos θ1

－1＝0的距离是，那么θ等于( )

45ππ5πA. B.或

666ππ7πC. D.或

666

|sin θ＋cosθ－1|1解析：选B 由已知得＝， 22

4sinθ＋cosθ1

即|sin θ－sinθ|＝，

4

2

2

∴4sinθ－4sin θ－1＝0或4sinθ－4sin θ＋1＝0， 1±21

∴sin θ＝或sin θ＝.

22∵0≤θ≤π，∴0≤sin θ≤1， 1π5π

∴sin θ＝，即θ＝或.

266

2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝l2及l1关于l对称，则l2的方程是( )

A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0

解析：选B l1及l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l及l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则

22

x＋0y－2－－1＝0，

22

y＋2

×1＝－1，x

2

得

上两点，可得

{x＝－1，y＝－1. 即(1,0)，(－1，－1)为ll2方程为x－2y－1＝0.

3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．

解：法一：由{x－2y＋5＝0，3x－2y＋7＝0， 得{x＝－1，

y＝2.

即反射点M的坐标为(－1,2)．

又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的2y0

对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.

3x0＋5而PP′的中点Q即3·

x0－5y0

，的坐标为2，Q2

点在l上，

x0－5

－2·＋7＝0.

22

2y0＝－，x＋530

y0

由

17

x0＝－，

13

3

x0－52

－y0＋7＝0.

得

32y0＝－.13

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.

法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线ly0－y2

的对称点为P′(x，y)，则＝－，

x0－x3

又PP′的中点即3×

x＋x0y＋y0



，Q在22

l上，

x＋x0

2

－2×

y＋y0

23×

＋7＝0，

2y0－y＝－，由x－x30

x＋x0

2

－y＋y0＋7＝0.

可得P点的坐标为

－5x＋12y－4212x＋5y＋28x0＝，y0＝，

1313

代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0， 故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.