标量衍射公式推导

标量衍射公式推导

索莫菲曾这样定义衍射：“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”。衍射现象是光的波动性的主要标志之一。衍射现象是光的波动性的主要标志之一。衍射规律也是光传播的基本规律。其中心问题是计算衍射光场的分布。

由于光波是电磁波，其理论基础是严格的电磁场理论，因此就必须根据麦克斯韦方程组按一定的边界条件来求解。在这种情况下，应把光波场看作矢量场（矢量衍射理论）。但由于矢量衍射理论数学运算相当复杂（实际是一种数值方法），在实际应用中，只有在讨论高分辨衍射光栅理论或讨论亚波长光学元件时，才必须用到矢量衍射理论。在大多数情况下，我们将光波场当做标量场来处理，即只考虑光矢量一个横向分量的标量振幅，之后假定其余分量都可以用同样方式独立处理，从而忽略电矢量和磁矢量的各分量按麦克斯韦方程组的耦合关系（标量衍射理论）。实践证明，在所研究的光学系统中，只要衍射孔径比照明光的波长大很多，观察点离衍射孔径不太近，则所得结果与实际是很好符合的。

标量衍射的中心问题仍是计算衍射光场的分布，即用确定边界的复振幅分布来表达光场中任一观察点的复振幅，若边界上复振幅分布相同，即使光振动的方向不同，其结果也应相同。

在1678年，惠更斯原理被提出，设想着波动所到达的面上每一个点都是次级子波源，这些次级球面子波的包络就形成新的波前，这些在本质上是缺乏严格证明的几何作图法，但却是标量衍射理论的源头。在1818年，菲涅尔引入各子波干涉的思想，补充了惠更斯原理，形成了惠更斯-菲涅尔原理。在1882年，基尔霍夫利用电磁场理论中的格林定理，并采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式（即基尔霍夫公式）。

在这里复习一下格林定理，格林定理如下：

记函数 ， 在封闭面S内和S面上均单值、连续，并具有单值连续的一阶、二阶偏导数，则有：

上式为格林定理，一般地，我们令 为复色振幅，而是 是一个辅助函数，称为格林函数。

我们在研究衍射问题应用应谨慎选择封闭面。

我会在这节中重点阐述基尔霍夫衍射公式，接下来会讨论两类典型的衍射（菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射），并利用频谱的观点来分析衍射现象。

亥姆霍兹方程：

对于频率为 的单色光波，有：

其中 称为相幅矢量，包含了光波空间结构的信息。 满足标量波动方程：

由此得

上式即称为亥姆霍兹方程。

说明：

1、亥姆霍兹方程与时间变量无关，因此多用于解决单色光场的空间分布。

2、在标量衍射理论中，在自由空间传播的任何单色光波的光场分布必须满足亥姆霍兹方程。