高数一全套公式

1．公式

等数学基础知识

一、三角函数

同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α) ·商的关系：

tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα ·倒数关系：

tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

2．特殊角的三角函数值

6 4 3  f() 0 (0) 2 (30) 3/2 (45) (60) (90) 0 1 不存在 0 cos sin tan 1 0 0 不存在 2/2 2/2 1 1 1/2 3/2 3 1/2 1/3 3 cot 1/3

只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。

2

45

1

2

60

1

45

1 30

函数 角A -α 90°-α 3 3诱导公式：

sin -sinα cosα cos tg ctg cos-tgα -ctgα α sinα ctgtgα α -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα 90°+α cos-sin-ctgα α α 180°-α sinα -cos-tgα α 180°+-sin-costgα α α α 270°-α -cos-sinctgα α α 270°+-cossinα -ctgα α α 360°-α -sincos-tgα α α 360°+sinα costgα α α 记忆规律： 竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割

即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）

二、一元二次函数、方程和不等式

b24ac 0 0 0 一元二次函数yax2bxc(a＞0) x1.2 x1 x22有二互异实根一元二次方程axbxc02 x1,2bb4ac2a有二相等实根(有一根)x1,2b2a 无实根 一元二次不等式ax2bxc＜0 (a＞0) x1xx2 axbxc＞0 2(x1＜x2)x＜x1或x＞x2 xb 2axR x x 三、因式分解与乘法公式

(1)a2b2(ab)(ab)　　　(2)a22abb2(ab)2　　　(3)a22abb2(ab)2(4)a3b3(ab)(a2abb2)　　　　(5)a3b3(ab)(a2abb2)　　　(6)a33a2b3ab2b3(ab)3　　　　(7)a33a2b3ab2b3(ab)3　　　(8)a2b2c22ab2bc2ca(abc)2　　　(9)anbn(ab)(an1an2bLabn2bn1),(n2)

四、等差数列和等比数列

1.等差数列 　通项公式：ana1n1d　前n项和公式 Snna1annn1 或 Snna1d22

2.等比数列GP 通项公式ana1qn1an0，q0

前n项和公式.a11qnSn1qna1q1 q1五、常用几何公式

平面图形 名称 正方形 a—边长 符号 C＝4a S＝a2 C＝2(a+b) S＝ab 周长C和面积S 长方形 a和b－边长 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 r－半径 d－直径 S＝ah ＝absinα 菱形 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径 圆环 椭圆

D－长轴 d－短轴 S＝πDd/4 立方图形 名称 正方体 a－边长 符号 S＝6a2 V＝a3 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 表面积S和体积V 长方体 a－长 b－宽 c－高 r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积 圆柱 C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底= Ch+2πr2 V＝S底h ＝πr2h 圆锥 r－底半径 h－高 r－半径 d－直径 V＝πr2h/3 球 V＝4/3πr3 ＝πd3/6 S=4πr2 ＝πd2

基本初等函数 名表达式 称 常 数 yC 函 数 定义域 R 图 形 y C 特 性 0 x 幂 函 数 yx  随而异，但在R上 均有定义 1.81.61.41.210.80.60.40.20y=x3过点(1，1); y=xy=x1/3y=x-1y=x-200.20.40.60.811.21.41.61.8 指 yax 数 a0 函 a1 数 4.543.532.521.5yy=axy=ax01过点1,0． xO(1,0)01.limCC(C是常值函数）2.若fxM（即fx是有界量），lim（即0是无穷小量），limfx0, 特别:fxClimC0fx3.若fxM（即fx是有界量）lim0,C 特别:fxCC0lim0CC04.lim0C05.未定式

10型0A.分子,分母含有相同的零因式,消去零因式

B.等价无穷小替换(常用sinx~x,ex1~x,lnx1~x)C.洛必达法则：要求fx,gx存在,且limfxfxfx 存在,此时,limlimgxgxgx2型A.忽略掉分子,分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大,保留最高阶的无穷大,再化简计算

B.分子,分母同除以最高阶无穷大后,再化简计算.C.洛必达法则.3型 0通过分式通分或无理函数有理化,转化为\"\"型或\"\"型01040转化为 0010500型求对数0 6型00求对数

1x71型通过lim1xe或求对数来计算.x0二、分段函数：分段点的极限用左,右极限的定义来求解.

切线方程为：yy0f(x0)(xx0) 法线方程为yy01(xx0) f(x0)基本初等函数的导数公式

(1) (C)0　，C是常数 (2)

(x)x1

（e(3) (ax)axlna，特别地，当ae时，

xex ）(4) (logax)(5)

11 ， 特别地，当ae时，（lnx）xlnax(sinx)cosx (6) (cosx)sinx

1122(cotx)cscx (8) secx22cosxsinx(7) (tanx)(9) (secx)(secx)tanx (10) (cscx)(cscx)cotx (11) (arcsinx)11x2 (12) (arccosx)11x2

(13) (arctanx)11 (14) (arccotx)1x21x2函数的和、差、积、商的求导法则

函数uu(x)及vv(x)都在点x可导，u(x)及v(x)的和、差、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,

(1)[u(x)v(x)]u(x)v(x)

(2)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)

u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)(3)(v(x)0) 2v(x)v(x)

基本初等函数的微分公式

(1)、dc0(c为常数)；

(2)、d(x)x1dx(为任意常数)；

(3)、d(ax)axlnadx，特别地，当ae时，d(ex)exdx； (4)、d(logax)11dx，特别地，当ae时，d(lnx)dx； xlnax(5)、d(sinx)cosxdx； (6)、d(cosx)sinxdx； (7)、d(tanx)sec2xdx； (8)、d(cotx)csc2xdx； (9)、d(secx)secxtanxdx； (10)、d(cscx)cscxcotxdx； (11)、d(arcsinx)11x2dx；

(12)、d(arccosx)11x2dx；

(13)、d(arctanx)1dx； 1x2(14)、d(arccotx)曲线的切线方程

1dx． 1x2yy0f'(x0)(xx0)

幂指函数的导数

uxvx'uxvxvxlnuxvxuxux极限、可导、可微、连续之间的关系

极限 连续 可导 可微 条件A  条件B，A为B的充分条件 条件B  条件A，A为B的必要条件 条件A  条件B，A和B互为充分必要条件 边际分析

边际成本 MC =C(q)；边际收益 MR =R(q)；

边际利润 ML =L(q)，L(q)R(q)C(q)= MR—MC

弹性分析

yf(x)在点x0处的弹性，

EyExxx0 罗尔定理

特别的，需求价格弹性：

x0y(x0)y0EDpD(p) EpD若函数f(x)满足： (1) 在闭区间[a,b]连续；

(2) 在开区间(a,b)可导；

(3) f(a)f(b)，则在(a,b)内至少存在一点，使f()0．

拉格朗日定理

设函数f(x)满足:

(1) 在闭区间[a,b]连续；

(2) 在开区间(a,b)可导，

则在(a,b)上至少存在一点，使得f()f(b)f(a) ．

ba基本积分公式

(1) 0dxC (2) kdxkxCx1C(3) xdx1k为常数

1

特别地：dxxC

(4)

1xdxln|x|C （有时绝对值符号也可忽略不写）

xaxC (5) adxlna(6) exdxexC (7) cosxdxsinxC (8) sinxdxcosxC (9)

dx2seccos2xxdxtanxC

dx2cscsin2xxdxcotxC

(10)

(11) secxtanxdxsecxC (12) cscxcotxdxcscxC (13) (14) (15)

dxdxarctanxC（或1x21x2arccotxC）

dx1x2arcsinxC（或dx1x2arccosxC）

tanxdxln|cosx|C，

(16) cotxdxln|sinx|C，

(17) secxdxln|secxtanx|C， (18) cotxdxln|cscxcotx|C，

dx1x(19) arctanC，(a0)，

aaax22(20) (21) (22)

dx1xalnC，(a0)， 222axaaxdxxarcsinC，(a0)，

aa2x2dxlnxx2a2C，(a0)．

x2a2常用凑微分公式

(1)、dx1adaxba,b为常数,且a0 (2)、xdx1dx22 (3)、1x2dxd1x (4)、

1xdx2dx

(5)、1xdxdlnx

(6)、exdxdex (7)、sinxdxdcosx (8)、cosxdxdsinx (9)、sec2xdxdtanx (10)、csc2xdxdcotx (11)、11x2dxdarcsinx

(12)、

11x2dxdarctanx

一阶线性非齐次微分方程dydxP(x)yQ(x)

平面图形面积的计算公式

1)区域D由连续曲线 y  f ( x ), y  g ( x ) 和直线x=a,x=b围成,其中 f ( x )  g ( x )( a  x  b ) （右图） b D的面积　Ag(x)f(x)dx

a

的通解为yeP(x)dxP(x)dxQ(x)edxC

y yg(x) yyf(x)0abxdx(y)x(y)c0x

x(y),x(y) 2)区域D由连续曲线 和直线x=c,x=d围成,其中  ( y )   ( y )  y  c d  （右图）

D的面积 A(y)(y)dycd

平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式

1 、绕x轴的旋转体体积（右图）

b2Vfx a(x)dx

注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．

2、绕y轴的旋转体体积（右图）

d

Vyg2(y)dy c

注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．

由边际函数求总函数

C(q)f(x)dxC0(C0C(0)为固定成本） R(q)g(x)dx

00qq总利润函数为L(q)R(q)C(q)[g(x)f(x)]dxC0。

0q

多元复合函数的导数公式

设函数u =φ(x, y)、v =ψ(x, y)在点(x，y)有偏导数，函数z = f (u, v)在对应点(u, v)处可微，则复合函数

z = f (φ(x, y),ψ(x, y))在点(x，y)的偏导数

zzuzvzzuzv, . xuxvxyuyvy两个特例：

z = f (u, v)，u(t),v(t)：

dzzduudv dtudtvdtz = f (u)，u = u (x, y)：隐函数导数公式

zdzuuzdzuuf(u), f(u).xduxxyduyy

二元方程F(x,y)0所确定的隐函数：

Fdyx dxFyFFzzx，y xFzyFz三元方程F(x, y, z) = 0所确定的二元隐函数：

1.确定函数定义域的主要依据：

(1)当f(x)是整式时，定义域为R；

(2)当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合；

(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合；

(4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于0的x取值范围； (5)当f(x)是对数式时，定义域是使真数大于0的x取值的集合； (6)正切函数的定义域是{x|xk2,kZ}；余切函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}；

(7)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义. 2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.