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黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题

来源：九壹网

哈尔滨市第六中学2016届高三第一次模拟考试

数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.

4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2ii3（i为虚数单位）的共轭复数为（） i1（A）12i （B）i1 （C）1i （D）12i

1．复数z2．集合A{xN||x1|1},B{x|y1x2}，则AB的子集个数为（）（A）1个（B）2个（C）4个（D）8个 3．有下列四个说法：

①命题“xR,xx0”的否定是“xR,xx0”； ②“命题pq为真”是“命题pq为真”的必要不充分条件；

③命题“已知x，yR，若x1或y2，则xy3”的逆命题为真命题； ④在区间0,上随机取一个数x，则事件“tanxcosx其中正确的个数是（）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2215”发生的概率为； 26xy04．已知x,y满足约束条件xy2，则z3xy的最大值是（）

y0（A）0 （B）2 （C）4 （D）6

5．已知a1,b6,aba2，则向量a与b的夹角为（）

 （B） 23（C）（D）

46（A）

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积比为（）（A）32 （B）22

哈六中2016届第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第1 页共4页

（C）22＋1 （D）32 27．甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，则x:y为（）（A）3:2 （B）2:3 （C）3:1 或5:3 （D）3:2 或7:5

8．已知某随机变量X的概率密度函数P(x)满足P(x)P(x)，当x0时，P(x)落在区间(1,1)内的概率为（）（A）1（C）

1xe，则随机变量X2e11 （B）2 ee开始 1e1 （D）2 ee输入十进制x 9．ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，若sinA,sinB,sinC成等差数列，且tanC22，

n=0 n=n+1 x除以6取商y余数z zn=z y=0？是否 sinB等于（） sinA1014（A）（B）

9935（C）（D）

23则

10．老师为哈六中某位同学的高考成绩x设计了一个程序框图，执行如图所示的程序，若输出的数码为3112，则这位同学的高考分数x是（）

x=y zn=z 输出数码znzn-1…z1z0 结束（A）682 （B）683 （C）692 （D）693

11．已知a0且a1，x0，下列关于三个函数f(x)ax,g(x)xa,h(x)logax的说法正确的是（）

（A）三个函数的单调性总相同

（B）当1a2时，对任意x0，f(x)g(x)h(x) （C）当a1时，三个函数没有公共点（D）任意a1，三个函数都与直线yx相交

x2y212．设双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B,Cab两点，过B,C分别作AC,AB的垂线交于D，若D到直线BC的距离不小于aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）

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（A）[1,0)(0,1] （B）(,1][1,) （C）[2,0)(0,2] （D）(,2][2,)

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

53（1+xcos）（x5sin）13．已知二项式的展开式中第三项的系数与的展开式中第二项的系数相等，其中

为锐角，则cos=

14．在平面直角坐标系xOy中，以点(2,3)为圆心且与直线2mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________________

15．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1,BC2,AA13，点M是BC中点，点PAC1，QMD，则|PQ|长度最小值为______________

16．已知函数f(x)e|x1|2ax3a恰有3个零点，则实数a的取值范围是______________

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）

2正项数列{an}前n项和为Sn，且an4Sn2an1(nN)

x（1）求数列{an}的通项公式；

4(1)n1an1（2）若bn，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：T2n11T2n(nN)．

(an1)(an11)

（18）（本小题满分12分）

哈六中数学组推出微信订阅号（公众号hl15645101785）后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了60位更关注栏目1或栏目2（2选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，在关注栏目2中的家长与学生人数比为1:3 家长学生合计

（1）完成列联表，并根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”；

（2）如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目1的人数记为随机变量X，求X的分布列和期望；

（3）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重充实哪个栏目的内容，并简要说明理由． P(K2x0) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 x0 22.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 n(adbc)2（K，其中nabcd.）

(ab)(cd)(ac)(bd)

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD,AB//CD，

CD2AB2BP2AD，CEEB (0)，DE平面PBC，侧面ABP底面ABCD

（1）求的值；

（2）求直线CD与面PDE所成角的大小．

（20）（本小题满分12分）

抛物线C:y22px(p0)，过点F(1,0)的直线l与C交于M,N两点，且MON（O为坐标原点）面积的最小值为2

（1）求抛物线C的方程；（2）直线l上的点Q满足

哈六中2016届第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第4 页共4页

D A

B E C P

（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)x1eax(aR) （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）当x[,]时，f(x)f()，求a的取值范围；（3）证明：t[1,1]，使得f(t)0．

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，正ABC中，点D在边AC上，E,G在边AB上，且AB3AG6，

12aa2aADAC,AE(1)AB，(01)，BD,CE相交于点F

（1）证明：A,E,F,D四点共圆；

（2）当点E是BG中点时，求线段FG的长度．

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A G D

E F B C

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1:(x2)2(y2)28，

曲线C2:x2y2r2(0r4)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线

(02)与曲线C1交于O,P两点，与曲线C2交于O,N两点，且|PN|最大值为22 （1）将曲线C1与曲线C2化成极坐标方程，并求r的值；（2）射线与曲线C1交于O,Q两点，与曲线C2交于O,M两点，求四边形MNPQ面积的最大

4值．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知x,y,z均为正数，且x24y2z23

（1）证明：x2yz3；（2）求2xy2yzzx的最大值．

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理科数学

1-12 ACCDB ADAAC CB 13.23e3,0) 14. (x2)2(y3)25 15. 16. (42317.（1）n1时，a11

22n2时，因为an0，an4Sn2an1，所以an14Sn12an11

得anan12，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an2n1

……6分

4(1)n1an1(1)n1(2n1)11（2）bn(1)n1()，

(an1)(an11)n(n1)nn1所以T2n1(1)()(111111)11，

2232n12n2n111111T2n(1)()()11，

2232n2n12n1以

……6分

所

T2n1TnnN

(18.（1）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以a25,b5,c15,d15，列联表如图栏目1 家长 25 学生 15 合计 40 2栏目2 5 15 20 合计 30 30 60 60(2515515)2K7.56.635，所以能有99%的把握认为认为“更关注栏目1或栏目2与群

30302040体身份有关系”。 ……5分（2）X的取值为0,1,2，由题意，XB(2,)，所以P(X0)23144，P(x1)，P(x2)，分布列如下 9992 X P 0 1 1 94 94 9期望EX4 ……5分 3（3）关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，关注栏目1的人数多，所以应该充实栏目1的内容.

……2分

19.（1）因为ABAD，面ABP底面ABCD，面ABP面ABCDAB，所以AD面ABP，所以ADBP，因为DE平面PBC面，所以DEBP，ADDED，所以BP面ABCD，过点D做

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22DA,DC分别为x,y轴建立空间直角坐标系，CEEB，所以E(,,0)，BP的平行线为z轴，

11由

DEBC得

22DEBC011，所以

2 ……5分

224,,0)，DP(2,1,1)，（2）设面PDE法向量为u(x,y,z)，DE(331uDE0解得u(2,1,1)，cosu,DC，所以线面角为30 2uDP0……7分

20.（1）①当lx时，l:x1 ，yM2p ，S122p12p2,p2 2②当l斜率存在时，设l:yk(x1)与y22px联立，得k2x2(2k22p)k20，

14p2S22p22p，所以当lx时面积最小，

2k所

以

p2，抛物线方程为

y24x ……6分

（2）设Q(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2)，

①当lx时，l:x1 ，y12,y22，点Q(1,2)

②当l斜率存在时，设l:yk(x1)与y24x联立，得k2x2(2k24)k20，

|FQ|2(1k2)(x1)2，|FM|2(1k2)(x11)2，|FN|2(1k2)(x21)2，由

(x11)2(x21)2211k22111，因为得=222222222|FQ||FM||FN|(x1)(x11)(x21)(x11)(x21)y2y2k，所以1(x1)，化简得2(x1)2y24(x1)，Q(1,2)也符合。 22x1(x1)2(x1)所

以

点

Q的轨迹方程为

2(x1)2y24 ……6分

21（1）f(x)1aeax

①当a0时，f(x)1aeax0，所以f(x)的增区间为(,) ②当a0时，f(x)1aeax0，解得x11ln， aa哈六中2016届第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第8 页共4页

f(x)的增区间为

11(,ln)，减区间

aa(1aln1a,) ……4分（2）因为f(x)f(2a)，所以f(2a)是f(x)的最小值，由题意a0，

由（1）f(x)增区间为(,1aln111a)，减区间(alna,)

所以111112alna或

1aaalnaaf(1)f(2，解aa)a1e2e ……4分（3）因为f(0)0

①当a0时，f(x)在R单调递增，所以存在t1，f(1)f(0)0成立；

②当0a1时，

1aln1a0f(x)在[1,0]上递增，所以存在t1，f(1)f(0)0成立；③当a1时，1aln1a0，f(x)在[0,1]上递减，所以存在t1，f(1)f(0)0成立；

综上，总存在t[1,1]，使得f(t)0

……4分

22.（1）AE(1)AB BEAB ADAC

BEAD，又CBEBAD，CBBABCEABDBECADB

ADBAEC180A,E,F,D四点圆 ……4分

（2）连接DE,GF，BEAD2,AE4,A60 ADDE

以AE为直径的圆圆心为GGF12AE2 ……6分 23.（1）C1:42sin(4)， C2:r

|PN||PN||42sin(4)r|max=22，r22 ， C2:22 （2）S1四边形SOPQS2OPOQsin41OMN2OMONsin4 哈六中2016届第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第9 页共4页

得

共

，

……4分

121242sin()42sin()2222242222

42sin(2当4)4228时，面积的最大值为422

……6分

24.（1）(x2yz)2(x24y2z2)(111)9x2yz3 当且仅当x2yz1时，等号成立

（2）(2xy2yzzx)2(x24y2z2)(4y2z2x2)9

2xy2yzzx3

当且仅当

x2y2yzzx即x2yz1时，等号成立

哈六中2016届第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第10 页 ……4分

……6分

共4页

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