整数的简单性质

（一）知识、技能、方法 一、质（素）数与合数

一个大于1的整数，仅有1和它本身这两个正因数，则这样的正整数叫做质数或素数.一个正整数除1和它本身外，还有其他正因数，则这样的正整数叫做合数.显然

全体正整数={1}∪{质数}∪{合数}. （1）若az,a1，则a的除1以外的最小因数q是一个素数.如果q≠a，则qa； （2）若p是素数，a为任一整数，则必有p | a或（a，p）=1； （3）设a1,a2,,an为n个整数，p为素数，且p|a1a2an，则p必能整除某个ai(1in)； （4）对任给整数n1，总可以找到n个相邻的合数.若n是合数，则n有平方不大于n的素因数.

二、几个重要定理

（1）（埃氏筛法）设n1为正整数，且n不被不超过n的素数整除，则n为素数. （2）（欧几里得）素数有无限多个. （3）（算术基本定理）每个大于1的整数，都可以惟一地分解成素因数的乘积（不计因数的顺序）.即，任何大于1的整数n能惟一地写成np11p2正整数，1ikp1p2aa2pkak（其中pi是质数，ai是

pn为质数，ipk），称上式为整数n的标准分解式.

2（4）设大于1的整数n的标准分解式为np11p均为非负整数），则其正因数dp11pnee2pnn(p1p2pnen(0eii)；所有正因数的个数为

npii11d(n)（i1)；所有正因数之和为(n).

p1i1i1i（5）n为平方数的充要条件是d(n)为奇数.

（6）在n！的标准分解式中，质因数p的最高指数p(n!)=[n][n2]pp[n，这里

]pkpknpk1，k是非负整数.

三、最大公约数与最小公倍数 1、定义

设a、b是两个不全为0的整数，若整数c满足：c|a,c|b，则称c为a,b的公约数；

a与b的所有公约数中的最大者称为a与b的最大公约数，记为(a,b). 如果(a,b)=1，则称a与b互质或互素.

a与b的公倍数中最小的正数称为a与b如果d是a、则称d是a、b的倍数，b的公倍数；

的最小公倍数，记为[a,b].

最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形，并用(a1,a2,,an)表示a1,a2,,an的最大公约数，[a1,a2,,an]表示a1,a2,,an的最小公倍数.

2、定理 ① (a1,a2,,an][|a1|,|a2|,,|an|].

② 设a、b、c是三个不全为0的整数，且有整数t使得abtc，则(a,b)(b,c)，即(a,b)(b,abt).

3、性质

（1）mN，则(am,bm)m(a,b). （2）设c为a,b的公约数，则(,),an)(|a1|,|a2|,,|an|)，[a1,a2,abcc(a,b)ab.特别地，若c(a,b)，则(,)1. ccc,(cn1,an)cn，

（3）设a1,a2,,an是任意n个正整数，如果(a1,a2)c2,(c2,a3)c3,则(a1,a2,,an)cn.

（4）（裴蜀定理）若整数a,b不全为零，则存在x,yZ，使得axby(a,b).

特别地，(a,b)1存在x,y使得axby1. （5）若(a,b)1，则(ac,b)(c,b)，(ab,c)(a,c)(b,c).

（6）[ak,bk]k[a,b](kN)； ②m为a,b的任一公倍数，则[a,b]|m. （7）(a,b)[a,b]ab，特别地，若(a,b)1,则[a,b]ab. （8）设a1,a2,则[a1,a2,,an是任意n个正整数，若[a1,a2]m2,[m2,a3]m3,,[mn1,an]mn，

,an]mn.

（二）例题分析

例1、对任意整数n，证明分数

21n4是既约分数.

14n3

例2、求下列两组数的最大公约数与最小公倍数： （1）169，121； （2）-1859，1573.

例3、证明：存在无数个自然数n，使得nn41为合数.

例4、设21(mN)为素数，求证：m是2的非负整数次幂.

m2例5、已知(a,b)1，证明：（1）(ab,ab)1；（2）(ab,ab)1； （3）若(ab,ab)d，则d1或d2.

例6、设x,y是正整数，xy且xy667，它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，求x,y.

例7、设m,n0，若mn|(mn)，则mn.

例8、已知Fn21，若mn，则(Fm,Fn)1.

例9、设正整数a,b,c的最大公约数是1，并且

2n2222abc，证明ab是一个完全平方数. aba,b都是正整数，例10、是否存在整数p,q使得对任意的正整数n，pna与qnb互质？

n31例11、求出所有的正整数对(m,n)，使得是一个整数.

mn1

例12、求出最小正整数n，使其恰有144个正约数，并且其中有10个连续整数.

例13、有多少个正整数对x,y，xy，使得(x,y)5!和[x,y]50!成立？

例14、求最大的自然数x，使得对每一个自然数y，x能整除712y1.

例15、求所有正整数x、y，使得xyzxyz，z是x与y的最大公约数.

23y