新高考数学高考数学压轴题 数列多选题专项训练分类精编附解析(1)

一、数列多选题

1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A．a8＝34 a2021＝a2022

B．S8＝54

C．S2020＝a2022－1

D．a1＋a3＋a5＋…＋

答案：BCD 【分析】

由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，可

解析：BCD 【分析】

由题意可得数列an满足递推关系a11,a21,anan2+an1n3，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】

对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误； 对于B，S81+1+2+3+5+8+13+2154，故B正确； 对于C，可得anan1an1n2， 则a1+a2+a3+a4++ana1+a3a1+a4a2+a5a3++an1an1

即Sna2+an+an1an21，S2020a20221，故C正确； 对于D，由anan1an1n2可得，

a1+a3+a5+故选：BCD. 【点睛】

+a2021a2+a4a2+a6a4++a2022a2020a2022，故D正确.

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，a11,a21,anan2+an1n3，能根据数列性质利用累加法求解. 2．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列an称为“斐波那契数列”，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A．a68

B．S733

C．a1a3a5a2019a2022

22a12a2a2019a2020 D．

a2019答案：ABD 【分析】

根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】

依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不

解析：ABD 【分析】

根据a11，a21，an2an1an，计算可知A,B正确；根据a1a2，

a3a4a2，a5a6a4，a7a8a6，，a2019a2020a2018，累加可知C不正

222确；根据a1a2a1，a2a2(a3a1)a2a3a1a2，a3a3(a4a2)a3a4a2a3，2a4a4(a5a3)a4a5a3a4，

2，a2019a2019(a2020a2018)a2019a2020a2018a2019，

累加可知D正确. 【详解】

依题意可知，a11，a21，an2an1an，

a3a1a2112，a4a2a3123，a5a3a4235，a6a4a5358，故A正确； a7a5a65813，所以

S7a1a2a3a4a5a6a71123581333，故B正确；

由a1a2，a3a4a2，a5a6a4，a7a8a6，可得

，a2019a2020a2018，

a1a3a5a7故C不正确；

a2019a2a4a2a6a4a8a6a2020a2018a2020，

22a12a2a1，a2a2(a3a1)a2a3a1a2，a3a3(a4a2)a3a4a2a3，

2a4a4(a5a3)a4a5a3a4，2，a2019a2019(a2020a2018)a2019a2020a2018a2019，

所以

222a12a2a3a42a2019a1a2a2a3a1a2a3a4a2a3a4a5a3a4a2019a2020a2018a2019

a2019a2020，

22a12a2a2019a2020，故D正确. 所以

a2019故选：ABD. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.

3．设等差数列an的前n项和为Sn．若S30，a46，则（ ） A．Snn3n C．an3n6

23n29nB．Sn

2D．an2n

答案：BC 【分析】

由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】

解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC

解析：BC 【分析】

由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n项和公式 【详解】

解：设等差数列an的公差为d， 因为S30，a46，

323ad0a131所以，解得， 2d3a13d6所以ana1(n1)d33(n1)3n6，

n(n1)3n(n1)3n29n， Snna1d3n222故选：BC

4．首项为正数，公差不为0的等差数列an，其前n项和为Sn，则下列4个命题中正确的有（ ）

A．若S100，则a50，a60；

B．若S4S12，则使Sn0的最大的n为15； C．若S150，S160，则Sn中S7最大； D．若S8S9，则S7S8.

答案：ABD 【分析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】

对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，

根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A正

解析：ABD 【分析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】

对于A：因为正数，公差不为0，且S100，所以公差d0， 所以S1010(a1a10)0，即a1a100， 2根据等差数列的性质可得a5a6a1a100，又d0， 所以a50，a60，故A正确； 对于B：因为S4S12，则S12S40，

所以a5a6a11a124(a8a9)0，又a10， 所以a80,a90， 所以S1515(a1a15)152a816(a1a16)16(a8a9)15a80，S160， 2222所以使Sn0的最大的n为15，故B正确； 对于C：因为S1515(a1a15)152a815a80，则a80， 22S1616(a1a16)16(a8a9)0，则a8a90，即a90， 22所以则Sn中S8最大，故C错误；

对于D：因为S8S9，则a9S9S80，又a10， 所以a8S8S70，即S8S7，故D正确， 故选：ABD

【点睛】

解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.

5．已知等差数列an的公差不为0，其前n项和为Sn，且2a1、S8、S9成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A．2a53a9S8

B．S2S7

C．S5最小

D．a50

答案：BD 【分析】

设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】

设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等差数列，则，即， 解得，，

解析：BD 【分析】

设等差数列an的公差为d，根据条件2a1、S8、S9成等差数列可求得a1与d的等量关系，可得出an、Sn的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】

设等差数列an的公差为d，则S88a187d8a128d，2S99a198d9a136d， 2因为2a1、S8、S9成等差数列，则2S82a1S9，即16a156d2a19a136d，

n29ndnn1d. 解得a14d，ana1n1dn5d，Snan122对于A选项，2a53a934d12d，S对于B选项，S88289d224d，A选项错误； 7d，B选项正确；

22292d27d，S7797d22d2d981对于C选项，Snn9nn.

2224若d0，则S4或S5最小；若d0，则S4或S5最大.C选项错误； 对于D选项，a50，D选项正确.

故选：BD. 【点睛】

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n项和Sn的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.

6．等差数列an中，Sn为其前n项和，a115,A．d1 B．a4a13 C．Sn的最大值为S8

D．使得Sn0的最大整数n15

S5S11，则以下正确的是（ ）

答案：BCD 【分析】

设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解. 【详解】

设等差数列的公差为， 由题意，，所以，故A错误； 所以，所以，故B正确； 因为， 所以当

解析：BCD 【分析】

d2设等差数列an的公差为d，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐

a151项判断即可得解. 【详解】

设等差数列an的公差为d，

5411105ad11add211由题意，，所以，故A错误； 22a151a115所以a4a13d9,a13a112d9，所以a4a13，故B正确； 因为Sna1nnn12dn216nn864，

2所以当且仅当n8时，Sn取最大值，故C正确；

要使Snn8640，则n16且nN， 所以使得Sn0的最大整数n15，故D正确. 故选：BCD.

7．数列an满足an12an,a11，则下列说法正确的是（ ） 2an1B．数列A．数列1是等差数列 an12的前n项和Snn anC．数列an的通项公式为an2n1 D．数列an为递减数列

答案：ABD 【分析】

首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】

对选项A，因为，， 所以，即

所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确. 对选项B，由A知：

解析：ABD 【分析】 首项根据an1an1112，从而得到是以首项为1，公差为,a11得到

an1an2an1an2的等差数列，再依次判断选项即可.

【详解】

对选项A，因为an1an，a11， 2an12an1111122 所以，即an1ananan1an1所以是以首项为1，公差为2的等差数列，故A正确.

an1对选项B，由A知：

an12n12n1

1n12n1数列的前n项和Snn2，故B正确.

2an对选项C，因为

12n1，所以an1，故C错误. an2n1对选项D，因为an故选：ABD 【点睛】

1，所以数列an为递减数列，故D正确. 2n1本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题.

8．记Sn为等差数列an的前n项和.已知S535，a411，则（ ） A．an4n5

2C．Sn2n3n

B．an2n3

2D．Snn4n

答案：AC 【分析】

由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式 【详解】

由题可知，，即，所以等差数列的公差， 所以，. 故选：AC. 【点睛】

本题考查等差数列，考查运算求解能力.

解析：AC 【分析】

由S535求出a37，再由a411可得公差为da4a34，从而可求得其通项公式和前n项和公式 【详解】

由题可知，S55a335，即a37，所以等差数列an的公差da4a34， 所以ana4n4d4n5，Sn故选：AC. 【点睛】

本题考查等差数列，考查运算求解能力.

29．无穷数列an的前n项和Snanbnc，其中a，b，c为实数，则（ ）

4n51n2n23n.

2A．an可能为等差数列 B．an可能为等比数列

C．an中一定存在连续三项构成等差数列

D．an中一定存在连续三项构成等比数列

答案：ABC 【分析】

由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】 当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则

所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．

解析：ABC 【分析】

2由Snanbnc可求得an的表达式，利用定义判定得出答案．

【详解】

当n1时，a1S1abc．

当n2时，anSnSn1an2bncan1bn1c2anab． 当n1时，上式＝ab．

所以若an是等差数列，则ababcc0. 所以当c2ac0时是等比数列；当c0时，an从第二0时，an是等差数列， b0项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】

本题只要考查等差数列前n项和Sn与通项公式an的关系，利用Sn求通项公式，属于基础题．

10．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17S18，则下列各式的值为0的是（ ） A．a17

B．S35

C．a17a19

D．S19S16

答案：BD 【分析】

由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确. 【详解】

因为，所以，所以， 因为公差，所以，故不正确；

，故正确； ，故不正确； ，故正确. 故选：BD.

解析：BD 【分析】 由S17S18得a180，利用a17a18dd0可知A不正确；；根据S3535a18可

知 B正确；根据a17a192d0可知C不正确；根据S19S163a180可知D正确. 【详解】

因为S17S18，所以S18S170，所以a180，

因为公差d0，所以a17a18dd0，故A不正确；

S3535(a1a35)352a1835a180，故B正确； 22a17a192d0，故C不正确；

S19S16a17a18a193a180，故D正确.

故选：BD. 【点睛】

本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.