第六章 MATLAB解曲线拟合问题

第六章 MATLAB解曲线拟合问题

曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。

曲线拟合有多种方式，下面是一元函数采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线拟合，最后给出拟合的多项式系数。

§1 线性拟合 一、数学模型

y=Xβ+ε

β是p1的参数向量；ε是服从标准正态分布的随机干扰的n1的向量；y为n1的向量；X为np矩阵。

二、求解线性拟合函数regress

调用格式：b=regress(y,X)

[b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X)

[b,bint,r,rint,stats]= regress(y,X,alpha)

说明：b=regress(y,X)返回X处y的最小二乘拟合值。bint返回β的95%的置信区间。r

2

中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。Stats向量包含R统计量、回归的F值和p值。

三、举例

例1：设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。即y=10x+ε ；求线性拟合方程系数。

程序： 编写M文件mainG.m如下：

x=[ones(10,1) (1:10) '] %ones(m,n)产生一个m行n列的元素全为1的矩

阵

%（1：10）产生一个10行1列的元素值从1~10

的矩阵

% [A B] 将矩阵A和B拼接成新矩阵或者写成[A；

B]

y=x*[10;1]+normrnd(0,0.1,10,1) % R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) 依据参数MU、SIGMA

生成一个随机数，m和n是R的行数和列数.

[b,bint]=regress(y,x,0.05) 结果： x = 1 1

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10

- 1 -

第六章 MATLAB解曲线拟合问题 y = 10.9567 11.8334 13.0125 14.0288 14.8854 16.1191 17.1189 17.9962 19.0327 20.0175 b = 9.9213 1.0143 bint = 9.7889 10.0537 0.9930 1.0357 即回归方程为：y=9.9213+1.0143x §2 多项式曲线拟合 二、求解多项式曲线拟合函数ployfit 调用格式： p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) 说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，p为幂次从高到低的多项式系数向量。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval) 三、举例 例2：由离散数据拟合出多项式。 x 0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1 y .3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2 程序： x=0:.1:1; y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2]； n=3; p=polyfit(x,y,n) xi=linspace(0,1,100); z=polyval(p,xi); %多项式求值 plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b') legend('原始数据','3阶曲线') 结果：p = 16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035 32多项式为：16.7832x-25.7459x+10.9802x-0.0035 曲线拟合图形： 例3：x=1:20,y=x+3*sin(x) 程序：

- 2 -

黑龙江八一农垦大学 数学建模选修课

x=1:20;

y=x+3*sin(x); p=polyfit(x,y,6)

xi=1inspace(1,20,100);

z=poyval(p,xi); %多项式求值函数 plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’) legend(‘原始数据’,’6阶曲线’) 结果：

p =0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304

图 6阶曲线 图10阶曲线 例4：再用10阶多项式拟合 程序：x=1:20;

y=x+3*sin(x);

p=polyfit(x,y,10)

xi=linspace(1,20,100); z=polyval(p,xi);

plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b') legend('原始数据','10阶多项式')

结果：p = Columns 1 through 7

0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360 Columns 8 through 11

-42.0861 88.5907 -92.8155 40.2671

说明：可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。

§3 多项式曲线求值函数polyval( )

调用格式： y=polyval(p,x)

[y,DELTA]=polyval(p,x,s)

说明：y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。

[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计YDELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则YDELTA将至少包含50%的预测值。

§4 多项式曲线拟合的评价和置信区间函数polyconf( )

调用格式： [Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)

[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)

说明：[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s)使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间YDELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。1-alpha为置信度。

例5：给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。 程序： x=0:.1:1;

y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2] n=3;

- 3 -

第六章 MATLAB解曲线拟合问题

[p,s]=polyfit(x,y,n) alpha=0.05;

[Y,DELTA]=polyconf(p,x,s,alpha)

结果： p = 16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035

s = R: [4x4 double] df: 7

normr: 1.1406

Y = Columns 1 through 7

-0.0035 0.8538 1.2970 1.4266 1.3434 1.1480 0.9413

Columns 8 through 11

0.8238 0.8963 1.2594 2.0140

DELTA = Columns 1 through 7

1.3639 1.1563 1.1563 1.1589 1.1352 1.1202 1.1352

Columns 8 through 11

1.1589 1.1563 1.1563 1.3639

§5 稳健回归函数：robust( )

稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言，受异常值的影响较小。 调用格式： b=robustfit(x,y)

[b,stats]=robustfit(x,y)

[b,stats]=robustfit(x,y,’wfun’,tune,’const’) 说明：b返回系数估计向量；stats返回各种参数估计；’wfun’指定一个加权函数；tune为调协常数；’const’的值为’on’(默认值)时添加一个常数项；为’off ’时忽略常数项。

例6：演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集，然后改变一个y的值形成异常值。调用不同的拟合函数，通过图形观查影响程度。 程序： x=(1:10)’;

y=10-2*x+randn(10,1); y(10)=0;

bls=regress(y,[ones(10,1) x]) %线性拟合 brob=robustfit(x,y) %稳健拟合 scatter(x,y) hold on

plot(x,bls(1)+bls(2)*x,’:’) plot(x,brob(1)+brob(2)*x,’r‘)

结果 ： bls = 8.4452

-1.4784

brob = 10.2934 -2.0006

- 4 -

黑龙江八一农垦大学 数学建模选修课

分析：稳健拟合(实线)对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。最小二乘拟合(点线)则受到异常值的影响，向异常值偏移。

§6 向自定义函数拟合

对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。

二、向自定义函数拟合所用函数：nlinfit( )

调用格式： [beta,r,J]=nlinfit(X,y,’fun’,betao) 说明：beta返回函数’fun’中的待定常数；r表示残差；J表示雅可比矩阵。X,y为数据；‘fun’自定义函数；beta0待定常数初值。

例7：在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降，假定在x≥8时，y与x之间有如下形式的非线性模型：

现收集了44组数据，利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。

x y x y x y 8 0.49 16 0.43 28 0.41 8 0.49 18 0.46 28 0.40 10 0.48 18 0.45 30 0.40 10 0.47 20 0.42 30 0.40 10 0.48 20 0.42 30 0.38 10 0.47 20 0.43 32 0.41 12 0.46 20 0.41 32 0.40 12 0.46 22 0.41 34 0.40 12 0.45 22 0.40 36 0.41 12 0.43 24 0.42 36 0.36 14 0.45 24 0.40 38 0.40 14 0.43 24 0.40 38 0.40 14 0.43 26 0.41 40 0.36 16 0.44 26 0.40 42 0.39 16 0.43 26 0.41

首先定义非线性函数的m文件：fff6.m

function yy=model(beta0,x) a=beta0(1); b=beta0(2);

yy=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8)); 程序：

x=[8.00 8.00 10.00 10.00 10.00 10.00 12.00 12.00 12.00 14.00 14.00 14.00... 16.00 16.00 16.00 18.00 18.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.00 22.00 24.00... 24.00 24.00 26.00 26.00 26.00 28.00 28.00 30.00 30.00 30.00 32.00 32.00... 34.00 36.00 36.00 38.00 38.00 40.00 42.00]';

y=[0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43 0.45 0.43 0.43 0.44 0.43... 0.43 0.46 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.40 0.42 0.40 0.40 0.41 0.40 0.41 0.41... 0.40 0.40 0.40 0.38 0.41 0.40 0.40 0.41 0.38 0.40 0.40 0.39 0.39]'; beta0=[0.30 0.02];

betafit = nlinfit(x,y,'sta67_1m',beta0) 结果：betafit =0.3896

0.1011

即：a=0.3896 ，b=0.1011 拟合函数为：

ya(0.49a)eb(x8)

y0.3896(0.490.3896)e0.1011(x8)

- 5 -