2021届海南省海口市海南中学高三上学期第四次月考数学试题

数学试题卷

满分：150 分 考试时间：120 分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A{(x,y)|xy2}，B(x,y)|yx2，则AB（ ）

A.{(1,1)} B.{(2,4)} C.{(1,1),(2,4)} D.

2. 已知abi(a,bR)是

1i的共轭复数，则ab（ ） 1i11A.1 B. C. D.1

223. 3.设向量a(1,1)，b(1,3)，c(2,1)，且(ab)c，则( )

A.3 B.2 C.2 D.3

4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为

胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，

2an11,n为偶数若a1＝1．且an＝，

2a2,n为奇数n1则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）

第 1 页 共 14 页

A．13 5. 已知B．16 C．31 D．64

,,且3cos28sin50，则tan=（ ） 225255 C. D.  A. B.35236. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a330,S490,设bnlog21an，那么数列3{bn}的前15项和为( )

A．16 B．80 C．120 D． 150

3ln2ln37. 已知a，则（ ） ,blog22,c233

A.acb B.bca C.abc D. cab

8. 对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y=

f(x)为k倍值函数.若f(x)=e+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是( ) A. (e+ ，十∞) B.(e+,十∞) C.(e+2, +∞) D.(e+3, +∞)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（ ） A．MAMBMC C． D． 10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(B．

x

22)的图象关于直线x

4

对称,则( )

A. 函数f(x12)为偶函数

B. 函数f(x)在,上单调递増 123C. 若|f()−f()|=2,则|−|的最小值为

 3试题卷 第 2 页 共 14 页

D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−sin3x的图象 11. 下列说法中正确的是（ ）

A.若数列an前n项和Sn满足Snn21，则an2n1

B.在等差数列an中，满足S10S16，则其前n项和Sn中S13最大

C.在等差数列an中，满足a53，则数列an的前9项和为定值 D.若tanx2，则sin2x4 512. 关于函数f(x)=+ sinx, x∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )

A.f(x)在(0, +∞)上是增函数 B.f(x)存在唯一极小值点 C.f(x)在(-π, +∞)上有一个零点 D.f(x)在(-π, +∞)上有两个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数fx2x1,x0,3x,x0.2若f(x0)＝27，则实数x0的值为 .

14. 若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是 .

15. 已知三边a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m1,3，向量

ncosA,sinA，若mn，且acosBbcosAcsinC，则角B .

{bn}的前n项和，16. 设Sn,Tn分别为等差数列{an}，且

Sn2n1.设点A是直线BC外Tnn1一点，点P是直线BC上一点，且AP_________.

a1a7ABAC，则实数的值为b8四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直

的河岸l，河岸l边有一烟囱不计B离河岸的距离，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为经测量，扇形区

试题卷 第 3 页 共 14 页

域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为 ，，和．

求烟囱AB的高度；

如果要在CE间修一条直路，求CE的长．

18. 设{an}是等差数列，(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)．已

知b1＝1，b3＝b2＋2，b5＝a3＋a5，b7＝a4＋2a6. (1)求Sn与an；

(2)若cnan，求数列cn的前n项和Tn.

19. 已知向量asin3x,3sinx，b＝（sinx，cosx），f（x）＝ab． 22（1）求f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的取值集合M； （2）在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边,若

20. 已知函数f(x)x3aCM，求的取值范围. 24ba2xbx2. 2（1）若函数f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为3x2y10，求a,b的值； （2）当0a2,b0时，记函数f(x)在区间0,1上的最大值为M，最小值为N,求M-N的最大值.

21. 已知Sn是数列an的前n项和，a12，an0且Sn1Sn（1）求数列an的通项公式； （2）设 b1n1an1212an1，其中nN* 22，cn11，Snc1c2c3n(n2)cn(nN*)，记数列bnbn1nSn的前n项和为Tn，求证：Tn

22. 已知f(x)lnx，g(x)3. 8123axx，h(x)f(x)g(x). 22第 4 页 共 14 页

试题卷

（1）当a2时，求h(x)的单调区间；

（2）若h(x)存在两个极值点x1,x2，且x1x2，证明：h(x1)h(x2)(2a)(x1x2).

12

试题卷 第 5 页 共 14 页

海南中学2021届高三第四次月考试题

数学试题卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

第Ⅰ卷

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.设集合A{(x,y)|xy2}，B(x,y)|yx2，则AB（ C ）

A.{(1,1)} B.{(2,4)} C.{(1,1),(2,4)} D.

2.已知abi(a,bR)是

1i的共轭复数，则ab（ D ） 1i11A.1 B. C. D.1

223.设向量a(1,1)，b(1,3)，c(2,1)，且(ab)c，则( A )

A.3 B.2 C.2 D.3

4、九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝2an11,n为偶数，

2a2,n为奇数n1则解下6个环所需的最少移动次数为（ C ）

试题卷 第 6 页 共 14 页

A．13 5、已知B．16 C．31 D．64

,,且3cos28sin50，则tan= （ C ） 225255 C. D.  A. B.35236、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a330,S490,设bnlog2列{bn}的前15项和为( C )

A．16 B．80 C．120 D． 150

1an，那么数33ln2ln37、已知a，则 （ A ） ,blog22,c233A.acb B.bca C.abc D. cab

8.对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y= f(x)为k倍值函数.若f(x)=e+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是( D )

A. (e+ ，十∞) B.(e+,十∞) C.(e+2, +∞) D.(e+3, +∞)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（BC） A．MAMBMC C． D．

B．

x

10.已知函数f(x)=sin(3x+φ) ()的图象关于直线x=对称,则( CD ) A. 函数f(x+)为偶

函数

B. 函数f(x)在[,]上单调递増 C. 若|f()−f()|=2,则|−|的最小值为

试题卷 第 7 页 共 14 页

D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−sin3x的图象 11、下列说法中正确的是：（ CD ）

A.若数列an前n项和Sn满足Snn21，则an2n1

B.在等差数列an中，满足S10S16，则其前n项和Sn中S13最大

C.在等差数列an中，满足a53，则数列an的前9项和为定值 D.若tanx2，则sin2x4 512. 关于函数f(x)=+ sinx, x∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( ABC )

A.f(x)在(0, +∞)上是增函数 B.f(x)存在唯一极小值点 C.f(x)在(-π, +∞)上有一个零点 D.f(x)在(-π, +∞)上有两个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x＋1，x≥0，

13已知函数f(x)＝2且f(x0)＝27，则实数x0的值为 13或-3

3x，x＜0，

14、若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是 8

15、已知三边a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m1,3，向量ncosA,sinA，若mn，且acosBbcosAcsinC，则角B ；

 3{bn}的前n项和，16、设Sn,Tn分别为等差数列{an}，且

Sn2n1.设点A是直线BC外Tnn1一点，点P是直线BC上一点，且AP___.

a1a75ABAC，则实数的值为_______b88四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱不计B离河岸的距离，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区

试题卷

第 8 页 共 14 页

域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为 ，，和． 求烟囱AB的高度；

如果要在CE间修一条直路，求CE的长． 【答案】设AB的高度为在中， 因为，所以． 在中，因为，， 所以，．

由题意得3h3h12解得h63． 3(2) 在中，cosCOB5 6所以在中，CE=43 答： AB的高为63米，CE的长为43米．

18、设{an}是等差数列，(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b5＝a3＋a5，b7＝a4＋2a6. (1)求Sn与an

(2)若cnan，求数列cn的前n项和Tn

[解] (1)设等比数列{bn}的公比为q(q＞0)． 由b1＝1，b3＝b2＋2， 可得q2－q－2＝0. 因为q＞0，可得q＝2，故 1－2nn

所以Sn＝＝2－1.

1－2

an10n32

5n227n,(n3）(2)Tn2

5n27n72,(n4）

试题卷

第 9 页 共 14 页

19. 已知向量asin3x,3sinx，b＝（sinx，cosx），f（x）＝ab． 22（1）求f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的取值集合M； （2）在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边,若

aCM，求的取值范围 24b2353,xxk,kz,【答案】（1）1（2）；3. 122【解析】

（1）acosx3cosx，

1333，fxabsinxcosx3cos2xsin2xcos2xsin2x－222325fx的最大值为13，此时2x2k, 即xk

232125kzMxxk,kz

12（2）

CC5M k，C2k, 2424123C0, C3

asinAbsinBsin(231

B)cosBsinB31322tanBsinBcosB22锐角△ABC中

6B

23

tanB3a23 b320、已知函数f(x)x3a2xbx2 2（1）若函数f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为3x2y10，求a,b的值

（2）当0a2,b0时，记函数f(x)在区间0,1上的最大值为M，最小值为N,求M-N的最大值。

试题卷

第 10 页 共 14 页

a1（1）1

b2（2）当b0时，f(x)3x2axx(3xa)

a20a2,1

33af(x)0,0x;3

af(x)0,x13aaf(x)在0,是单调减，f(x)在,1是单调增

33aa3Nf()2

354f(0)f(1) Mf(1)3a 2aa3MN1

254aa3 令g(a)1254a29g(a)0,(0a2)

18g(a)在0,2上是减函数

g(a)最大值为g(0)1，即M-N的最大值为1

21. 已知Sn是数列an的前n项和，a12，an0且Sn1Sn（1）求数列an的通项公式； （2）设 b1n1an1212an1，其中nN* 22， cn11，Snc1c2c3n(n2)cn(nN*)

bnbn13记数列 的前n项和为Tn，求证Tn。

8nSn试题卷 第 11 页 共 14 页

22Sn1an12Sn【详解】（1）当n2时，有 22Sa2Sn1nn两式相减可得：an1an2an1an 因为an0，所以an1an2 n2

2当n1时，由2S2a22S1，可得a24，所以a2a12

22所以an1an2nN*

则数列an是以a12为首项，2为公差的等差数列. 所以an2n

1（2）bn=2设cn1n1

1(n1)(n1)，则：

n(n2)n(n2)Snc1c2cn

(n1)(n1)2(n1)

n(n2)n222331324， bnbn1n211nSnn(n1)2n1n2n(n1)2n11111Tn()()122312222232 112(n1)2n1， 11()n2n(n1)2n1Tn是递增数列，所以TnT1，即Tn

22、已知f(x)lnx，g(x)3 8123axx，h(x)f(x)g(x) 22（3）当a2时，求h(x)的单调区间

（4）若h(x)存在两个极值点x1,x2，且x1x2，证明h(x1)h(x2)(2a)(x1x2)

12解析：（1）当a2时，h(x)lnxxx试题卷

23 2第 12 页 共 14 页

h(x)(2x1)(x1)

x11；h(x)0得x 22h(x)0得0x11h(x)的增区间为0,，减区间为,

22ax2x1 （1）h(x)xh(x)存在两个极值点x1,x2，即x1,x2是ax2x10的两根

1xx12a 1xx12a要证x1x2，证明h(x1)h(x2)(2a)(x1x2)

12即证(lnx1123131ax1x1)(lnx2ax22x2)(2a)(x1x2) 22222即证lnx111a(x12x22)(x1x2)(2a)(x1x2) x222x1111(x12x22)(x1x2)(2a)(x1x2) x22x1x22x12a(x1x2) x2x1xx212 x2x1x2即证ln即证ln即证lnx11x1x22 即证lnx1x21x2令

x1t，(0t1)，则lnt2t1 x2t1试题卷

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令F(t)lnt2t1 t1t21F(t)0F(t)在(0,1)是增函数

t(t1)F(t)F(1),F(t)0 lnt2

t1成立，所以原不等式成立。 t1试题卷 第 14 页 共 14 页