自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法(连载一)
《自然数平方和公式推导及其应用》
（http://blog.sina.com.cn/s/blog_4d9ff3d10100cc8t.html）发表以来,得到了数学爱好者的好评。其实，那是自然数平方和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方和以及自然数立方和公式与偶数、奇数自然数立方和求法的一种偶然思路。如何由二项式定理推导自然数的n次幂的求和公式才是该数学问题的完美思路，其研究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理论意义，比如它完全可以代表等差数列N项的高次幂求和的思路与方法。
1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系
1.1自然数的1次幂的求和 即s=1+2+3+...+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公式为s=n(n+1)/2
1.2自然数的2次与二次以上幂的求和 s=1n+2n+3n+...+Nn(n≥2)不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才是研究思路的重点。
当n为奇数时，由1n+2n+3n+...+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:
2s=Nn+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+Nn
=Nn+Nn+Nn+...+Nn加或减去所有添加的二项式展开式数
=(1+N)Nn减去所有添加的二项式展开式数。
当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:
2s=Nn+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+Nn
=2Nn+2[(N-2)n+(N-4)n+(N-6)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数
又当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+Nn与s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:
2s=[Nn+1n]+[(N-1)n+2n]+[(N-2)n+3n]+...+[(N-N-1)n+(N-1)n]
=2[(N-1)n+(N-3)n+(N-5)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=Nn+(N-1)n+(N-2)n+...+1的计算公式。
其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导。
1.2.1自然数的2次幂的求和 自然数的2次幂的求和是自然数的二次以上幂的求和公式推导的基础，它是自然数偶数次幂的开始和代表。
命s=12+22+32+…+N2,则有
2s=(N2+12)+[(N-1)2+22]+(N-2)2+32]+…+{[N-(N-1)]2+N2}
=(N-1)2+2N+(N-3)2+2×2(N-1)+(N-5)2+2×3(N-2) +…+(N-1)2+2N [N-(N-1)]
=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0](其中N为偶数时取1,N为奇数时取0)
+2N+2×2(N-1)+2×3(N-2)+…+2N [N-(N-1)]
= 2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]
+2N(1+2+3+…+N)-2[2×1+3×2+…+N (N-1)]
=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+N2(1+N)
-2[1-1+2×(2-1)+3×(3-1)+…+N (N-1)]
=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+N2(1+N)
-2(1+22+32+…+N2-1-2-3-…-N)
即4s=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+N2(1+N)+N(1+N)……………………………….(1)
同理：
2s=N2+[12+ (N-1)2]+[22+(N-2)2]+[32+(N-3)2]…+{(N-1)2+[N-(N-1)]2}+N2
=2N2+(N-2)2+2(N-1)+(N-4)2+2×2(N-2)+(N-6)2+2×3(N-3) +…+(N-2)2+2(N-1)[N-(N-1)]
=2[(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+…+1或0](其中N为偶数时取0,N为奇数时取1)
+2(N-1)+2×2(N-2)+2×3(N-3)+…+2(N-1)[N-(N-1)]+2N2
=2[(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+…+1或0]+2N2
+2N(1+2+3+…+N-1)-2[12+22+32+…+ (N-1)2+N2- N2]
=2[(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+…+1或0]+4N2+N2(N-1)
-2[12+22+32+…+ (N-1)2+N2]
4s=2[(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+…+1或0]+4N2+N2(N-1)……………………………………….(2)
由(1)+(2)得: 8s=2[(N-1)2+(N-3)2+(N-5)2+…+1或0]+N2(1+N)+N(1+N)
+2[(N-2)2+(N-4)2+(N-6)2+…+1或0]+4N2+N2(N-1)
即8s=2s+2N2+N2(1+N)+N(1+N)+N2(N-1)
s=N(N+1)(2N+1)/6
1.2.2自然数的2次以上幂的求和 从自然数的立方和开始探讨自然数的2次以上幂的求和的递进规律，从而总结自然数的的n次幂的求和公式。
1.2.2.1自然数的立方求和
命s=13+23+33+…+N3,则有
2s=N3+[13+[(N-1)3]+[23+(N-2)3]+[33+(N-3)3]+…+[(N-1)3+(N-N+1)3]+N3
=N3+[N3-3(N-1)2-3(N-1)]+[N3-3×2(N-2)2-3×22(N-2)]+[N3-3×3(N-3)2-3×32(N-3)]+…+[N3-3(N-N+1)(N-1)2-3(N-N+1)2(N-1)]+N3
=(N+1)N3-3(N-1)2-3(N-1)-3×2(N-2)2-3×22(N-2)-3×3(N-3)2-3×32(N-3)+…-3(N-N+1)(N-1)2-3(N-1)(N-N+1)2
=(N+1)N3-[3(N-1)2+3(N-1)]-[3×2(N-2)2+3×22(N-2)]-[3×3(N-3)2+3×32(N-3)]+…-[3(N-N+1)(N-1)2+3(N-1)(N-N+1)2]
=(N+1)N3-3N(N-1)-3×2N(N-2)-3×3N(N-3)+…-3N(N-1)(N-N+1)
=(N+1)N3-3N[(N-1)+2(N-2)+3(N-3)+…+(N-1)(N-N+1)]
=(N+1)N3-3N[N+2N+3N+...+(N-1)N-12-22-32-...-(N-1)2]
=(N+1)N3-3N2[1+2+3+...+(N-1)](自然数的一次幂)+3N[12+22+32+...+(N-1)2](自然数的二次幂)
=(N+1)N3-3N3(N-1)/2+(N-1)N2(2N-1)/2
即s=N2(N+1)2/4
1.2.2.2自然数的4次幂求和
命s=14+24+34+…+N4,则有
2s=N4+[14+[(N-1)4]+[24+(N-2)4]+[34+(N-3)4]+…+[(N-1)4+(N-N+1)4]+N4
=N4+[(N-2)4+4(N-1)3-6(N-1)2+4(N-1)]+[(N-4)4+4×2(N-2)3-6×22(N-2)2+4×23(N-2)]+[(N-6)4+4×3(N-3)3-6×32(N-3)2+4×33(N-3)] +[(N-2)4+4(N-N+1)(N-1)3-6(N-N+1)2(N-1)2+4(N-N+1)3(N-1)]+N4
=2N4+2[(N-2)4+(N-4)4+(N-6)4+…+1或0](其中N为偶数时取0,N为奇数时取1)
+4[(N-1)3+2(N-2)3+3(N-3)3] +…+(N-1)(N-N+1)3]
+4[(N-1)+23(N-2)] +33(N-3)+…+(N-1)3(N-N+1)]
-6[(N-1)2+22(N-2)2+32(N-3)2+…+ (N-1)2(N-N+1)2]
命上式中s1=(N-1)3+2(N-2)3+3(N-3)3] +…+(N-1)(N-N+1)3；
S2=(N-1)+23(N-2)] +33(N-3)+…+(N-1)3(N-N+1)；
S3=(N-1)2+22(N-2)2+32(N-3)2+…+ (N-1)2(N-N+1)2；
则有：
s1=(N-1)3+2(N-2)3+3(N-3)3+…+(N-1)(N-N+1)3
=(N-1)3+2(N-2)3+3(N-3)3+…+(N-1)(N-N+1)3+N4+(N-1)4+(N-2)4+…+(N-N+1)4-s
=[(N-1)3+ (N-1)4]+[2(N-2)3+(N-2)4]+[3(N-3)3+(N-3)4]…+[(N-1)(N-N+1)3+(N-N+1)4]+N4-s
=N4+N(N-1)3+N(N-2)3+N(N-3)3+…+N(N-N+1)3-s
=N[N3+(N-1)3+(N-2)3+(N-3)3+…+(N-N+1)3]-s
=N[13+23+33+…+N3]-s
S2=(N-1)+23(N-2)] +33(N-3)+…+(N-1)3(N-N+1)
=N(13+23+33+…+(N-1)3]-14-24-34-(N-1)4
=N(13+23+33+…+N3]-s
S3=(N-1)2+22(N-2)2+32(N-3)2+…+ (N-1)2(N-N+1)2
=N2-2N+1+22(N2-4N+22)+32(N2-6N+32) +…+ (N-1)2[N2-2N(N-1)+(N-1)2]
=N2[12+22+32+…+(N-1)2]-2N[13+23+33+…+(N-1)3]+14+24+34+…+(N-1)4
=N2[12+22+32+…+N2]-2N[13+23+33+…+N3]+s
将s1、S2、S3代回上式得：
16s=2N4+2[(N-2)4+(N-4)4+(N-6)4+…+1或0]+20N[13+23+33+…+N3]-6N2[12+22+32+…+N2]
└………………………………………………………………………………................................……...(3)
同理: 命s=14+24+34+…+N4,则有2s=[N4+14]+[(N-1)4+24]+[(N-2)4+34]+[(N-3)4+44]+…+[ (N-N+1)4+N4]
=[(N-1)4+4N3-6N2+4N]+[(N-3)4+4×2(N-1)3-6×22(N-1)2+4×23(N-1)]+[(N-5)4+4×3(N-2)3-6×32(N-2)2+4×33(N-2)] +…+[(N-1)4+4(N-N+1)N3-6(N-N+1)2N2+4(N-N+1)3N
=2[(N-1)4+(N-3)4+(N-5)4+…+1或0](其中N为偶数时取1,N为奇数时取0)
+4[N3+2(N-1)3+3(N-2)3+…+ (N-N+1)N3]
+4[N+23(N-1)+33(N-2)+…+ (N-N+1)3N]
-6[N2+22(N-1)2+32(N-2)2+…+ N2(N-N+1)2]
命上式中s4=N3+2(N-1)3+3(N-2)3+…+N (N-N+1) 3；
S5=N+23(N-1)+33(N-2)+…+N3 (N-N+1)；
S6=N2+22(N-1)2+32(N-2)2+…+N2(N-N+1)2；
则有：s4=N3+2(N-1)3+3(N-2)3+…+ N (N-N+1) 3
=N3+2(N-1)3+3(N-2)3+…+ (N-1)N3+N4+(N-1)4+(N-2)4+…+(N-N+1)4-s
=(N+1)N3+(N+1)(N-1)3+(N+1)(N-2)3+…+N+1-s
=(N+1)[ N3+(N-1)3+(N-2)3+…+1]-s
=(N+1)[ 13+23+33+…+N3]-s
S5=N+23(N-1)] +33(N-2)+…+N3(N-N+1)+14+24+34+…+N4-s
=N+14+23(N-1)+24+33(N-2) +34+…+N3(N-N+1)+N4-s
=(N+1)[ 13+23+33+…+N3]-s
S6=N2+22(N-1)2+32(N-2)2+…+N2(N-N+1)2
=N2+22(N2-2N+1)+32(N2-4N+22)+…+N2[N2-2N(N-1)+(N-1)2]
=N2(12+22+32+…+N2)-2N[22+2×32+…+(N-1)N2]+22+22×32+…+(N-1)2N2
=N2(12+22+32+…+N2)-2N[1-1+23-22+33-32+…+N3-N2]+1-1+(2-1)222+(3-1)2×32+…+(N-1)2N2
=N2(12+22+32+…+N2)-2N[1+23+33+…+ N 3-1-22-32-…-N2]+1-1+24-2×23+22+34-2×33+32+…+N4-2×N3+N2
=N2(12+22+32+…+N2)-2N[1+23+33+…+ N3-1-22-32-…-N2]+1+22+32+..+N2+1+24+34+…+N4-2×13-2×23-2×33-…-2×N3
=(N+1)2(12+22+32+…+N2)-2(N+1)[1+23+33+…+ N3]+s
将s4、S5、S6代回上式得：16s=2[(N-1)4+(N-3)4+(N-5)4+…+1或0]+20(N+1)[ 13+23+33+…+N3] -6(N+1)2(12+22+32+…+N2) .....................................………………………………………………………………………(4)
由(3)+(4)得：
32s=2N4+2[(N-2)4+(N-4)4+(N-6)4+…+1或0]+20N[13+23+33+…+N3]-6N2[12+22+32+…+N2]+ 2[(N-1)4+(N-3)4+(N-5)4+…+0或1]+20(N+1)[ 13+23+33+…+N3] -6(N+1)2(12+22+32+…+N2)
即32s=2[N4+ (N-1)4+(N-2)4+(N-3)4+(N-4)4+(N-6)4+(N-5)4+…+1]+20(2N+1)[ 13+23+33+…+N3] -6(2N2+2N+1)(12+22+32+…+N2)
=2s+20(2N+1)N2(N+1)2/4-(2N2+2N+1)N(N+1)(2N+1)
即30s=5(2N+1)N2(N+1)2/4-(2N2+2N+1)N(N+1)(2N+1)
s= N(N+1)(2N+1)(3N2+3N-1)/30
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