类型1 面积问题
1.课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积最大值约为1.05 m.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6 m，利用图3，解答下列问题：
(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明. 图1 图2 图3 1
6－1－1－1－25
解：(1)由已知可得：AD＝＝，
24552
则S＝1×＝(m).
44
7
(2)设AB＝x m，则AD＝(3－x)m.
4712∵3－x＞0，∴0＜x＜.
47
7727629设窗户面积为S，由已知得：S＝AB·AD＝x(3－x)＝－x＋3x＝－(x－)＋.
44477712
∵－＜0，0＜x＜，
4769
∴当x＝时，S最大＝＞1.05.
77
∴与课本中的例题比较，改变窗户形状后窗户透光面积的最大值变大. 类型2 利润问题
2.(2019·达州)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同. (1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？ 解：(1)设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意，得 1.5x×0.9×8－8x＝(1.5x－100)×7－7x，
2
解得x＝1 000.
1.5×1 000＝1 500(元).
答：进价为1 000元，标价为1 500元.
(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意，得 a
w＝(51＋×3)(1 500－1 000－a).
2032
＝－(a－80)＋26 460.
203
∵－＜0，
20
∴当a＝80时，w最大＝26 460.
答：该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26 460元.
3.(2019·黄石)小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出了如下规律：
①该蔬菜的销售价P(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足关系：P＝9－x；
②该蔬菜的平均成本y(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足二次函数关系y＝ax＋bx＋10，已知4月份的平均成本为2元/千克，6月份的平均成本为1元/千克. (1)求该二次函数的表达式；
(2)请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在几月份的平均利润L(单位：元/千克)最大？最大平均利润是多少(注：平均利润＝销售价－平均成本)?
x＝4，x＝6，2
解：(1)将和代入y＝ax＋bx＋10，得
y＝2y＝1
2
a＝，16a＋4b＋10＝2，
解得4 36a＋6b＋10＝1.
b＝－3.
12
∴y＝x－3x＋10.
4
1212
(2)根据题意知：L＝P－y＝9－x－(x－3x＋10)＝－(x－4)＋3，
44∴当x＝4时，L取得最大值，最大值为3.
答：4月份的平均利润L最大，最大平均利润是3元/千克. 类型3 实物抛物线问题
4.为备战2019年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光.如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方
1
1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围)；
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明；
(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少(排球压线属于没出界)?
解：(1)设抛物线表达式为y＝a(x－7)＋3.2， 将点C(0，1.8)代入，得49a＋3.2＝1.8， 1
解得a＝－. 351162
∴y＝－(x－7)＋.
355
1162
(2)当x＝9.5时，y＝－×(9.5－7)＋≈3.02＜3.1.
355故这次她可以拦网成功.
(3)设抛物线的表达式为y＝a(x－7)＋h. 将点C(0，1.8)代入，得49a＋h＝1.8， 1.8－h
即a＝. 49
1.8－h2
∴此时抛物线的表达式为y＝(x－7)＋h.
494（1.8－h）49＋h＞2.43，
根据题意，得
121（1.8－h）
＋h≤0.49解得h≥3.025.
即h的取值范围是h≥3.025. 类型4 其他问题
5.(2019·成都)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：
2
2
地铁站 x(千米) y1(分钟) (1)求y1关于x的函数表达式；
A 8 18 B 9 20 C 10 22 D 11.5 25 E 13 28 12
(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用y2＝x－11x＋78来描述，请问：
2李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间. 解：(1)设y1＝kx＋b.
将(8，18)，(9，20)代入y1＝kx＋b，得
8k＋b＝18，k＝2，解得 9k＋b＝20.b＝2.
故y1关于x的函数表达式为y1＝2x＋2. (2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则
121212
y＝y1＋y2＝2x＋2＋x－11x＋78＝x－9x＋80＝(x－9)＋39.5.
2221
∵>0， 2
∴当x＝9时，y有最小值，最小值为y＝39.5.
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟.
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容