函数的单调性知识点

函数的单调性知识点

一、课本上增减函数定义

一般地,设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x11、 等价定义：

（1）设函数y＝f(x)的定义域为I，区间DI。如果取区间M上的任意两个值x1 , x2，改变量xx2x1＞0，则：当yf(x2)f(x1)＞0时，就称函数f(x)在区间D上是增函数；当yf(x2)f(x1)＜0时，就称函数f(x)在区间D上是增函数．

（2）设函数y＝f(x)的定义域为I，区间DI。设x1,x2Da,b，若有：①是增函数；②

f(x1)f(x2)x1x2f(x1)f(x2)x1x2＞0，则f(x)在D上

＜0，则f(x) 在D上是减函数．

二、单调性的有关结论

（1）若f(x)为增（减）函数，则f(x)为 函数；（2）互为反函数的两个函数具有 的单调性；

yfg(x)yfg(x)（3）是定义在M上的函数，①若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数为 函数；

②若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数yfg(x)为 函数。即 。

（4）在函数f(x)、g(x)公共定义域内：①增函数f(x)增函数g(x)是 函数；②减函数f(x)减函数g(x)是 函数；③增函数f(x)减函数g(x)是 函数；④减函数f(x)增函数g(x)是 函数．

三、函数的单调性常应用于如下三类问题：

（1）利用函数的单调性比较函数值的大小。

（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化（如：函数yf(x)在定义域I上递增，x1 , x2∈I，且f(x1)（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值．

①若函数yf(x)在定义域a,b上递增，则函数值域为(f(a)，f(b))；②若函数yf(x)在定义域a,b上递减,则函数值域为(f(b)，f(a))；③若函数yf(x)在定义域a,b 上递增，则函数值域为 [f(a)，f(b)] ；④若函数yf(x)在定义域 a,b 上递减，则函数值域为 [f(b)，f(a)]；⑤若函数yf(x)在定义域a,b上递增，则函数的最大值为f(b)，最小值为f(a) ；⑥若函数yf(x)在定义域a,b上递减，则函数的最大值为f(a)，最小值为f(b)。