全等三角形的经典模型（一）
三角形
三角形7级
三角形8级
呀 秋季班第二讲 秋季班第三讲 9级 C 全等三角形的经
典模型（兰
呀秋季班第四讲 作弊？
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全等三角形的经典模型（一）
---------------- ［三垂直模型〕
等腰直角三角形数学模型思路：
⑴利用特殊边特殊角证题（ZIC=EC或90°, 45。，45° ） •如图1 ; ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2 ; ⑶补全为正方形•如图3 , 4.
图1 图2
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全等三角形的经典模型（一）
【例1】 已知：如图所示，RtΔ,lδC中，肿三JC, ZBAC = 90%。为EC的中点,
⑴写出点O到△肿C的三个顶点2、B、C的距离的关系（不要 求证明） ⑵如果点M、N分别在线段AC. .15 ±移动，且在移动中保持 JAJeM•试判断AO的形状，并证明你的结论.
⑶如果点M、N分别在线段CA. AB的延长线上移动，且在移动中 保持
JAJG\试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明.
OA=OC ZBAO = ZC = 45° AN=CM 二 ANO 二匚 CMo ON=OM
【解析】二OA=OB=OC
二连接ZNOA = AMOC
Od ZMM + ZfiON = ZMOC + ZBON = 90°
ZNOM=90Q
二OMN是等腰直角三角形 二二ONM依然为等腰直角三角形， 证明：匚二5/090。J .4B=AC J 0 为 Ee 中点
ZΣBAO=ΣOAC=3ABC=ΣACB=45o I
ZAo=Bo=OC I
二在二：!ATo 和 JCMO 中， 'AN = CM < ZBAo = ZC AO = CO
ZZ^rOZ ZCMo(SAS )
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ZON=OMi ΣAON=ΣCOM, 又匚二COM- ΣAOM=90o , 二二OMN为等腰直角三角形・
【例2】两个全等的含30 , 60角的三角板APE和三角板ABC,如 图所示放
置，E,AC三点在一条直线上，连接3D,取BD的 中点M,连接ME. MC・试判断AEMC的形状，并说明理由. 【解析】AEMC是等腰直角三角形. 证明：连接AΛ∕ .由题意，得
Df = ACZDAZf +ZBAC = 90 ,ZDAβ = 90 ・ .∙.Λ∩AB为等腰直角
三角形. ZDM=MB J
ZMA = MB = DM, AMDA = ZMA ZJ = 45 ・
Z Z∕WDE = ZMAC = 105 I Z AEDM J ACAM ・
二 EM=MC.ZDME = ZAMC ・
又 ZEMC = ZEMA + ZAMC = ZEMA + ZDME = 90 ・ 二 CMlEM I 二AEMC是等腰直角三角形・
【例3】已知：如图，ZXABC中，AB = AC . ZBAC = 90∖ D是AC的中
点，AF丄BD于E,交BC于F ,连接DF. 求证：ZADB = ZCDF ・ 【解析】证法一：如图，过点A作/W丄BC于N I交BD于M・
VzAB = AC I ZfiAC = 90° , Λ Z3 = ZZMM =45° ・ VZC = 45o , Λ Z3 = ZC ・ V AF 丄 BD , .∖ Zl + ZBAE = 90o V ZfiAC = 90° , ΛZ2 + ZBAE = 90O ・ .∖ Zl = Z2 ・
在 Z∖ABM 和 ΔC4F 中，
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Z1 = Z2 < AB = AC Z3 = ZC »
/.
^∕∖CAF ・∙∙∙AM =CF ・
在ΛADM和ACDF中， AD = CD V ZDAM = ZC AM = CF
∙∙∙ ΔADM ^ACDF ・ :∙ ZADB = ZCDF ・
证法二：如图，作CM丄AC交AF的延长线于M・ 二 AF 丄\"D J CZ3 + Z2 = 90o ,
ZZβAC = 90o f ΞZ1 + Z2 = 9O° I ZZl = Z3 ・
在AACM和ABAD中J
Zl = 23
AC = AB
M
ZACM=ZBAD = 90°
二 ∆ACM ^ΛBAD ・
ZZM=ZAPB , AD = CM
ZAD = DC J LCM=CD ・ 在AGWF和ACDF中, CF = CF
< ZMCF = ZDCF = 45°
CM=CD
»
二 MMF 些 MDF ・ DWCDF 二 ZADB = ZCDF ・
【例4】如图，等腰直角Z∖ABC中，AC = BC,ZACB = 90° . P为ZVWC内部一
点，满足
PB = PC, AP = AC,
求证：ZBCP = I5。・
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【解析】补全正方形ACBD ,连接DP ,
易证AADP是等边三角形I ZZMP = 60° , ZBA£） = 45° ,
ZZBAP = 15o , ZPAC=30o J UZACP = ISQ I ZZBCP = 15° ・
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型
在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰 直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易 的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下： 【探究一】证角等
【备选1】如图，RtAABC中，ZBJC=90°, .1B=AC, M为ZIC中点，连结BM.作AD丄BM 交BC于点、D、连结DM 求证:ZJMS=ZCMD・
［解析】作等腰R仁毎C关于BC对称的等腰Rt二BFC ,延长,3交CF于点N ,
二ANZBM、由正方形的性质，可得zL2=BM,
易证 RtΣABM ZRtZC4Λr f 匚二AMB=二CND I CN=AM , 二M为 JC 中点，二CM=CN ,
ZZI=Z2 J 可证得HWDHGVD J
ZΣCND=ΣCMD , ΣΣ.U∕B=ΣCMD .
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【探究二】判左三角形形状
【备选 2】如图，RtΔ,lδC 中，ZBAC= 90% .1B=AC, .ID=CE9 .4NLBD 于点 ΛΛ 延长 肋交NE的
延长线于点只试判左ADEF的形状.
/K
【解析】作等腰Rt二毎C关于BC对称的等腰RxZBHC ,
可知四边形MEHC为正方形，延长ZLV交HC于点K , ZΛKZBD I 可知 AK=BD I 易证.RtZABDZRtZC-IK ,
二二ADB=二CKN I CK=AD ,
ZJZ>=EC , ZCK=CE ,
易证二CKNZ匚CEV ,二匸CKN=二CEN ,
易证二EDF=二DEF ,二二DEF为等腰三角形・
【探究三】利用等积变形求面积
【备选 3】如图，RtΔ-lδC 中，ZJ=90‰ .AB=AC, D 为 BC 上一点、,DE//AC, DF//AB9 且
EE=4, CF=3,求 S n^DE4∑・
【解析】作等腰Rt二毎C关于BC的对称的等腰RtZGC5 I
可知四边形JEGC为正方形，分别延长Fa ED交BG. CG于点N、M9
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可知 DN=EB=4 , DM=FC=3 , 由正方形对称性质，
可知 S 毎形 DFAE=S 年形 DMGGDMDN=3 × 4=12 .
【探究四】求线段长
【备选4】如图，/XABC中—10丄EC于点D, ZBJC=45。，BD=3, CD=2,求,3 的长.
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题 尽管已
知条件不是等腰直角三角形，但二二BJC=45。，若分别以AB. AC为对称轴 作RtZJM的对称直角三角形和Rt二QC的对称直角三角形，这样就出现两边相 等且夹角为90。的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化 为正方形.
【解析】以AB为轴作RtZJD5的对称的RtZJ£5 I再以AC为轴作RtZ.WC的对称的
RtZ^C ■
可知 BE=BD=3 , FC=CD=2 J 延长肪、FC交点G , HBdC=45。9
由对称性，可得□Γ-lF=90o ,且AE=-ID=AF , 易证四边形ZIFGE为正方形，且边长等于-Q , 设.lD=x ,则 Bg - 3 J CG=X - 2 J
在 RtZBCG 中，由勾股定理，得(X-2)2+(X-3)2=52 , 解得.x=6 I SP AD=6 ・
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【探究五】求最小值
【备选5】如图，RtΔ,lδC中，ZACB=90% AC=BC=4. M为MC的中点，P为斜边ABk 的动点，
求PM÷PC的最小值.
【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtZJC5关于.15对称的RuDB ,可 知四边形ACBD为正方形，连接CD ,可知点C关于A5的对称点Z）,连接Mz）交 于点P连接CP
则PM+PC的值为最小 最小值PM+PC=DM= √42 + 22 = 2√5 .
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【引例】
已^AB丄BD, EQ丄BD9 AB=CD. BC=DE.⑴求证： ⑵若将ACDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形, 其余条件不变， 明：若不成立，试判断ZIC 丄ClE这一结论是否成立?
请说明理由•
【解析】二∙dB±BD I EDIBD
.∙.ZB = ZD = 90o 在 ZiABC 与△AB = CD < ZB = ZD BC = DE
.∖∆ABC^ΛCDE ( SAS )
・ Zl = ZE
• •
vZ2 + ZE = 90o
・•・ ZACE = 90°.即 ACLCE
□图二:Ξ匚二四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似I只要证明 ∆ABC^∆C1DE
：.AACB ≈ ACxED
V ZCIED÷ ZDC；£ = 90o A ZDCI£ +ZACB = 90° C丄CIjE
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【例5】正方形ABCD中，点A、3的坐标分别为(0, 10), (8,4),点C在第一彖限.求 正方形边长
及顶点C的坐标.(计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和 等于斜边的平方・)
【解析】过点C作CG：： X轴于G,过B作恥二V轴于E,并反向延长交CG于F
点A. 3的坐标分别为(0, 10) I (8, 4)
二 BE=Q f -IE：=6 , Z-IB=IO
二四边形MCz)是正方形，二AB=BC
∙∙∙ Zl + Z3 = 90o Λ∠1 = Z2
Z2 + Z3 = 90o
V ZAfB = ZBFC = 90°
ZZAEBZZBFC
CF=BE=S I BF=AE=6 CG=12 EF=I4
C(14 , 12) I正方形的边长为10
【点评】此题中三垂直模型:
【例6】如图所示，在直角梯形ABCD中，ZABC = 90° , AD// BC 9 AB = BC, E是 AB 的中点，CE = BD. Z 求证：BE=AD;
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Z求证：AC是线段血的垂直平分线； 二MBC是等腰三角形吗？请说明理由. 全等三角形的经典模型（一）
【解析】二 Z] ZABC = 90。, BD丄 EC J
二 AECB+ ZDBC = 90。. ZABD +ADBC = 9GQ J 二 AECB = ZABD J
ZZABC = ZZMB=90o J AB = BC 9
二 4BAD 竺 HCBE J 二 AD=BE ・
ZZE 是 AB 中点，□EB = EΛ
由二得:AD=BE f UAE = AD Σ AD//BC J ZZCAz) = ZACB = 45o J
ZzEAC = 45o I U/BAC = ADAC
由等腰三角形的性质，得：EM=MD, AM丄DE 即AC是线段£D的垂直平分线.
二MBC是等腰三角形,CD = BD
由二得:CD = CE I 由二得:CE = BD
二CD = BD J □ ZXDBC是等腰三角形・
【例7】 ⑴如图1, ∕∖ABC是等边三角形，D、E分别是曲、EC上的点，且BD=CE.连接
AE. CD相交于点P.请你补全图形，并直接写岀ZJPZ）的度数= ______________ : ⑵如图 2, RtAABC 中，Z5=90% M. N 分别是 AB. BC ±的点，且 AM=BC、 BM=CNt连接丘V、CM相交于点P.请你猜想^lPM= ________________________ 。，并写出你的 推理过程.
（2013平谷一模）
【解析】⑴图略,60°
⑵45。
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证明：作 AE二AB 且 AE = QV = BM. 可证 AEAM ΛMBC
二 ME = MC 9 ZAME = ZBCM ・
二 ZCM3 + ZΛ∕CB = 90。,二 ZCMB+ ZAME = 90°.
J ZEMC = 90° ・
二ZkEWC是等腰直角三角形,ZMCE = 45°. 又二AECD 二 CAN(SAS )
Z ZECA = ZNAC.
=ECΣAN.
二 ZAPM = ZECM =45°.
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训练1・C知：如图，ZXABC中,AC=BC, ZACB = 90。，D是AC上一点…匹丄的延 长线于
E,并且任抑，求证：BD平….
［解析】延长ZlE交BC的延长线于F
Λ
JBELAF , ZACB=90°
∙∙∙ AFAC = ADBC
二在二IFC和匚肋C中， ZFAC = ZDBC
< AC = BC
ZACF = ZBCD •
:.2,1FC^ ZBDC ( ASA ) :AF=BD 又V AE = LBD
2
・•・ AE = IAF = EF
2
:BE 是 JF 的中垂BA=BF ・・如平分ZABC
训练2. 已知，在正方形ABCD中，E在BD上，【解析】二ABCD是正方形
ZOD=OC ZDOC = 90。 ZDGZCE □ZDGC = 90o
ZADOC = ZDGC Z 乙OFD = ZGFC
DG丄CE于G, DG交AC于F求证: OE=OF
D
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二乙 ODF = ZECO
二在二DOF 和二COE 中， ΛDOF = ZCOE OD = OC ZODF =乙 OCE •
：.ZDOF二匚 COE ( ASA ) 二OE=OF
训练3. 已知：如图，ZVlBC中.AB = AC 9 ZBAC = 90∖ D是BC的中点，AF丄施于
G •求证：DH = DF
【解析】二AB = AC , ZRAC = 90o I D是BC的中点
二AD=BD=CD f ADnBC
二 ZAf)B = 90° ZAF 丄 BE 二 ZAGH =90。
二 ZDBE = ZDAF
二在二EDH和二IDF 中， ZDBH = ZDAF BD = AD ZADB = ZADF
二 BDH 二ADFgA)
ZDH=DF
训练4.如图，已知矩形MCD中.E是上的一点，F是 肋上的一点，EFLEC,且 EF=EC, DE=Acm.
矩形4SCD的周长为32cm,求JE的长.
【解析】在 Rt二:LEF 和 Rt二DEC 中，匸EF二 CE I Z ZFEC=90o I
ZZAEF+ΣDEC=9QQ , ^LECD+2DEC=90o I
二二 AEF=二 ECD ・
又二EJE=ZrDC=90° ・ EF=EC
ZRtzJFFZRtZnC£ ・
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AAE=CD ・
∙∙∙zLD=JΓ+4 ・
二矩形-13CQ的周长为32 cm, 匚2 （J£七匹+4 ） =32・
解得HE=6 Cm・
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題型一等腰直角三角形横型巩固练习
【练习1】如图，MCB、Z∖ECD均为等腰直角三角形，则图中与
'BDC全等的三角形为 __________ .
【解析】4AEC
【练习2】如图，已知RtZiABC中ZAce = 90°, AC = BC. D是BC的中点，CE丄AD,
垂足为E・BF//AC,交CE的延长线于点F・求证：AC = 2BF・
【解析】VZACB = 90' J BF//AC I
・・・ ZACD = ZeBF = 90° f ZADC+ ZCAD = 90° ・ • CE 丄 AD I
.'.ZFCB+ ZADC = 90^ I
.∖ZCAD = ZFCB ・ 又:AC = CB , /. Z^ADC :.DC = FB ・
・・・£）是BC的中点， .∙.BC = 2BF I 即AC = IBF・
・
題型二三垂直横型巩固练习
【练习3】 已知：如图，四边形肋3是矩形（AD>AB×点E在EC上，且AE=AD, DF
丄JE,垂足为F.请探求DF与月E有何数量关系？写岀你所得到的结论并给予 证明.
【解析】经探求，结论是:DF = AB・
D
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证明如下：
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二四边形ZIECD是矩形I
Z LB= 90 , AD二BC ,
Z 匚DJF=二AEB ・ Z DF二AE I □ ZAFD = 90 J
二 AE = AD ,
二 MBE 竺 ZFA ・ 二 AB = DF ・
【练习4】 如图，Z∖ABC中，AC = BC, ZBCA = 90% D是AB上任意一点,
AE丄CD交CD延长线于E, BF丄CD于F・求证：EF = BF-AE・ 【解析】
根据条件，ZACEX ZCBF都与ZBCF互余，
:∙ ZACE = ZCBF ・
在ZMCE和ATBF中， AC = CB I ZAEC = ZCFB = 90° f
：• AACE CBF ・
贝QCE = BF I AE = CF J
：• EF = CE—CF = BF-AE ・
【练习5】 四边形JBCD是正方形.
⑴如图1，点G是BC边上任意一点（不与B. C两点重合），连接AG,作防丄/G
于点F, DESG于点E.求证：厶ABF竺HDAE；
⑵在⑴中，线段EF与AF、BF的等量关系是 _____________ （直接写出结论即可，
不需要证明）；
⑶如图2,点G是Cz）边上任意一点（不与C、Z）两点重合），连接JG,作貯丄/G
于点F, DE丄2G于点E.那么图中全等三角形是 _______________ ,线段EF与AF、
BF的等量关系是 ______________________________ （直接写出结论即可，不需要证
明）・
图1
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【解析】⑴在正方形胭CD中1.1B=1D , ZBAD = 90Q
：.+ ZZME = 90°
Y ZΛ4F +ZABF = 90°
∙∙∙ ZABF = ZDAE 在二15F和二D匹中 ZABF = ZZME, < AAFB = ZDEA. AB = DA. •
：• HABF 竺 4DAE ( AAS )二 EF = AF-BF
Z 二 ABF 二匚 D匹
EF = BF-AF
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测试1・ 问题：已知ZVWC中，ZBAC = 2ZACB ,点D是Z∖ΛBC内的一点，且AD = CD9
BD = BA・探% ZDBC与ZABC度数的比值.
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得岀猜想，再对一般情况进行分析并加以证明・ 当ZBAC = 90o时，依问题中的条件补全右图. 观察图形，AB与AC的数量关系为 ________ :
当推岀ZAMC = I5°时，可进一步推出ZDBC的度数为 ________ 可得到ZDBC与ZABC度数的比值为 _________ ・
【解析】相等:15° : 1:3
（2010北京中考）
测试2. 已知：如图，在'ABC中，ZACB=90°. CD丄AB于点D,点E^ACh,CE=BC. 过E点作,JC的垂线，交CD的延长线于点F求iiE： AB=FC.
【解析】
DFE丄AC于点E I ZACB = 90° I 二 ZFEC = ZACB = 90° ・
ZZF + ZECF=90o ・
又匚CD丄AB于点D I
ZZA + ZECF = 90o ・ ZZA = ZF ・
M
Q
在 ZVWC 和 ZkFCE 中，
-
ZA = ZF,
ZACB = ZFEC, BC = CE,
Z ΔABC^ΛFCE ・ 二 AB = FC ・
测试3.如图，RtΔ^C 中，ZC=90° , AC = IOCm, BC = 5cm , 一条线段 PQ=AB,
P, Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线ZLM上运动.当∕∖ABC和公 APO
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全等时,点O到点/的距离为 __________________ .
5cm 或 IOcm.
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