高三数学专题复习：立体几何专题(理)

40003cm 380003Ｂ．cm

3Ａ．

Ｃ．2000cm Ｄ．4000cm

33

20

20正视图

20侧视图

10

10

20 俯视图

2．[2020年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学文科第6题，理科第6题] 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ）

2 A．9π B．10π C．11π D．12π 3

2 2

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

3．[2020年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学文科第7题，理科第6题]

将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为

H B A I

C G

侧视 B D

F 图1

E

F 图2 A C B

E

A．

B． B B B E D E

E C．

E D．

4．[2020年普通高等学校统一考试（山东卷）数学文科第3题，理科第3题]

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

①正方形 A．①②

②圆锥

B．①③

③三棱台 C．①④

④正四棱锥

D．②④

5、[大连市24中学2020～2020学年度上学期期中考试高三年级数学科试卷第4题] 右图是一个空间几何体三视图，它的主视图、左视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的 直角边长为1，那么这个几何体的体积为

A.1 B.

111 C. D. 623

6、[广东广州海珠2020届高三综合测试(文数第4题，理数第2题)]

7、[福建泉州一中08—09学年第一学期期中考试卷高 三 数 学 (理科)第6题] 一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的表面积是

3 （ ）

8．[江苏省南京六中2020学年度第一学期期中考试高三年级数学第13题]

俯

A．6+83 C． 12+73

B．12+83 D．18+23

正 1 2 侧

2 第5题

已知某个几何体的三视图如下，其中俯视图为正三角形，A1B1=2，A1A =4。根据图中标出的

尺寸（单位cm ），可得这个几何题的表面积是 ．

A1

B1

C 主视图 D

左视图

俯视图

4 12 8 8 9．[江苏省高邮中学2020学年度第高三数学滚动练习试卷（15）第10题] 已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 cm3．

主视图

左视图

10 俯视图 （第10题）

10．[福建省宁德市2020届高三年级第四次月考数学试题(理科)第8题]

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

A．cm

133B．

2348cm C．cm3 D．cm3

33311、[广东省中山一中2020届高三年级第二次统测试题文科数学（试题卷）第7题]

如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为 A． 1

C．

1 31 21D．

6B．

正视图 侧视图 俯视图

12．[山东省潍坊市2020学年度高三第一学期期末考试数学试题（文科）第5题，（理科）第4题]

三视图如右图的几何体的全面积是 （ ）

A．2C．22 3

B．12 D．13

13、[福建莆田一中2020～2020学年度上学期第一学段高三文科数学试卷第14题] 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . a a a

a a a

正视图 侧视图 俯视图

14、[广东东莞高级中学11月份高三教学监控测试数学试题（理科）第7题]

已知正三棱锥V—ABC的主视图、俯视图如下图所示，其中VA4,AC23，则该三棱锥的左

视图的面积为（ ）

A. 9

B. 6

C. 33

D.

39

15．[广东省实验中学2020学年高三第二次阶段测试试卷数学（理科）第12题] 如图所示是三棱锥D-ABC的三视图，其中△DAC、△DAB、△BAC都是直角三角形，点O在三个视图中都是所在边的中点，则在三棱锥-ABC中．．．．D．．．．．．AO的长度为___________；该三棱锥外接球的表面积为________.

A 2 1 A B O C D 主视图侧（左）视图B

D

2

16．[宁夏银川一中2020届高三年级第三次月考数学试卷（文科）第11题]

某几何体的三视图如图所示，当ab取最大值时，这个几何体的体积为

A．

17、[2020年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（理科）第12题]

O A

府视图O C （ ）

6a正视图1侧视图1b俯视图 11 B．

36C．

2 3D．

1 2某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ） A. 22

B. 23

C. 4

D. 25

18．[山东省潍坊市2020学年度高三第一学期期末考试数学试题文科第16题，理科第15题]

已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1， 其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积 V= ；

19、[2020年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（理科）第15题]

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

9，底面周长为3，则这个球的体积为＿＿＿＿＿＿. 8

20．[2020年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学理科第12题]

一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1:h2:h（ ）

Ａ．3:1:1

Ｂ．3:2:2

Ｃ．3:2:2

Ｄ．3:2:3

21．[浙江诸暨中学2020学年第一学期期中考试试卷高三文科数学第17题，理科数学第16题]

已知ABC中，AB2，BC1，ABC120，平面ABC外一点P满足

PAPBPC2，则三棱锥PABC的体积是 ▲ .

22．[合肥八中2020届高三第二次月考理第13题]

如图,已知球O的面上四点A,B,C,D,DA平面ABC,ABBC,

DAABBC3,则球O的体积等于

23．[2020年普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（文科）第12题]

已知平面平面，l，点A，Al，直线AB∥l，直线ACl，

直线m∥，m∥，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） ．．．

A．AB∥m

B．ACm C．AB∥ D．AC

24．[宁夏银川一中2020届高三年级第三次月考数学试卷（理科）第3题]

m、n是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：

① 若//,//，则//; ②若,m//，则m;

③ 若m,m//，则; ④若m//n,n，则m//.

其中真命题的序号是 （ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

25．[浙江诸暨中学2020学年第一学期期中考试试卷高三文科数学第4题，理科数学第3题]

已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是

A．若m，n，，则mn. B．若m，n∥，，则mn. C．若m∥，n∥，∥，则m∥n. D．若m∥，n，，则m∥n. 26．[山东省枣庄市薛城区2020届高三第一学期期末考试数学试题（文科）第11题]

设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β= m，且 ，n，

则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题. ①∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ 可以填入的条件有 （ ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③

27、[福建莆田一中2020～2020学年度上学期第一学段高三文科数学试卷第16题]

有下列四个判断：①平面平面，平面平面

②直线a∥b，a平面，b平面

③a、b是异面直线，a,b且a∥,b∥

④平面内距离为d的两条平行直线在平面内的射影仍为两条距离为d的平行直线 其中能推出的条件有 （填写所有正确条件的代号）

28．[宁夏银川一中2020届高三年级第三次月考数学试卷（文科）第16题，（理科）第16题]

如图,正ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:

①动点A在平面ABC上的射影在线段AF上; ②恒有平面AGF平面BCED;

BDA'''A'‘③三棱锥AFED的体积有最大值;

④异面直线A’E与BD不可能垂直.

其中正确的命题的序号是 .

29、[大连市24中学2020～2020学年度上学期期中考试高三年级数学科试卷第3题] 已知直线a、b是异面直线，直线c、d分别与a、b都相交，则直线c、d的位置关系 A.可能是平行直线 B.一定是异面直线

C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能

30．[宁夏银川一中2020届高三年级第三次月考数学试卷（理科）第19题]（本小题满分12分）

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由； （Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF； （Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°.

F

A

E

CD

31．[厦门六中2020第一学期高三期中试卷（理科）第21题]（本小题满分12分）

一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.

（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；

（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方 侧视图 正视图

体ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1

的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC 所成二面角的余弦值. 俯视图

PB

32 ．[浙江省路桥中学2020学年高三年级第三次月考试卷数学（理科）第20题]（本小题满分14分）

如图多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）。 （1）求证：AE//平面DCF； （2）当AB的长为

9时,求二面角A-EF-C的余弦值。 2 参考答案

1．Ｂ 2．D 3．A 4．D 5．Ｂ 6．C 7．B 8．24+23cm9．640＋80π 10．C 11．C 12．A 13．

2

53a 14．B 615．3 ，9； 16．D 17．C 18．124 19． 20．Ｂ 6321．

59 22． 23．D 24．A 25．A 26．C 27．②③ 62

28．①②③. 29．C

30．[宁夏银川一中2020届高三年级第三次月考数学试卷（理科）第19题]（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行. ∵在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点， ∴EF∥PC

zP又EF平面PAC，而PC平面PAC

∴EF∥平面PAC. ………4分 （Ⅱ）建立图示空间直角坐标系，则P0,0,1， B0,1,0，F0,,，

DFABy1122GCE∵PD与平面ABCD所成角是30，∴PDA30， ∴AD3， ∴D x3,0,0.

设BEx，则Ex,1,0

11PEAF(x,1,1)(0,,)0 ∴AFPE ………8分

22mPD0，得：m1,1x,1，而

（Ⅲ）设平面PDE的法向量为mp,q,1，由mPE033平面ADE的法向量为AP(0,0,1),∵二面角PDEA的大小是45,所以

cos45=

112|mAP|， ，∴22|m||AP|21x113332 或 BEx32（舍）. ………………12分

得BEx

31. [厦门六中2020第一学期高三期中试卷（理科）第21题] 解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥.……………………2分 其中底面ABCD是边长为6的

正方形，高为CC1=6，故所求体积是

C1 C D C1 D1 C D 图2 图1

B A B1 A1 B A 12 V6672 ……………………4分

3 （Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， 故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体。 ……………………5分 其拼法如图2所示. ……………………………6分

证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的 正方形，于是

VC1ABCDVC1ABB1A1VC1AA1D1D 故所拼图形成立。……7分

（Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G， 连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H， 连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与

平面ABC所成二面角或其补角的平面角.………………9分 在Rt△ABG中，AG180，则

z C1 D1 E C A1 H 图3 B1 G BH612180125，B1HBHBB122185B A y ，

x D cosB1HBHB2，…………………………11分 HB13故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为2.……12分 3 方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.……8分 设向量n=（x，y，z），满足n⊥EB1，n⊥AB1，

xz6y3z0于是，解得1.

yz6x6z02 取z=2，得n=（2，-1，2）. 又BB1（0，0，6），…………………………10分

cosn,BB1nBB1|n||BB1|122…………………………………………11分 183故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为2.……………………12分 3

32 ．[浙江省路桥中学2020学年高三年级第三次月考试卷数学（理科）第20题]（本小题满分14分） 方法一：

（1）（7分）证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG， 可得四边形BCGE为矩形， 又ABCD为矩形，

∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形， 所以AD D C G F

E 故AE∥DG．--------------------------------------4分 A

因为AE平面DCF，DG平面DCF， 所以AE∥平面DCF．--------------------------7分

B （2）（7分）解：过点B作BHEF交FE的延长线于H，连结AH．

由平面ABCD平面BEFC，ABBC，得 H AB平面BEFC， 从而AHEF．

所以AHB为二面角AEFC的平面角． 在Rt△EFG中，因为EGAD又因为CEEF，所以CF4， 从而BECG3． 于是BHBEsinBEH3，EF2，所以CFE60，FG1．

z D A x B E C F y 33．-------------------------------11分 29因为ABBHtanAHB，因为AB=时

2tanAHB3，所以二面角AEFC的余弦值

1．---------14分 2方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz．

设ABa，BEb，CFc，

0，a)，B(3，0，0)，E(3，b，0)，F(0，c，0，0)，A(3，0)． 则C(0，a)，CB(3，0，0)，BE(0，b，0)， （1）证明：AE(0，b，所以CB•CE0,CB•BE0，从而CBAE，CBBE， 所以CB平面ABE．

因为CB平面DCF，

所以平面ABE∥平面DCF． 故AE∥平面DCF．

0)， （2）解：因为EF(3，cb，0)，CE(3，b，所以EFCE0，|EF|2，从而

3b(cb)0， 23(cb)2，解得b3，c4．

3，0)，F(0，所以E(3，4，0)．

设n(1，y，z)与平面AEF垂直，因为AB则nAE0，nEF0，

9， 2解得n(1,3,23)． 3又因为BA平面BEFC，BA(0,0,)， 所以|COSn,BA所以当AB为

92|BA•n|1，

|BA|•|n|291时，二面角AEFC的余弦值为 22