数学建模物体在楔形面滑落的研究2

【摘 要】该问题研究的是物体在楔形面滑落的相关情况.本文通过物理中的整体分析法、隔离法、能量守恒以及建立相应的数学模型来对问题进行解决.

对于问题（1）在对图1的图形进行分析后，找出个物理量之间的关系，再结合具体数值可得出相应结果.

对于问题（2）我们建立了一般模型对各相关量作了假设，进而根据物理原理对A、B物体滑落结束后的速度进行了表示，本题得到解决. 对于问题（3）是要确定B的滑落路线，这里我们采取将加速度进行分解的方法来解决问题，在图2中有具体路线图的展示. 【关键词】滑落 整体分析法 隔离法 模型 假设

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问题重述

在水平面上有一楔形物体A，楔形斜面上放有一方形物B,如下图。

试适当的做出假设，建立数学模型。讨论物体B从楔形顶端下滑到水平面这一过程中: (1)

当物体A的质量为5kg，斜面的摩擦系数为0.1，斜面倾角a=60°，斜面长0.2米，水平面摩擦系数为0.3，物体B质量为2kg。求滑落到水平面后A、B的速度。

(2)

试讨论一般情况，滑落结束后，A物体速度及B物体的速度；

(3) 图1

试确定B物体的滑落路线；

2

符号说明与基本假设

2．1 符号说明: MA—物体A的质量; GA=MAg;

MB—物体B的质量； GB=MBg;

µ1—斜面的摩擦系数； µ2—水平面的摩擦系数； l—斜面的长度；

a—斜面的倾斜角；

ɑ1—物体A相对水平面的加速度； ɑ2—物体B相对水平面的加速度； t—物体B在斜面上的滑落时间； N2—物体A对物体B的支持力； N1—物体B对物体A的支持力； f1—物体A受到的水平摩擦力； v1—B滑到水平面后的速度； v2—A滑到水平面后的速度；

s—A、B整体在水平面上滑动的距离；

2．2 基本假设

（1）水平面足够长，能令楔形斜面在水平面上只受摩擦力和支持力. （2）物体从楔形斜面下滑以及在水平面上都不受空气阻力. （3）两物体的接触面材料质地均匀；

3 模型的建立

模型一:成立条件

GB*cosα*sinα-µ1 (GA + GB cos^2*α+µ2*GB cosα*sinα) <=0

1，当物体B滑到物体A的底端时有： （1），VA=0

（2），在斜面上O点：VB1 =√(2*g*l*(sinα-µ2*cosα))

（3），物体B的运动轨迹为沿斜面向下。 2，当物体滑到水平面后有：

（1），在水平面上O点，VB2= cosα√(2*g*l*(sinα-µ2*cosα))

之后物体B在水平面上做加速度大小为µ1*g的匀减速直线运动。

（2），水平面上物体B的速度VB = VB2-µ1 *g*t; (0<=t<= cosα√(2*g*l*(sinα-µ2*cosα))/ µ1 *g) 3，路线确定：

斜面上为沿斜面向下； 水平上为直线运动。

模型二：成立条件

GB*cosα*sinα-µ1 (GA + GB cos^2α+µ2*GB cosα*sinα) >=0

1,当物体B刚好滑到水平面时有：

(1) VA = MB(sin(2*α)- µ1-µ1*cos(2*α)- µ1*µ2*sin(2*α))* √(l*g/(2*( sinα-µ2*cosα)))/ MA （2），在水平面上O点：

VB =（MA-MB）*（µ1MB*-µ2*MA）*（1+ cos(2*α)）+µ1（2* MA +µ2*MB*sin(2*α)）*√(l*g/(2*( sinα-µ2*cosα)))/ MA 2，路线确定：

刚好滑到水平面时，物体B在水平面向右位移为， S右=l*（（MA-MB）*（µ1MB*-µ2*MA）*（1+ cos(2*α)）+µ1（2*

MA +µ2*MB*sin(2*α)）*√(l*g/(2*( sinα-µ2*cosα)))）/（2* MA）。或

S右=（MA-MB）*（µ1MB*-µ2*MA）*（1+ cos(2*α)）+µ1（2* MA +µ2*MB*sin(2*α)）*t/2* MA; 0<=t<=√2*l/( g*sinα-g*µ2*cosα) 竖直方向上的位移为， S竖直=l* sinα或

S竖直=g*sinα(sinα-µ2*cosα)*t^2/2; 0<=t<=√2*l/( g*sinα-g*µ2*cosα)

3.1 问题（1）的模型建立 3．1．1 数据分析

问题是要求滑到水平面后A、B的速度，需用到整体分析法和隔离法，对A和B进行受力分析，建立简单的图形分析模型.从而解决本问题.

3.1.2 基本模型 对B的受力分析:

B受重力:GB=mBg=20(N);

B受斜面对它的支持力N2= mBg*cosa=10(N); B受沿斜面向上的摩擦力f2=µ2N2=1(N); 通过对物体B的重力的正交分解，我们有，

mBg*sina> f2,所以物体B有沿斜面向下的加速度ɑ=(GBsina-f2)/mB=5√3-1/2；

根据牛顿第二定律，对物体B在斜面上O点有： VB1 =a*t;

而t=√(2*l/(g*sinα-g*µ2*cosα)),l的值是知道的，经过整合化简，我们就得到模型一。

注；物体水平面后竖直方向上的速度损失，由此得到

VB2= VB1 * cosα= cosα√(2*g*l*(sinα-µ2*cosα))

对A的受力分析:

A受重力:GB=mBg=20(N);

A受B对它的压力N1= mBg*cosa=10(N); A受沿水平面向右的摩擦力f1=µ1（GA+）=1(N); A受沿斜面面向下的摩擦力f2’=µ2*GB*cosα； 通过把各个力正交分解计算得到模型一中结论。

3．2 问题(2)的模型

在忽略了空气阻力的前提下，对各个物理量作了假设，在第一问的基础上，根据同样的原理，可以得到:

对B在水平面有: VB =（MA-MB）*（µ1MB*-µ2*MA）*（1+ cos(2*α)）+µ1（2* MA +µ2*MB*sin(2*α)）*√(l*g/(2*( sinα-µ2*cosα)))/ MA 对A有: VA = MB(sin(2*α)- µ1-µ1*cos(2*α)- µ1*µ2*sin(2*α))*

√(l*g/(2*( sinα-µ2*cosα)))/ MA

3．3 问题(3)的模型

通过对B的加速度进行分解，建立数学坐标模型来解决此题.见模型一和模型二。

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.模型的求解：见模型一和模型二。

注：物体B的滑落路线为：

5 结果分析与检验:将题目（1）中数据带入正确。 6 模型的评价

我们立足于问题本身的特点，建立了两个模型，并进行了理论的科学论证。从而证明，我们建立的模型能较好地解决问题.

6．1 模型的优点：通过整合，可以直接带数据进式子即可得到答案。 6．2 模型的缺点：式子复杂。

7 参考文献

[1]《数学建模案例集》。 [2]《数学实验与建模》

小组成员:魏玲玲

季春桐 李永杰