鹿泉区一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知定义在R上的可导函数y=f′x）（x）是偶函数，且满足xf（＜0，的x的范围为（ ）

A．（﹣∞，）∪（2，+∞） B．（，1）∪（1，2） C．（，1）∪（2，+∞） D．+∞） ∪（0，）（2，

2． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ） A．10米 3． 点A是椭圆

B．100米

C．30米

D．20米

=0，则满足

上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

4． 已知两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a等于（ ） A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3 5． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在

D．﹣1或﹣3

1x2,x1,31x的零点个数为（ ） 6． 若函数f(x)则函数yf(x)32lnx,x1,A．1 B．2 C．3 D．4 7． “

”是“A=30°”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也必要条件

8． 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x3)f(x)，对x1,x2[0,3]且x1x2，都有

f(x1)f(x2)0，则有（ ）

x1x2A．f(49)f(64)f(81) B．f(49)f(81)f(64) C. f(64)f(49)f(81) D．f(64)f(81)f(49) 9． 执行右面的程序框图，如果输入的t[1,1]，则输出的S属于（ ） A.[0,e2] B. (-?,e2] C.[0,5] D.[e3,5]

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【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 10．设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（ ）

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3

11．已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A．

B．

C．

D．

12．已知函数f（x）=ax+b（a＞0且a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣或﹣

13．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

14．若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）

A．f（x）为奇函数 B．f（x）为偶函数 C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数

15．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． 2 B．4 C．

48 D． 33第 2 页，共 18 页

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.

二、填空题

16．（lg2）2+lg2•lg5+

的值为 ．

17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为 ． 18．长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与棱CB、CD、CC1所成角分别为、、， 则sinsinsin ． 19．log3

+lg25+lg4﹣7

0

﹣（﹣9.8）= ．

222三、解答题

20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立

x24t平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.

y3t（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程； （2）求曲线C上任意一点到直线的距离的最大值.

21．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=

，M为BC的中点．

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（Ⅰ）证明：AM⊥PM； （Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．

22．（本小题满分12分） 在等比数列an中，a3（1）求数列an的通项公式； （2）设bnlog2

39,S3． 221，求证：c1c2c3bnbn16a2n1，且bn为递增数列，若cncn1． 423．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ksin B＝sin A＋sin C（k为正常数），a＝4c.

5

（1）当k＝时，求cos B；

4

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（2）若△ABC面积为3，B＝60°，求k的值．

24．已知函数f（x）=e﹣x（x2+ax）在点（0，f（0））处的切线斜率为2． （Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）设g（x）=﹣x（x﹣t﹣）（t∈R），若g（x）≥f（x）对x∈[0，1]恒成立，求t的取值范围； （Ⅲ）已知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+）an， 求证：当n≥2，n∈N时 f（

25．已知函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．

（Ⅰ）若直线l：y=k1x是函数y=f（﹣x）的图象的切线，直线m：y=k2x是函数y=g（x）图象的切线，求证：l⊥m；

（Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，P=g（大小，并说明理由．

），Q=

，R=

，试比较P，Q，R的

）+f（

）+L+f（

）＜n•（

）（e为自然对数的底数，e≈2.71828）．

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鹿泉区一中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：当x＞0时，由xf′（x）＜0，得f′（x）＜0，即此时函数单调递减， ∵函数f（x）是偶函数， ∴不等式即|

|＞，即

等价为f（|＞或

|）＜＜﹣，

，

解得0＜x＜或x＞2，

故x的取值范围是（0，）∪（2，+∞） 故选：D

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．

2． 【答案】C 【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，

设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BD Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米 Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=在△BCD中，BC=30米，BD=30由余弦定理可得：

AB=30

米

米，∠CBD=30°，

CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30米（负值舍去） 故选：C

【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．

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3． 【答案】B

【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则 S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r， ∵

∴|AF1|r=2

×|F1F2|r﹣|AF2|r，

|F1F2|．∴a=2=

．

， ，

整理，得|AF1|+|AF2|=2∴椭圆的离心率e==故选：B．

4． 【答案】A

【解析】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行， 所以=

≠

，

解得 a=﹣3，或a=1． 故选：A．

5． 【答案】C

【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论． 【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ， 则tanθ=﹣2， 则θ为钝角． 故选：C． 6． 【答案】D 【

解

析

】

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考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

7． 【答案】B 【解析】解：“A=30°”⇒“故选B

【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．

8． 【答案】A 【解析】

”，反之不成立．

考

点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111] 9． 【答案】B

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10．【答案】A

【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是， x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件， x＞3是x＞2的充分条件，

x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件， 故选：A

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

11．【答案】D 【解析】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为

，

画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度， ∴△A′B′C′的高为∴△A′B′C′的面积S=故选D．

=

， =

．

【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

12．【答案】B

【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解； 当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）=解得a=，b=﹣2； 所以a+b=故选：B

13．【答案】A

【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，

取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，

故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=

．

=﹣；

=0，f（0）=1+b=﹣1，

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故选：A．

【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．

14．【答案】C

【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有 f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1， ∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1

∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1， ∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]， ∴f（x）+1为奇函数． 故选C

【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

15．【答案】B

二、填空题

16．【答案】 1 ．

2

【解析】解：（lg2）+lg2•lg5+

=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，

故答案为：1．

17．【答案】（0,1）

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【解析】

考点：本题考查函数的单调性与导数的关系 18．【答案】 【解析】

试题分析：以AC1为斜边构成直角三角形：AC1D,AC1B,AC1A1，由长方体的对角线定理可得：

2BC12DC12AC2(AB2AD2AA12)11sinsinsin2. 2222AC1AC1AC1AC1222

考点：直线与直线所成的角．

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键． 19．【答案】

【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=， 故选：

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

．

三、解答题

20．【答案】（1）参数方程为【解析】

试题分析：（1）先将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标系下的方程,可得(x1)y1,利用圆的参数方

22x1cos14，3x4y60；（2）.

5ysin程写出结果,将直线的参数方程消去参数变为直线的普通方程；（2）利用参数方程写出曲线C上任一点坐标,

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用点到直线的距离公式,将其转化为关于的式子,利用三角函数性质可得距离最值. 试题解析：

（1）曲线C的普通方程为2cos，∴xy2x0，

222x1cos∴(x1)y1，所以参数方程为，

ysin直线的普通方程为3x4y60.

（2）曲线C上任意一点(1cos,sin)到直线的距离为

33cos4sin65sin()91414d，所以曲线C上任意一点到直线的距离的最大值为.

555522考点：1.极坐标方程；2.参数方程. 21．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA ∵△PCD为正三角形

∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=∵平面PCD⊥平面ABCD ∴PE⊥平面ABCD ∵四边形ABCD是矩形

∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形 由勾股定理得EM=

，AM=

，AE=3

222

∴EM+AM=AE，∴∠AME=90° ∴AM⊥PM

（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则VP﹣ADM=VD﹣PAM

∴而

在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=∴∴∴

，即点D到平面PAM的距离为

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3122．【答案】（1）an或an622【解析】

n1；（2）证明见解析.

3931试题分析：（1）将a3,S3化为a1,q，联立方程组，求出a1,q，可得an或an62222n1；（2）

1由于bn为递增数列，所以取an62111. 其前项和为44n14n1，化简得bn2n，cn11111，

bnbn14nn14nn1第 14 页，共 18 页

考点：数列与裂项求和法．1 23．【答案】

55

【解析】解：（1）∵sin B＝sin A＋sin C，由正弦定理得b＝a＋c，

44

5

又a＝4c，∴b＝5c，即b＝4c，

4a2＋c2－b2（4c）2＋c2－（4c）21

由余弦定理得cos B＝＝＝. 2ac82×4c·c（2）∵S△ABC＝3，B＝60°.

1

∴acsin B＝3.即ac＝4. 2

又a＝4c，∴a＝4，c＝1.

1

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝42＋12－2×4×1×＝13.

2∴b＝13，

∵ksin B＝sin A＋sin C，

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a＋c5513

由正弦定理得k＝＝＝，

b1313

513

即k的值为.

1324．【答案】

x2

【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=e﹣（x+ax），

x2xx2

∴f′（x）=﹣e﹣（x+ax）+e﹣（2x+a）=﹣e﹣（x+ax﹣2x﹣a）；

则由题意得f′（0）=﹣（﹣a）=2， 故a=2．

x2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e﹣（x+2x），

由g（x）≥f（x）得，

x2

﹣x（x﹣t﹣）≥e﹣（x+2x），x∈[0，1]；

当x=0时，该不等式成立；

x

当x∈（0，1]时，不等式﹣x+t+≥e﹣（x+2）在（0，1]上恒成立， x

即t≥[e﹣（x+2）+x﹣]max．

x

设h（x）=e﹣（x+2）+x﹣，x∈（0，1]，

h′（x）=﹣e﹣x（x+1）+1， h″（x）=x•e﹣x＞0，

∴h′（x）在（0，1]单调递增， ∴h′（x）＞h′（0）=0， ∴h（x）在（0，1]单调递增， ∴h（x）max=h（1）=1， ∴t≥1．

（Ⅲ）证明：∵an+1=（1+）an， ∴

=

，又a1=1，

•…•

=1••…•

=n；

∴n≥2时，an=a1•对n=1也成立， ∴an=n．

∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣（x﹣2）＞0，

x

2

∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．

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又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积， ∴f（）＜∴ [f（＜

）+f（

f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N）， ）+…+f（

）]= [f（）+f（）+…+f（

）]

f（x）dx．

2

又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x+（1+）x，

∴f（x）dx≤g（x）dx=+，

， ）．

∴ [f（）+f（）+…+f（∴f（

）+f（

）+…+f（

）]＜+）＜n（+

【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．

25．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．

x

∴g（x）=e．，f（﹣x）=ln（﹣x），

x

则函数的导数g′（x）=e，f′（x）=，（x＜0），

设直线m与g（x）相切与点（x1，则切线斜率k2=

=

），

，则x1=1，k2=e，

=

，则x2=﹣e，k1=﹣，

设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1=故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m． （Ⅱ）不妨设a＞b， ∵P﹣R=g（

）﹣

=

﹣

=﹣

＜0，∴P＜R，

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∵P﹣Q=g（）﹣=﹣

==，

xxxx

令φ（x）=2x﹣e+e﹣，则φ′（x）=2﹣e﹣e﹣＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，

故φ（x）＜φ（0）=0， 取x=

，则a﹣b﹣

⇔

令t（x）=﹣1+则t′（x）=﹣

，

=

≥0，

+

＜0，∴P＜Q， =

=1﹣

则t（x）在（0，+∞）上单调递增， 故t（x）＞t（0）=0， 取x=a﹣b，则∴R＞Q， 综上，P＜Q＜R，

【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．

﹣1+

＞0，

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