第9讲 尺规作图
1. 尺规作图定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图
2. 五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作一条直线与已知直线垂直。 3. 五种基本作图步骤： （1）作一条线段等于已知线段 求作：线段AB等于线段a 作法：如图，①先画射线AC．
②然后用圆规在射线AC上截取AB＝a．线段AB就是所要作的线段．
（2）作一个角等于已知角
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：如图，①作射线O′A′；
②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D． ③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′． ④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′． ⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．
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（3）作已知角的平分线
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．
作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE． ②分别以D、E为圆心，大于交于点C．
③作射线OC。OC就是所求的射线．
1DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧2
（4）作线段的垂直平分线 求作：线段AB的垂直平分线．
作法：①分别以点A和点B为圆心，大于C和D．
②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
1AB的长为半径作弧，两弧相交于点2
（5）经过已知点作这条直线的垂线
情况a：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图 已知：直线AB和AB上一点C， 求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线
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情况b：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图 已知：直线AB和AB外一点C． 求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． ③分别以D和E为圆心，大于
1DE的长为半径作弧，两弧交于点F． 2④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．
★注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．
4. 三角形的外接圆、三角形的内切圆的作法。
（1） 外接圆的圆心是作线段垂直平分线的交点，半径为圆心到顶点的连
线。
（2） 内切圆的圆心是作角平分线的交点，半径为圆心到边的距离。
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例1. 如图，已知∠AOB和C、D两点．求作一点P，使PC＝PD，且使点P到
∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
例2. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC
边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB＝6，BD＝2BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积．（结果保留根号和π）
，求线段
例3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，AD是∠BAC的
平分线．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥AC于E； （2）求DE的长．
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1. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知△ABC中，∠C=90°，请利用尺规作出△ABC的内切圆O （不写作法，请保留作图痕迹）
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3. 如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D． （1）作△ABC的外接圆O，作直径AE（尺规作图）；
（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆直径AE的长．
5. 如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝3．
（1）利用尺规在AC上找到一点D，使得DA＝DC（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接DB，若DA＝DC＝DB，试判断△ABC的形状，说明理由，并求出△ABC的面积．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕
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迹，不写作法）
①作AC的垂直平分线，交AB于点O，交AC于点D； ②以O为圆心，OA为半径作圆，交OD的延长线于点E． （2）在（1）所作的图形中，解答下列问题． ①点B与⊙O的位置关系是 ；（直接写出答案） ②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半径．
7. 如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，CD⊥AC交AB于点D． （1）尺规作图：作线段AD的中点E（保留作图痕迹，不要求写作法），并连接CE； （2）已知AD＝2
，P是线段BC上一点，若以P，D，B为顶点的三角形与△
BCE相似，DP的长为多少？
8. 如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12．
（1）动手操作：利用尺规作以BC为直径的⊙O，⊙O交AB于点D，⊙O交AC于点E，并且过点D作DF⊥AC交AC于点F． （2）求证：直线DF是⊙O的切线；
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（3）连接DE，记△ADE的面积为S1，四边形DECB的面积为S2，求的值．
9. 在△ABF中，C为AF上一点且AB＝AC．
（1）尺规作图：作出以AB为直径的⊙O，⊙O分别交AC、BC于点D、E，在图上标出D、E，在图上标出D、E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若∠BAF＝2∠CBF，求证：直线BF是⊙O的切线； （3）在（2）中，若AB＝5，sin∠CBF＝
，求BC和BF的长．
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10. 如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD＝∠CDA，E为AB边的中点． （1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？ （3）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．
11. 如图，已知线段AE，按照以下要求作图和证明：
用尺规作等边△DAE；在AE的延长线上取点C，在AD的延长线上取点B，使得DB＝AC，连接BE，BC．求证：BE＝BC．
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12. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°
（1）利用尺规作∠B的角平分线交AC于D，以BD为直径作⊙O交AB于E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在（1）的条件下，连接DE ①求证：CD＝DE；
②若sinA＝，AC＝6，求AD．
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