数学试题（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|0＜x≤4}，则A∪B＝（ ） A．[﹣1，4] 4]
2．设复数z满足z•i＝﹣1+i，则A．1
B．
＝（ ）
C．
D．
B．（0，3] C．（﹣1，0]∪（1，4]
D．[﹣1，0]∪（1，
3．命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”的否定形式为（ ） A．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x² C．∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≥x2 D．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2
4．函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的区间为（ ） A．（0，1） B．（1，2） A．有一解 C．无解
C．（2，3） B．有两解
D．有解但解的个数不确定
D．（3，4）
5．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（ ）
6．已知函数f（x）＝log3x，将函数y＝f（x）的图象向右平移1个单位长度，再将所得的函 数图象上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后将所得的图象上的点的纵坐标伸 长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（ ）A．g（x）＝3log3（x﹣1） C．g（x）＝3log3（2x﹣1）
B．g（x）＝log3（x﹣） D．g（x）＝3log3（2x﹣2）
7．若函数f（x）＝log（3x2﹣ax+5）在区间（﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣8，+∞） 8．已知曲线＝（ ） A．
B．2
C．
D．
B．[﹣6，+∞）
C．（﹣8，﹣6]
D．[﹣8，﹣6]
在点（1，（f1））处的切线的倾斜角为α，则
9．函数f（x）的导函数f'（x）满足f'（x）＞f（x）在R上恒成立，且f（1）＝e，则下列判断一定正确的是（ ） A．f（0）＜1
B．f（﹣1）＜f（0） C．f（0）＞0
D．f（﹣1）＞f（0）
）上单调递
10．已知函数f（x）＝﹣2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若f（x）在区间（增，则φ的取值范围是（ ） A．[﹣
]
B．[
]
C．[11．已知函数
] D．[﹣]∪（）
，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a
的取值范围是（ ） A．（0，1]
B．[1，+∞）
C．（0，1）
D．（﹣∞，1]
12．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ） A．﹣50
B．0
C．2
D．50
二、填空题（每小题5分）.
13．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则an＝________。 14．设a∈R，若函数y＝ex+ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________。 15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少“这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T（单位：年）的衰变规律满足
表示
碳14原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约 年．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）
16．设点P为函数f（x）＝lnx﹣x3上任意一点，点Q为直线2x+y﹣2＝0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC． （1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC面积的最大值．
18．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝
，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC； （2）求证：平面MOC⊥平面VAB； （3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
19．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． P（K2≥k0）
k0
附：K2＝
0.10 2.706
0.05 3.841
． 0.010 6.635
0.005 7.879
每周平均体育运动时间与性别列联表
不超过4小时 超过4小时
总计
20．已知椭圆C：
+
＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
男生
女生
总计
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P、Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
21．已知函数f（x）＝x3﹣kx+k2． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围．
选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点
O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ． （Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x﹣2|+|x﹣a|．
（Ⅰ）若f（x）≥4对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣4时，函数f（x）的最小值为t，且正实数m，n满足m+n＝t，求最小值．
的的值．
参考答案
题号 1 答案 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C 9 A 10 C 11 A 12 C 13. 2n-5 14.a<-1 15.6876 16.-2-23 17．解：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC， 由正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc， 即为b2+c2﹣a2＝﹣bc， 由余弦定理可得cosA＝由0＜A＜π，可得A＝（2）由题意可得a＝3， 又B+C＝
，可设B＝
﹣d，C＝＝
＝
+d，﹣＝2
＜d＜，
，
；
＝﹣
＝﹣，
由正弦定理可得
可得b＝2sin（﹣d），c＝2sin（[sin（
+d）， ﹣d）+sin（
+d）]＝3+2
（
cosd﹣
则△ABC周长为a+b+c＝3+2
sind+cosd+＝3+2
cosd，
sind），
当d＝0，即B＝C＝另解：a＝3，A＝
时，△ABC的周长取得最大值3+2，又a2＝b2+c2﹣2bccosA，
．
∴9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣（b+c）2， 由b+c＞3，则b+c≤2
（当且仅当b＝c时，“＝”成立），
．
则△ABC周长的最大值为3+2
18．（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC， ∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC＝BC，O为AB的中点， ∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC， ∴OC⊥平面VAB， ∵OC⊂平面MOC， ∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝∴S△VAB＝
，
，∴AB＝2，OC＝1，
∵OC⊥平面VAB， ∴VC﹣VAB＝
•S△VAB＝
．
＝90，所以应收集90位女生的样本数据． ，
∴VV﹣ABC＝VC﹣VAB＝
19．解：（1）300×
（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）＝0.75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表
每周平均体育运动时间 不超过4小时 每周平均体育运动时间 超过4小时 总计 结合列联表可算得K2＝
210 ＝
90 300 165 60 225 男生 45 女生 30 总计 75 ≈4.762＞3.841
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
20．解：（Ⅰ）椭圆C：
+＝1的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）．
可得b＝c＝1，a＝则椭圆方程为
+y2＝1；
＝，
（Ⅱ）证明：y＝kx+t与椭圆方程x2+2y2＝2联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），
△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x1+x2＝﹣
，x1x2＝
，
AP的方程为y＝x+1，令y＝0，可得x＝，即M（，0）；
AQ的方程为y＝x+1，令y＝0，可得x＝．即N（，0）．
（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t） ＝（1+t2﹣2t）+k2•
+（kt﹣k）（﹣•
）＝
，
|OM|•|ON|＝2，即为|•|＝2，
即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0， 即有直线l方程为y＝kx，恒过原点（0，0）．
21.解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k，
k≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增， k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞
或x＜﹣
，
令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，
∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，
综上，k≤0时，f（x）在R递增， k＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣
）递增，在（﹣
，
）递减，在（
，+∞）递增；（2）由（1）
得：k＞0，f（x）极小值＝f（若f（x）有三个零点，
），f（x）极大值＝f（﹣），
只需，解得：0＜k＜，
故k∈（0，）．
22．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为﹣1，得到直角坐标方程为y2＝4x+4．
（t为参数），转换为t＝，代入x＝4t2
根据，转换为极坐标方程为ρ2sin2θ＝4ρcosθ+4．
曲线C2的极坐标方程为
（Ⅱ）把曲线C2的极坐标方程为
，
所以所以
，ρ1ρ2＝﹣16，
，转换为直角坐标方程为．
，代入ρ2sin2θ＝4ρcosθ+4得到
．
23．（Ⅰ）解：
当x≤﹣，f（x）单调递减；当﹣＜x，f（x）单调递增； 所以函数f（x）的最小值为1． （Ⅱ）证明：由于a+b+c＝1， 所以即
，
，当且仅当a＝，b＝c＝时取等号．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容