常用求导与定积分公式

(1) (3)

(C)=0

−1(x)=x (2)

(sinx)=cosx

(4)

(cosx)=−sinx

2(tanx)=secx (5) 2(cotx)=−cscx (6)

(7) (9)

(secx)=secxtanx

(8)

(cscx)=−cscxcotx

(ax)=axlna (logax)=1xlna

xx(e)=e (10)

(lnx)= (12)

(11)

1x，

(arcsinx)= (13)

11−x2

11+x2

(14)

(arccosx)=−11−x2

11+x2

(arctanx)= (15)

(arccotx)=− (16)

函数的和、差、积、商的求导法则

设

u=u(x)，v=v(x)都可导，则

(uv)=uv (uv)=uv+uv

(Cu)=Cu（C是常数）

（1） （2）

（3）

uuv−uv=2vv （4）

反函数求导法则

1 / 5

若函数在对应区间

x=(y)在某区间Iy内可导、(y)0，y=f(x)单调且则它的反函数

Ix内也可导，且

dy1=1dxdxf(x)=(y) 或 dy

复合函数求导法则 设

y=f(u)，而u=(x)且f(u)及(x)都可导，则复合函数y=f[(x)]的

导数为

dydydu=dxdudx或y=f(u)(x)

二、基本积分表

（1）kdx=kx+C （k是常数）

x+1+C, (u−1) （2）xdx=+11（3）dx=ln|x|+C

xdx=arltanx+C （4）1+x2（5）dx1−x2=arcsinx+C

2 / 5

（6）cosxdx=sinx+C （7）sinxdx=−cosx+C

1dx=tanx+C cos2x1（9）2dx=−cotx+C

sinx（8）（10）secxtanxdx=secx+C （11）cscxcotxdx=−cscx+C （12）exdx=ex+C

ax+C，(a0,且a1) （13）adx=lnax（14）shxdx=chx+C （15）chxdx=shx+C

11xdx=arctan+C 22a+xaa11x−adx=ln||+C （17）22x−a2ax+a（16）（18）（19）（20）xdx=arcsin+C

aa2−x21a2+x2dxx2−a2dx=ln(x+a2+x2)+C

1=ln|x+x2−a2|+C

（21）tanxdx=−ln|cosx|+C

3 / 5

（22）cotxdx=ln|sinx|+C （23）secxdx=ln|secx+tanx|+C （24）cscxdx=ln|cscx−cotx|+C

注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x换成u仍成立，u是以x为自变量的函数。

3、复习三角函数公式：

sin2x+cos2x=1,tan2x+1=sec2x,sin2x=2sinxcosx,cos2x=sin2x=1−cos2x。 21+cos2x， 2注：由f[(x)]'(x)dx=f[(x)]d(x)，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

小结：

1常用凑微分公式

4 / 5

积分类型1.f(ax+b)dx=2.f(x)x3.f(lnx)x换元公式(a0)u=ax+bu=xu=lnxu=exu=axu=sinxu=cosxu=tanxu=cotxu=arctanx1af(ax+b)d(ax+b)1−1dx=f(xx)d(x)(0)第一换元积分法4..f(e)edx=f(e)de15.f(a)adx=f(a)dalna6.f(sinx)cosxdx=f(sinx)dsinx7.f(cosx)sinxdx=−f(cosx)dcosx8.f(tanx)secxdx=f(tanx)dtanx9.f(cotx)cscxdx=−f(cotx)dcotx110.f(arctanx)dx=f(arctanx)d(arctanx)1+xf(lnx)d(lnx)xxxxxx2221dx=x11.f(arcsinx)

11−x2dx=−f(arcsinx)d(arcsinx)u=arcsinx5 / 5