高中数学三角函数专项训练(含答案)

一、填空题

1111．已知函数fxsinxsinx定义域为m,nmn，值域为,，则nm3424的最小值是________． 2．方程

12sinx0，x[m2,m4]（mZ）的所有根的和等于2024，则满足条1x件的整数m的值是________

3．已知函数f(x)在R上可导，对任意x都有f(x)f(x)2sinx，当x0时，π2πf(x)1，若f(t)ft3cost，则实数t的取值范围为_________

334．在ABC中，AB7，BC23，cosBACBDC1，动点D在ABC所在平面内且72π．给出下列三个结论：①△BCD的面积有最大值，且最大值为3；②线段38π．其中正3AD的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D的轨迹的长度为

确结论的序号为______．

x3sinx2a05．若x,y,，aR，且3，则cosx2y______（提示：

444ysinycosya0ysinx在x,上严格增函数） 226．已知O为△ABC外接圆的圆心，D为BC边的中点，且BC4，AOAD6，则△ABC面积的最大值为___________.

7．已知平面四边形ABCD的面积为36，AB4，AD3，BC5，CD6，则

cos(AC)___________.

8．若向量x，y满足xy，则x221221|xy|的最大值是___________. 29．已知|OA||OB||OC|1,OAOB0,|OP|1，则APBPBPCPCPAP的最大值为__________．

10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx2与x轴，y轴分别交于M，N两点，点

22P在圆(xa)y2上运动.若MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是________.

二、单选题

11．已知函数fxsinxcosxsinxcosx0，则下列结论错误的是（ ）

①1时，函数fx图象关于x对称；②函数fx的最小值为-2；③若函数fx在π,0上单调递增，则0，3；④x1，x2为两个不相等的实数，若fx1fx244π4且x1x2的最小值为π，则2. A．②③

B．②④

C．①③④

D．②③④

12．已知函数f(x)|sinx|(0)在区间,上单调递减，则实数的取值范围为

53（ ） 5A．,3

23B．0,

28C．,3

35D．0,

413．已知函数f(x)sinx(0)在区间[0,]上有且仅有4条对称轴，给出下列四个

4结论：

①f(x)在区间(0,)上有且仅有3个不同的零点； ②f(x)的最小正周期可能是

1317； 2③的取值范围是，；

44④f(x)在区间0,上单调递增． 15其中所有正确结论的序号是（ ） A．①④

B．②③

C．②④

D．②③④

14．若函数fx同时满足：①定义域内任意实数x，都有f1xf1x0；②对于定义域内任意x1，x2，当x1x2时，恒有x1x2fx1fx20；则称函数fx为“DM函数”.若“DM函数”满足f2sinfcos0，则锐角的取值范围为（ ） A．0,

4C．,

43B．0, 32D．,

4315．已知函数fxsin2x2cosx，下列说法错误的是（ ） A．函数fx是周期函数 B．x

6

是函数fx图象的一条对称轴

7kZ C．函数fx的增区间为2k,2k6633D．函数fx的最大值为 22ACABABAOACAO2mAO16．已知O是三角形ABC的外心，若，且ABACsinBsinC3，则实数m的最大值为（ ）

A．3

3B．

57C．

53D．

217．在ABC中，E,F分别是AC,AB的中点，且3AB2AC，若小值为（ ） 3A．

47B．

8BEt恒成立，则t的最CF5D．

4C．1

18．已知函数fxlog39x1x1，下列说法正确的是（ ）

A．fx既不是奇函数也不是偶函数 B．fx的图象与ysinx有无数个交点 C．fx的图象与y2只有一个交点 D．f2f1

19．已知直线yx1上有两点A(a1,b1),B(a2,b2)，且a1a2.已知a1,b1,a2,b2满足

222|a1a2b1b2|a12b12a2b2，若|AB|23，则这样的点A个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

sinxsinxa2a,x[1,1]20．已知函数f(x)2若关于x的不等式f(x)0对任意

x2ax2a,x(1,)x[1,)恒成立，则实数a的范围是（ ）

A．[0,2]

B．(,0][2,)

C．(,0][1,2]

D．[0,1][2,)

三、解答题

21．已知l1，l2，l3是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.

（1）如图1，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，求这个正三角形ABC的边长.

（2）如图2，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，l3上，如果能放，求BC和l3夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.

（3）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，设l1与l2间的距离为d1，l2与l3间的距离为d2，求d1d2的取值范围.

22．如图，一幅壁画的最高点A处离地面4米，最低点B处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C处观赏它.

（1）若C对墙的投影（即过C作AB的垂线垂足为投影）恰在线段AB（包括端点）上，求点C离墙的水平距离的范围；

（2）在（1）的条件下，当点C离墙的水平距离为多少时，视角（ACB）最大？ 23．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P在边BC上，点Q在边CD上，记PAB．

（1）当PAQ4时，求花卉种植面积S关于的函数表达式，并求S的最小值；

（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PBDQPQ，请探究PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

24．已知函数 f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R． （1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f（x）的最大值；

（3）当a＝1时，若函数 f（x）在区间（0，kπ）（k∈N*）上恰有2015个零点，求k的值．

25．如图，在ABC中，ABC90,AB3,BC1，P为ABC内一点，BPC90.

（1）若PC3，求PA； 2（2）若APB120，求ABP的面积S.

926．已知向量a(sinx,1),b(sinx,cosx)， 设函数f(x)ab,x0,．

82（Ⅰ）求fx的值域

（Ⅱ）设函数fx的图像向左平移

个单位长度后得到函数h(x)的图像，若不等式2f(x)hxsin2xm0有解，求实数m的取值范围．

27．已知函数fxsinxcosx2sin2x (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调增区间； (3)若x0,求函数的值域．

2228．已知函数fx2cosx3sinxcosx1．



（1）求函数fx在区间0,上的最小值；

2

82（2）若fx，x,，求cos2x的值；

53（3）若函数yfx0在区间,上是单调递增函数，求正数的取值范围．

62xx29．设向量a=（2sincos，3sinx），b=（cosx，sinx），x∈[-，]，函数f（x）

2263=2a•b．

（1）若|a|=2|b|，求x的值；

（2）若-23≤f（x）-m≤3恒成立，求m的取值范围． 30．已知函数f(x)2cos2x23sinxcosx. （Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若f(x)在区间,m上的值域为0,3，求m的取值范围.

6

【参考答案】

一、填空题

1．

2．1008或1009

π633．，

4．①③

5．1

6．42 7．

7##0.7 10233 82 8．9．5+310．a71或a4

二、单选题 11．B 12．A 13．B 14．A 15．B 16．D 17．B 18．C 19．D 20．C 三、解答题

21．（1）2 ；（2）能放，tan【解析】 【分析】

（1）根据A,C到直线l2的距离相等，可得l2过AC的中点M，l2AC，从而求得边长AC2AM的值.

3221；（3）0,1 ,边长为32（2）假设能放，设边长为a，BC与l3的夹角，不妨设060，可得asin2，

asin601，两式相比化简可得sin3，由此能求出a的值，从而得出结论. 7 （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简d1d24sin60sin为2sin2301，再根据正弦函数的定义和值域求出d1d2的取值范围. 【详解】 （1）

A,C到直线l2的距离相等，

l2过AC的中点M，

l2AC， 边长AC2AM2

（2）假设能放，设边长为a，BC与l3的夹角， 由对称性，不妨设060， asin2，asin601，

两式相比可得：sin2sin60，

即sin3cossin，

2sin3cos，tan33，sin，

72故边长

a22213， 37综上可得，能放.

31dd4sin60sin4cossin（3）122sin 231cos22sin2222sin2301. 1sin2301， 2060，30230150，

所以02sin23011， 又d10，d20，所以d1d20,1. 【点睛】

本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.

22．（1）点C离墙的水平距离的范围为：1m~5m；（2）当点C离墙的水平距离为1m时，视角（ACB）最大. 【解析】 【分析】

（1）如图所示：设BFx(0x2),CFy，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；

（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】

（1）如图所示：设BFx(0x2),CFy，显然有tanFGDtanFG1，因此有 2CECG1.52(2x)yDF2(2x)，由GE//DF,可得：，化简得：DFGF2x2(2x)tanFGDy2x1，因为0x2，所以1y5，即点C离墙的水平距离的范围为：

1m~5m；

（2）

x2xtanBCFtanACF2yyytantan(BCFACF)2,

1tanBCFtanACF1x2xy2xx2yy因为y2x1，所以有xtany1，代入上式化简得： 22y2y8y22xx2y22y1(y1)25y56，

22y因为1y5，所以有5y555625y64（当且仅当5y时取等号，即y1yyy时，取等号），因此有0tan2，因此当点C离墙的水平距离为1m时，视角（ACB）最大. 【点睛】

本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力. 23．（1）

S花卉种植面积21，0,]；最小值为10000sin24242500021 （2）

PAQ是定值，且PAQ4．

【解析】 【分析】

（1）根据三角函数定义及PAQ表示出S花卉种植面积，

（2）设PAB，QAD，CPx，CQy，利用正切的和角公式求得tan，由PBDQPQ求得x,y的等量关系.进而求得tan的值，即可求得PAQ的值. 【详解】

4，表示出PB,DQ，进而求得SABP,SADQ.即可用（1）∵边长为1百米的正方形ABCD中，PAB，PAQ4，

∴PB100tan，DQ100tan100tan，

424∴S花卉种植面积SABPSADQ 11ABBPADDQ 2211100100tan100100tan 2245000cossincos21，其中0, sin242425000∴当sin21时，

4即时，S取得最小值为8500010000212221．

（2）设PAB，QAD，CPx，CQy， 则BP100x，DQ100y， 在ABP中，tan∴tan100x100y，在ADQ中，tan， 10010020000100xytantan，

1tantan100xyxyxy， 200∵PBDQPQ，

∴100x100yx2y2，整理可得xy100xy2000010010010000200∴tanxy10000100100xy200xy21， xy2∴4，

∴PAQ是定值，且PAQ【点睛】

4．

本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题.

24．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k＝1008． 【解析】

（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；

2（2）令t1sin2x，t∈[1，2]，则当x0,时，fxtatt，

22当x,时，fxvttat2，易知tvt，分类比较v1、v22的大小

即可得解；

（3）转化条件得当且仅当sin2x＝0时，f（x）＝0，则x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】

（1）函数 f（x）的最小正周期为π． （2）∵f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1 ＝a1sin2xsin2x﹣1＝a1sin2x（sin2x+1）， 令t1sin2x，t∈[1，2]，

2当x0,时，fxtatt1t2，

22当x,时，fxvttat21t2，

2222∵tvtatttat22t20即tvt.

∴fxmaxvtmaxmaxv1,v∵v1a1，v2，

22a，

∴当a12时，fx最大值为a1；当a12，fx最大值为2a. （3）当a＝1时，f（x）1sin2xsin2x1，

2若f（x）＝0，则1sin2xsin2x1即sin2xsin2x2sin2x，

∴当且仅当sin2x＝0时，f（x）＝0，

∴x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为∴2015＝2×1007+1， ∴k＝1008． 【点睛】

本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题. 25．（1）【解析】 【分析】

22（1）求出BPBCPC，π， 2733. ；（2）2141，CBP,ABP，ABP中由余弦定理即可求得236PA；

ABPB3（2）设PBA，利用正弦定理表示出，求得tan，利用

sin120sin602面积公式即可得解.

【详解】

（1）在ABC中，ABC90,AB3,BC1，AC2

P为ABC内一点，BPC90，PC1322，所以BPBCPC，

22BP2BC2PC21CBP中，由余弦定理得：cosCBP

2BPBC2所以CBP3,ABP6

ABP中，由余弦定理得：APAB2BP22ABBPcosPBA 1137； 3234222（2）APB120，设PBA0,,PBC90,PAB60，

2在RtPBC中，PBBCsinsin， 在PBA中，由正弦定理即2ABPB，

sin120sin60

sin，，

sin60sin3cossin

所以tan333,PB，sin 277113333. ABPBsin3227714ABP的面积S【点睛】

此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数关系的使用，综合性较强.

11926．（Ⅰ）,（Ⅱ）,

488【解析】

（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数fx的解析式，化成二次函数型函数，求得值域；

（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得hx的解析式，要使f(x)hxsin2xm0在x0,有解，即不等式mfxhxsin2x在x0,有解，令

22yfxhxsin2x求出函数的最小值，即可得实数m的取值范围．

【详解】 解：（1）

fxsin2xcosx29911cos2xcosxcos2xcosx 88811fxcosx，

28 x0,

20cosx1

11fx 881fx的值域为,81 812（2）函数fxcosxcosx的图像向左平移个单位长度后得到函数hx的图

82像，

11hxcos2xcosxsin2xsinx，

2288依题意，不等式mfxhxsin2x在x0,有解，

25设yfxhxsin2xcosxsinxsin2x

45y2sinxcosxcosxsinx,x0,，

42令tcosxsinx2cosx,422x0,t1,1， 211则yttt,t1,1

42函数yfxhxsin2x的值域为,0.

499 mymin

49故实数m的取值范围为,.

4【点睛】

本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题. 327．（1）；（2）[k，k],kZ；（3）[1,2].

88【解析】 【分析】

（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式2k22x42k2,kZ，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数

的值域. 【详解】

（1）由题得f(x)1sin2x21cos2xsin2xcos2x2sin(2x)， 24所以函数的最小正周期为（2）令2k2=. 222x42k2,kZ,

3所以kxk,kZ,

883所以函数的单调增区间为[k，k],kZ.

88（3）0x2,02x,42x45, 42sin(2x)1,12sin(2x)2， 244所以函数的值域为[1,2]. 【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 28．（I）1；（II）【解析】 【分析】

1334；（III）0,

310将fx整理为2sin2x；（I）利用x的范围求得2x的范围，结合sinx的图象可

668求得最值；（II）利用fx可求得sin2x；结合角的范围和同角三角函数关系可

65求得cos2x；根据cos2xcos2x，利用两角和差余弦公式可求得结果；

666（III）利用x的范围求得2x6的范围，从而根据sinx单调递增区间构造出关于的不等

式组，解不等式组再结合0即可得到结果. 【详解】

fx23sinxcosx2cos2x13sin2xcos2x2sin2x

67（I）x0, 2x,

26662sin2x1,2

6

fx在区间0,上的最小值为：1

2

84（II）由题意得：2sin2x sin2x

656531332x, 2x,cos2x  362665cos2xcos2xcos2xcossin2xsin

6666663341334 525210（III）fx2sin2x

6x,时，2x,

63666212k2k623，kZ ，kZ，解得：2k6k26230，可知当k0时满足题意，即0

的取值范围为：0,131 3【点睛】

本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为Asinx的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.

π29．（1）x；（2）3,332.

4【解析】 【分析】

（1）根据|a|2|b|，利用化简函数化简解得x的值； （2根据f（x）＝2a•b．结合向量的坐标运算，根据x∈[23f（x）﹣m3恒成立，可得m的取值范围． 【详解】

解：（1）由|a|=2|b|， 可得a22b2； 即4sin2x=2（cos2x+sin2x） 即sin2x=∴sinx=∵x∈[-1； 22； 26，

]，求解范围，）﹣3，]， 63∴x=

 4（2）由函数f（x）=2a•b=2sin2x+23sin2x

11=sin2x+23（cos2x）=sin2x3cos2x+3=2sin（2x-）3 223，]， 632∴2x-∈[-，]， 333则32≤2sin（2x-）3≤23；

3∵x∈[-要使-23≤f（x）-m≤3恒成立， m2332则 3m23解得：3m332

故得m的取值范围是[3，332]． 【点睛】

本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．

30．(Ⅰ) k,kkZ,(Ⅱ) m

3662【解析】 【分析】

（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数fxπ(Ⅱ) 化为2sin2x1，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数fx的递增区间; 6πππ11，要使得fx在,m上的值域为0,3，即sin2x在,m上的值域为，63627可得 2m，从而可得结果.

266【详解】

2（Ⅰ）fx2cosx23sinxcosx

πcos2x3sin2x12sin2x1，

6由2k22x62k2kZ,得k3xk6kZ,

所以，fx的单调递增区间是k,kkZ,

36π（Ⅱ）由（Ⅰ）知fx2sin2x1.

6ππ因为x,m，所以2x,2m.

6666πππ11. 要使得fx在,m上的值域为0,3，即sin2x在,m上的值域为，6362所以

22m67，即m. 662【点睛】

本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数yAsin(x)的单调区间的求法：若A0,0,把x看作是一个整体，由22kx32kkZ求得函数的减区间，222kx22k求得增区间.