第4课时 电容器与电容 带电粒子在电场中的运动
1．[对电容器和电容概念的理解]关于电容器及其电容的叙述，正确的是 ( )
A．任何两个彼此绝缘而又相互靠近的导体，就组成了电容器，跟这两个导体是否带电无关
B．电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的代数和
C．电容器的电容与电容器所带电荷量成反比
D．一个电容器的电荷量增加ΔQ＝1.0×10－6 C时，两板间电压升高10 V，则电容器的电容无法确定
2．[带电粒子在电场中的加速问题]如图1所示，电子由静止开始从A板向B板运动，当到达B极板时速度为v，保持两板间电压不变，则
( )
图1
A．当增大两板间距离时，v增大
B．当减小两板间距离时，v增大
C．当改变两板间距离时，v不变
D．当增大两板间距离时，电子在两板间运动的时间变长
3．[平行板电容器的动态分析](2012·海南·9)将平行板电容器两极板之间的距离、电压、电场强度大小和极板所带的电荷分别用d、U、E和Q表示．下列说法正确的是 ( )
A．保持U不变，将d变为原来的两倍，则E变为原来的一半
B．保持E不变，将d变为原来的一半，则U变为原来的两倍
C．保持d不变，将Q变为原来的两倍，则U变为原来的一半
D．保持d不变，将Q变为原来的一半，则E变为原来的一半
4．[带电粒子在电场中的偏转问题]如图2，一质量为m，带电量为＋q的带电粒子，以速度v0垂直于电场方向进入电场，关于该带电粒子的运动，下列说法正确的是 ( )
图2
A．粒子在初速度方向做匀加速运动，平行于电场方向做匀加速运动，因而合运动是匀加速直线运动
B．粒子在初速度方向做匀速运动，平行于电场方向做匀加速运动，其合运动的轨迹是一条抛物线
C．分析该运动，可以用运动分解的方法，分别分析两个方向的运动规律，然后再确定合运动情况
D．分析该运动，有时也可用动能定理确定其某时刻速度的大小
一、电容器的充、放电和电容的理解
1．电容器的充、放电
(1)充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能． (2)放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能．
2．电容
(1)定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值．
(2)定义式：C＝.
QU(3)物理意义：表示电容器容纳电荷本领大小的物理量．
3．平行板电容器
(1)影响因素：平行板电容器的电容与正对面积成正比，与介
质的介电常数成正比，与两板间的距离成反比．
(2)决定式：C＝，k为静电力常量．
4πkdεrS
ΔQεrS特别提醒 C＝(或C＝)适用于任何电容器，但C＝仅适用于平行板电容器．
UΔU4πkdQ二、带电粒子在电场中的运动
1．带电粒子在电场中加速
若不计粒子的重力，则电场力对带电粒子做的功等于带电粒子动能的增加量．
11U22(1)在匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv－mv0或F＝qE＝q＝ma. 22d112(2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv－mv20. 22
2．带电粒子在电场中的偏转
(1)条件分析：带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场．
(2)运动性质：匀变速曲线运动．
(3)处理方法：分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动．
(4)运动规律：
①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间
a.能飞出电容器：t＝l.v1qUb.不能飞出电容器：y＝2at＝2mdt，t＝
0
2
2
2mdyqU
②沿电场力方向，做匀加速直线运动
加速度：a＝F＝qE＝Uqmmmd1Uql离开电场时的偏移量：y＝2at＝2mdvvUql离开电场时的偏转角：tan θ＝v＝mdv
2
2
20
y0
20
特别提醒 带电粒子在电场中的重力问题
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)．
(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不能忽略重力．
考点一 平行板电容器的动态分析
运用电容的定义式和决定式分析电容器相关量变化的思路
(1)确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变．
(2)用决定式C＝分析平行板电容器电容的变化．
4πkdεrS(3)用定义式C＝分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化．
QU(4)用E＝分析电容器两极板间电场强度的变化．
Ud例1 如图3所示，两块较大的金属板A、B平行放置并与一电源相连，S闭合后，两板间有一质量为
m、电荷量为q的油滴恰好处于静止状态．以下说法中正确的是 ( )
图3
A．若将A板向上平移一小段位移，则油滴向下加速运动，G中有b→a的电流
B．若将A板向左平移一小段位移，则油滴仍然静止，G中有b→a的电流
C．若将S断开，则油滴立即做自由落体运动，G中无电流
D．若将S断开，再将A板向下平移一小段位移，则油滴向上加速运动，G中有b→a的电流
平行板电容器的动态分析问题常见的类型
平行板电容器的动态分析问题有两种情况：一是电容器始终和电源连接，此时U恒定，则Q＝CU∝C，而C＝∝，两板间场强E＝∝；二是电容器充电后与电源断开，此时Q恒定，则U＝，C∝，
4πkddddCd场强E＝＝
εrSUεrSU1QεrSQdCdεrS∝
1
.
考点二 带电粒子(或物体)在电场中的直线运动
例2 如图5所示，质量m＝2.0×10－4 kg、电荷量q＝1.0×10－6 C的带正电微粒静止在空间范围足够大的电场强度为E的匀强电场中．取g＝10 m/s2.
图5
(1)求匀强电场的电场强度E的大小和方向；
(2)在t＝0时刻，电场强度大小突然变为E0＝4.0×103 N/C，方向不变．求在t＝0.20 s时间内电场力做的功；
(3)在t＝0.20 s时刻突然撤掉电场，求带电微粒回到出发点时的动能．
解析 (1)因微粒静止，知其受力平衡，对其受力分析有
Eq＝mg
mg2.0×10－4×10q＝1.0×10－6
E＝ N/C＝2.0×103 N/C，方向向上
(2)在t＝0时刻，电场强度大小突然变为E0＝4.0×103 N/C，设微粒的加速度为a，在t＝0.20 s时间内上升高度为h，电场力做功为W，则
qE0－mg＝ma
解得：a＝10 m/s2
1h＝at2
2
解得：h＝0.20 m
W＝qE0h
解得：W＝8.0×10－4 J
(3)设在t＝0.20 s时刻突然撤掉电场时微粒的速度大小为v，回到出发点时的动能为Ek，则
v＝at
1
由动能定理得mgh＝Ek－mv2
2
解得：Ek＝8.0×10－4 J
答案 (1)2.0×103 N/C 方向向上 (2)8.0×10－4 J (3)8.0×10－4 J
突破训练2 电荷量为q＝1×10－4 C的带正电的小物块置于绝缘粗糙水平面上，所在空间存在沿水平方向始终不变的电场，电场强度E的大小与时间t的关系和物块的速度v与时间t的关系分别如图6甲、乙所示，若重力加速度g取10 m/s2，根据图象所提供的信息，下列说法正确的是
( )
甲 乙
图6
A．物块在4 s内的总位移x＝6 m
B．物块的质量m＝0.5 kg
C．物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2
D．物块在4 s内电势能减少14 J
考点三 带电粒子在电场中的偏转
1．带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
1
证明：由qU0＝mv20
2
11qU1l2y＝at＝··()2 22mdv0
tan θ＝
qU1lmdv20U1l2
得：y＝，tan θ＝
4U0d2U0dU1l(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为.
2
l2．带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系
11U22当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv－mv0，其中Uy＝y，指初、22d末位置间的电势差．
例3 如图7所示，两平行金属板A、B长为L＝8 cm，两板间距离d＝8 cm，A板比B板电势高300 V，一带正电的粒子电荷量为q＝1.0×10－10 C，质量为m＝1.0×10－20 kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度v0＝2.0×106 m/s，粒子飞出电场后经过界面MN、PS间的无电场区域，然后进入固定在
O点的点电荷Q形成的电场区域(设界面PS右侧点电荷的电场分布不受界面的影响)．已知两界面MN、PS相距为12 cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为9 cm，粒子穿过界面
PS做匀速圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上．(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，粒
子的重力不计)
图7
(1)求粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离多远？到达PS界面时离D点多远？
(2)在图上粗略画出粒子的运动轨迹．
(3)确定点电荷Q的电性并求其电荷量的大小．
解析 (1)粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离(侧向位移)：
1y＝at2
2
a＝＝ mdmL＝v0t
FqU
1qUL2则y＝at＝()2＝0.03 m＝3 cm 22mdv0
粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS交于H，设H到中心线的距离为Y，则有
1212
L＝，解得Y＝4y＝12 cm
yL＋12 cm
Y(2)第一段是抛物线、第二段是直线、第三段是圆弧(图略)
(3)粒子到达H点时，其水平速度vx＝v0＝2.0×106 m/s
竖直速度vy＝at＝1.5×106 m/s
则v合＝2.5×106 m/s
该粒子在穿过界面PS后绕点电荷Q做匀速圆周运动，所以Q带负电
根据几何关系可知半径r＝15 cm
qQv2合
k2＝m rr解得Q≈1.04×10－8 C
答案 (1)12 cm (2)见解析 (3)负电 1.04×10－8 C
带电粒子在电场中运动问题的两种求解思路
1．运动学与动力学观点
(1)运动学观点是指用匀变速运动的公式来解决实际问题，一般有两种情况：
①带电粒子初速度方向与电场线共线，则粒子做匀变速直线运动；
②带电粒子的初速度方向垂直电场线，则粒子做匀变速曲线运动(类平抛运动)．
(2)当带电粒子在电场中做匀变速曲线运动时，一般要采取类似平抛运动的解决方法．
2．功能观点：首先对带电粒子受力分析，再分析运动形式，然后根据具体情况选用公式计算．
(1)若选用动能定理，则要分清有多少个力做功，是恒力做功还是变力做功，同时要明确初、末状态及运动过程中的动能的增量．
(2)若选用能量守恒定律，则要分清带电粒子在运动中共有多少种能量参与转化，哪些能量是增加的，哪些能量是减少的．
突破训练3 如图8所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L、电场强度为E的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v0射入电场中，v0方向的延长线与屏的交点为O.试求：
图8
(1)粒子从射入电场到打到屏上所用的时间．
(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α；
(3)粒子打在屏上的点P到O点的距离x.
2LqEL3qEL2
答案 (1) (2)2 (3) 2v0mv02mv0
31．用等效法处理带电体在电场、重力场
中的运动
等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法．例如我们学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动等都体现了等效思维方法．常见的等效法有“分解”、“合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、“等效简化”等，从而化繁为简，化难为易．
带电体在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题，是高中物理教学中一类重要而典型的题型．对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大．若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷．先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝效重力加速度”．再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可．
F合m视为“等
例4 如图9所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一个质量为m的小球，
3mg带正电荷量为q＝，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应满足什么条件？
3E
图9
突破训练4 如图10所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m的电荷量为q的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A点静止释放，当细线离开竖直位置偏角
α＝60°时，小球速度为0.
图10
(1)求：①小球带电性质；②电场强度E.
(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A点释放小球时应有的初速度vA的大小(可含根式)．
高考题组
1．(2013·新课标Ⅰ·16)一水平放置的平行板电容器的两极板间距为d，极板分别与电池两极相连，上极
板中心有一小孔(小孔对电场的影响可忽略不计)．小孔正上方处的P点有一带电粒子，该粒子从静止开始下
2落，经过小孔进入电容器，并在下极板处(未与极板接触)返回．若将下极板向上平移，则从P点开始下落的
3相同粒子将
( )
ddA．打到下极板上
B．在下极板处返回
C．在距上极板处返回
2
d2
D．在距上极板d处返回
5
2．(2013·新课标Ⅱ·24)如图11，匀强电场中有一半径为r的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行．a、b为轨道直径的两端，该直径与电场方向平行．一电荷量为q(q>0)的质点沿轨道内侧运动．经过a点和b点时对轨道压力的大小分别为Na和Nb.不计重力，求电场强度的大小E、质点经过a点和b点时的动能．
图11
答案
1
6q(Nb－Na)
(Nb＋5Na) (5Nb＋Na) 1212
rr解析 质点所受电场力的大小为F＝qE ①
设质点质量为m，经过a点和b点时的速度大小分别为va和vb，由牛顿第二定律有
v2aF＋Na＝m
rv2bNb－F＝m
r ②
③
设质点经过a点和b点时的动能分别为Eka和Ekb，有
Eka＝mv2a
2
1
④
1Ekb＝mv2b
2
⑤
根据动能定理有Ekb－Eka＝F·2r ⑥
联立①②③④⑤⑥式得E＝(Nb－Na)
6q1
Eka＝
(Nb＋5Na) 12
rEkb＝
(5Nb＋Na) 12
r
(限时：45分钟)
►题组1 电容器、电容及动态分析
1．(2011·天津·5)板间距为d的平行板电容器所带电荷量为Q时，两极板间电势差为U1，板间场强为1
E1.现将电容器所带电荷量变为2Q，板间距变为d，其他条件不变，这时两极板间电势差为U2，板间场强为
2
E2，下列说法正确的是 ( )
A．U2＝U1，E2＝E1 B．U2＝2U1，E2＝4E1
C．U2＝U1，E2＝2E1 D．U2＝2U1，E2＝2E1
2．如图1所示，两个相同的平行板电容器C1、C2用导线相连，开始都不带电．现将开关S闭合给两个电容器充电，待充电完毕后，电容器C1两板间有一带电微粒恰好处于平衡状态．再将开关S断开，把电容器
C2两板稍错开一些(两板间距离保持不变)，重新平衡后，下列判断正确的是 ( )
图1
A．电容器C1两板间电压减小
B．电容器C2两板间电压增大
C．带电微粒将加速上升
D．电容器C1所带电荷量增大
►题组2 带电粒子在电场中的直线运动
3．如图2所示，在等势面沿竖直方向的匀强电场中，一带负电的微粒以一定初速度射入电场，并沿直线AB运动，由此可知
( )
图2
A．电场中A点的电势低于B点的电势
B．微粒在A点时的动能大于在B点时的动能，在A点时的电势能小于在B点时的电势能
C．微粒在A点时的动能小于在B点时的动能，在A点时的电势能大于在B点时的电势能
D．微粒在A点时的动能与电势能之和等于在B点时的动能与电势能之和
4．如图3所示，一质量为m、电荷量为q的小球在电场强度为E、区域足够大的匀强电场中，以初速度v0沿ON在竖直面内做匀变速直线运动．ON与水平面的夹角为30°，重力加速度为g，且mg＝Eq，则
( )
图3
A．电场方向竖直向上 B． 小球运动的加速度大小为g C．小球上升的最大高度为
v20
2g D．若小球在初始位置的电势能为零，则小球电势能的最大值为
mv20
4
6．如图5所示，板长L＝4 cm的平行板电容器，板间距离d＝3 cm，板与水平线夹角α＝37°，两板所加电压为U＝100 V．有一带负电液滴，带电荷量为q＝3×10－10 C，以v0＝1 m/s的水平速度自A板边
缘水平进入电场，在电场中仍沿水平方向并恰好从B板边缘水平飞出(取g＝10 m/s2，sin α＝0.6，cos α＝0.8)．求：
图5
(1)液滴的质量；
(2)液滴飞出时的速度．
►题组3 带电粒子在电场中的偏转
47．如图6所示，一价氢离子(11H)和二价氦离子(2He)的混合体，经同一加速电场加速后，垂直射入同一
偏转电场中，偏转后，打在同一荧光屏上，则它们 ( )
图6
A．同时到达屏上同一点
B．先后到达屏上同一点
C．同时到达屏上不同点 D．先后到达屏上不同点
8．如图7所示，六面体真空盒置于水平面上，它的ABCD面与EFGH面为金属板，其他面为绝缘材料．ABCD面带正电，EFGH面带负电．从小孔P沿水平方向以相同速率射入三个质量相同的带正电液滴a、
b、c，最后分别落在1、2、3三点．则下列说法正确的是
( )
图7
A．三个液滴在真空盒中都做平抛运动
B．三个液滴的运动时间不一定相同
C．三个液滴落到底板时的速率相同
D．液滴c所带电荷量最多
10．在空间中水平面MN的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m的带电小球由MN上方的A点以一定的初速度水平抛出，从B点进入电场，到达C点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且
AB＝2BC，如图9所示．由此可见 ( )
图9
A．电场力为3mg
B．小球带正电
C．小球从A到B与从B到C的运动时间相等 D．小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小相等
11．如图10所示，虚线PQ、MN间存在如图所示的水平匀强电场，一带电粒子质量为m＝2.0×10－11 kg、电荷量为q＝＋1.0×10－5 C，从a点由静止开始经电压为U＝100 V的电场加速后，垂直于匀强电场进入匀强电场中，从虚线MN的某点b(图中未画出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ、MN间距为20 cm，带电粒子的重力忽略不计．求：
图10
(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速率v1；
(2)水平匀强电场的场强大小；
(3)ab两点间的电势差．
12．绝缘光滑水平面内有一圆形有界匀强电场，其俯视图如图11所示，图中xOy所在平面与光滑水平面重合，电场方向与x轴正向平行，电场的半径为R＝2 m，圆心O与坐标系的原点重合，场强E＝2 N/C.一带电荷量为q＝－1×10－5 C、质量m＝1×10－5 kg的粒子，由坐标原点O处以速度v0＝1 m/s沿y轴正方向射入电场(重力不计)，求：
图11
(1)粒子在电场中运动的时间；
(2)粒子出射点的位置坐标；
(3)粒子射出时具有的动能．
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