2018年12月上海市徐汇区高三数学一模卷参考答案

一、

填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)

x2y21 1. 2 2. ,0 3. 22 4. 1 5.

5206. 2 7. 84 8. 15 9. y310x,x0,lg2 10.

4 11. 1,3U4, 12. 8 3二、 选择题：(共20分，每题5分)

13. A 14. C 15. B 16. D 三、 解答题

17、解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD,DC,CC',DD',D'C',B'C'所在的直线与直线A'B是异面直线 ……………….6分 (2)连结BC',A'C'，因为M,N分别是A'B,BC'的中点， 所以MN∥A'C'，又因为BC∥B'C'，

所以异面直线MN与BC所成角为A'C'B'(或其补角)，…….9分 由于A'B'B'C',A'B'C'90

于是A'C'B'45， ………………13分

DD'A'C'B'NMCB所以异面直线MN与BC所成角的大小为45. ………….14分 18、解：（1）不等式f(x)1即为

Aax2(a1)x10.……….3分 x2x2

当a1时，不等式解集为(,2)0,； ……………….4分 当a1时，不等式解集为(,2)(2,)； ……………….5分 当a1时，不等式解集为2,0. ……………….6分

ax12ax222(a1)(x1x2),……….9分x12x22(x12)(x22)

（2）任取0x1x2,则f(x1)f(x2)0x1x2x1x20,x120,x220, ……………….11分

所以要使f(x)在(0,)递减即f(x1)f(x2)0,只要a10即a1, ………13分 故当a1时，f(x)在区间(0,)上是单调减函数 ……………….14分

1

（海里）,AOB 19、解：（1）AB1003

（海里），OCOD120（海里）则AOBO100 ……………….2分

11220012021002（平方海里） ……………….5分 232332200平方海里. ……………….6分 所以，海域ABCD的面积为3SABCD（海里）AP40（2）AB100 （海里）,BP2019（海里）4021002(2019)21……………….8分 cosPAB2 240100PAB3，PAO2……………….10分

3

POAP2AO22APAOcosPAO ……………….12分

4021002240100cos2（海里）91（海里）20 203

3这艘不明船只没有进入海域ABCD. ……………….14分

20、解：（1）2a22 a2, ……………….1分 又ac21，c1, ……………….2分

a2b2c2

b1 ……………….3分

x2y21故椭圆方程为……………….4分2

（2）ykxm过A(0,1)，m1

ykx14k12k2222,yBkxB1 (12k)x4kx0，xBx22212k12ky122k14k12k2M(,) ……………….6分 B(,)，则222212k12k12k12k66k6ONOM,N(,),代入椭圆方程， ……………….8分

212k22(12k2) 2

42得8k2k10，即(4k21)(2k21)0，所以k1 ……………….10分 2（3）原点O到直线l的距离为1，mk211m2k21 ……………….12分

设A(x1,y1),B(x2,y2),OAOBx1x2y1y2 ykxm222联立x2(12k)x4kmx2m20(*) 2y1216k2m24(12k2)(2m22)8k20k0

4km2m22,x1x2由(*)式知，x1x2

12k212k2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2

3m22k223(k21)2k22k2145112，得k,……14分 ,412k212k212k2563AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x2 4km22m2216k28m282 1k( )41k12k212k212k22 1k222k12k2

SOAB1(1k2)k2222k ……………….15分 1k12222212k(12k)22令12kt,kt135,t, 223SAOBt1t1211022222212, ……………….16分

t2t5621、解：(1)若数列an:1,2,3,4,5,6是数列，取数列an中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项as,at(st)，使得12asat，故数列an不是数列；……….4分 (2)若d13，对于p1,q2，若存在2st，满足apaqasat，

3

因为2st，于是s3,t4，

所以asa2，ata1，从而asata2a1，矛盾， 所以d14，同理d34下面证明d22：

若d21，即2出现了1次，不妨设ak2，a1akasat，

等式左边是3；等式右边有几种可能，分别是11或13或33，等式两边不相等，矛盾， 于是d12

.……………….10分

.……………….8分

(3)设1出现d1次，2出现d2次，…，2019出现d2019次，其中d1,d2,…,d2019N* 由(2)可知，d14,d20194，且d22，同理d20182， ……………….12分 又因为d3,d4,…,d2017N*，所以项数n0d1d2…d20192027下面证明项数n0的最小值是2027：

取d14,d22,d3d4…d20171,d20182,d20194，可以得到数列

.……….14分

an:1,1,1,1,2,2,3,4,…,2016,2017,2018,2018,2019,2019,2019,2019.

接下来证明上述数列是数列：

若任取的两项分别是1,1，则其余的项中还存在2个1，满足1111， 同理，若任取的两项分别是2019,2019也满足要求；

若任取的两项分别是1,2，则其余的项中还存在3个1,1个2，满足要求， 同理，若任取的两项分别是2018,2019也满足要求；

若任取ap1,aq3，则在其余的项中选取as2,ataq1，满足要求， 同理，若ap2017,aq2019也满足要求；

若任取的两项ap,aq满足1apaq2019，则在其余的项中选取asap1,ataq1， 每个数最多被选取了1次，于是也满足要求.

从而，项数n0的最小值是2027. ……………….18分

4