函数的极值教学案

公开课 教 案 函数的极值教学案

教学目标：

1.理解极大值、极小值的概念.

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤 一、课前复习：

1. 常见函数的导数公式：

C' ； (xn)' ； (sinx)' ； (cosx)' (lnx)' ； (logax)' ；

(ex)' ； (ax)'

2.导数的运算法则1 [f(x)g(x)]' ． 导数的运算法则2 [f(x)g(x)] ,

[cf(x)] f(x)导数的运算法则3 =g(x)/' 3. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数如果在这个区间内

y/<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数

4.用导数求函数单调区间的步骤：① ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是函数y=f(x) .③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围就是函数y=f(x) 练习：求函数yx3x9x的单调区间；

32x y y 二、讲解新课：

1.极大值：如果x0是方程f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)＞0，在x0的

右侧附近f′(x)＜0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值， x0是极大值点

2.极小值：如果x0是方程f′(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f′(x)＜0，在x0的

1

右侧附近f′(x)＞0，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，x0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)

（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

yf(x5)f(x3)f(x1)f(x4)ax1x2Of(b)f(x2)f(a)x3x4x5bx

4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:

若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”

，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”

f(x0)是极小值

5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程f(x)=0的根

2

//

(3)列表辨别：用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 三、讲解范例：

例1求y=

131x－4x+的极值 33131x－4x+)′=x2－4=(x+2)(x－2) 33解：y′=(

令y′=0，解得x1=－2，x2=2

当x变化时，y′，y的变化情况如下表

x y y ,2 + -2 0 极大值(-2,2) － 2 0 极小值2, + ↗ f(2) 17 3↘ f(2) ↗ ∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=当x=2时，y有极小值且y极小值=－5

y13f(x)=x-4x+432-2Ox

如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 例2.已知函数f(x)alnxbxx在x=1和x=2处有极值，求a、b的值.

例3．已知函数f(x)x33ax23(a2)x1 既有极大值又有极小值，求实数a的取

3

2

值范围. (,1)(2,)； 。

例4.函数f(x)x3ax2bxa2,在x1时有极值10，求a,b的值. 解：f'(x)3x22axb,f'(1)2ab30,f(1)a2ab110

2ab3a3a4 2，当a3时，x1不是极值点， ,,或b3b11aab9则a,b的值分别4,11

x例5.求函数yecosx的极值.

解:yexcosxsinx,令y0,4即cosxsinx0得,xkkZ,3当x2k,2kkZ时,y0,fx为增函数,445当x2k,2kkZ时,y0,fx为减函数,443当x=2k4kZ时,y极小值4因此当x=2kkZ时,y极大值22ke222k434.2e,

四、课堂练习：

1. 求函数y=x2－7x+6的极值.;

解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7

令y′=0，解得x=

7. 27 ,2当x变化时，y′，y的变化情况如下表. x y y 72 7 ,2－ ↘ 0 极小值+ ↗ 25 4725∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－

242. 求函数y=x3－27x的极值.

4

解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3.

当x变化时，y′，y的变化情况如下表 x y y ,3 + ↗ -3 0 极大值54 (-3,3) － ↘ 3 0 极小值-54 3, + ↗ ∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54 当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54

3. 函数f(x)x3ax23x9, 已知f(x)在x3时取得极值, 则a 3

131 2b= 。4．函数yx33ax22bx在点x=1处有极小值－1，则a= ，4、,五、小结 ：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步

骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 六、课后作业： 1.求函数y1413xxx2的极值 432.求函数y=(x2－1)3+1的极值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表

x y y ,1 － ↘ -1 0 无极值 (-1,0) － ↘ 0 0 极小值0 (0,1) + ↗ 1 0 无极值 1, + ↗ ∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0 5

yfx = x2-13+1-1O1x

求极值的具体步骤：第一，求导数f/(x).第二，令f/(x)=0求方程的根，第三，列表，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.

3．已知函数f(x)=x+ax+bx+a在x=1处有极值为10，则f(2)等于 。

3

2

2

1时, 函数取得极值, 则m的值为 4. 1 31 3 2

5. 函数y＝ax＋bx取得极大值或极小值时的x值分别为0和, 则 5. a2b＝0 34. 若函数y＝x－2x＋mx, 当x＝

3

2

6、已知函数f(x)的导数为f(x)4x4x，且图象过点（0，-5），当函数f(x)取得极大值-5时，x的值应为 6. 0 .

7.已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是_ 7.答：a6或a3） ____

8.函数fxxaxbxa在x1处有极小值10，则a+b的值为_ 8.答：－7

322315．已知函数f(x)134xx23x，直线l1：9x＋2y＋c＝0．若当x∈[－2，2]时，33函数y＝f(x)的图像恒在直线l的下方，则c的取值范围是

_________c<-6_______________

3227.方程x6x9x100的实根的个数为___ 27.答：1） ___；

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