2015保险需求—人寿保险需求

人寿保险需求

一、人寿保险需求理论概述

几乎所有的文献都认为Yaari（1965）是寿险需求理论研究的开端，之后，Fischer（1973），Pissarides（1980），Campbell（1980），Karni和Zilcha（1985，1986），Lewis（1989）和Bernheim（1991）等人的研究进一步推动了人寿保险需求理论的发展。

Yaari（1965）首先将人的寿命不确定性引入消费决策的最优化分析。针对生命周期消费模型的寿命确定性假设问题，指出事实上人们并不能确切知道他能活多久，而这种寿命的不确定性会影响人们在生命周期消费效用最大化条件下的最优消费决策。Yaari根据是否考虑遗产动机分别构造了费雪效用函数和马歇尔效用函数，并比较了这两种情况下购买与不购买保险对最优消费解的影响。Yaari发现，通过购买年金保险，人们的最优 边际消费率就与寿命确定性条件下的最优边际消费率相近似，或者会使消费回到类似确定条件下的最优状态，从而将不确定性下的消费决策转化为确定环境下的决策，特别是考虑到为依靠其生活的人（配偶或子女）留下充足的收入，购买保 险能提高一生的效用。

Fischer（1973）一文给出了一个寿险需求函数，他使用储蓄（财富减去用于消费的部分）中定期寿险保费支出的比例来表示寿险需求，在考虑保险、债券、股票等资产组合的情况下，通过求解离散模型的效用最大化条件得出寿险需求与一些变量的关系。文章认为，寿险需求（这里指定期寿险）与死亡率、遗产动机和未来预期劳动收入正相关。这与Yaari（1965）仅给出保险对于最优消费解的影响不同，是对Yaari（1965）的一个扩展。

Pissarides（1980）一文沿着Yaari（1965）构造的模型，着重考察了人寿保险对于财富——年龄关系的影响。该文把遗产看成人们在死亡前所积累的财富，使用财富——年

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龄生命周期模型考察了通过人寿保险为退休后进行储蓄的动机。文章指出，如果没有保险，消费和遗赠动机 的相互作用就会使得财富——年龄关系图类似于收入——年龄的一般关系图，由于收入是波动的，消费和遗赠都面临着很大的不确定性。而如果购买了保险，就会改变财富——年龄关系图，消除消费和遗赠动机对收入获得时间的依赖。与前述研究不同，Lewis（1989）一文假定人们购买寿险的目的是 使依靠其生活的人期望效用最大化而不是自身效用的最大化，文章给出了寿险需求函数的具体形式，认为家庭供养者的死亡概率、家庭成员消费的现值越大、家庭的风险厌恶程度越高，对寿险的消费也就越多；而保单附加因子越大、家庭净财富越多，寿险需求也就越少。

由此可见，人寿保险需求的理论研究是以消费理论作为出发点，从微观视角研究个人或家庭购买人寿保险的效用增进过程，并在此基础上得出影响人寿保险 需求的因素。

二、人寿保险需求模型

（一）Yaari的模型

Yaari（1965）首先将人的寿命不确定性引入消费决策的最优化分析。针对生命周期消费模型的寿命确定性假设问题，指出事实上人们并不能确切知道他能活多久，而这种寿命的不确定性会影响人们在生命周期消费效用最大化条件下的最优消费决策。Yaari根据是否考虑遗产动机分别构造了费雪效用函数和马歇尔效用函数，并比较了这两种情况下购买与不购买保险对最优消费解的影响。Yaari发现，通过购买年金保险，人们的最优边际消费率就与寿命确定性条件下的最优边际消费率相近似，或者会使消费回到类似确定条件下的最优状态，从而将不确定性下的消费决策转化为确定环境下的决策，特别是考虑到为依靠其生活的人（配偶或子女）留下充足的收入，购买保险能提高一生的效用。

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Yaari首先构造了所谓的费雪效用函数，来表示人们的整个生命周期消费效用。费雪效用函数为：

V(c)(t)gc(t)dt0T

其中，T表示人们存活T年；为非负实值贴现函数，区间为0,T，函数一阶可微；c表示消费计划，区间0,T上的实值函数，c(t)表示0,T上的任意t时刻的消费率；g为每时刻消费率的效用函数，在区间0,T上凹，二阶连续可微，一阶非负，二阶为负。

假定消费者各期偏好独立，初始财富为0，可以无限借贷，那么消费者在t时刻的净资产为：

S(t)expj(x)dxm()c()d0tt

其中，j()为时刻的利率，m()为t时刻的收入率，m，j均在0,T连续。消费计划c要满足三个条件：有限和可计算的；对于所有t0,T，c(t)0；

T0expj(x)dxm(t)c(t)dt0tT。

那么确定性情况下的最优消费问题为MaxV(c)，必须S(t)0。

一个简化的模型：

j(t)——j利率不随时间改变

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定义消费者的终生财富水平M：

得到

于是优化问题变为：

*c当不存在代际的损失时（没有浪费），第二个条件是束紧的。如果存在最优消费计划，

我们可以定义一个实值函数x，在消费c（t）>=0的区间内满足以下条件：

界定一个新的消费计划，不是c，为c。

*

4

围绕c进行一阶泰勒展开，得到：

*

要求

充要条件为：

分别求上式左右两端对时间t的导数，同时注意到k为常数，得到：

ej(tT)j(t)gc(t)e*j(tT)(t)gc(t)e•*j(tT)(t)gc(t)c(t)0

*•*化简得到：

*(t)gc(t)c(t)(j(t)(t))gc(t)

*•*•最终得到关于c(t)的表达式为：

•*•*c(t)(t)gc(t)j*(t)gc(t) •*5

如果最优消费计划c在0,T连续可微，并且为正，同时考虑相对复杂的情形，利率j

*随时间改变为j(t)，根据Yarri（1994），最优消费计划c满足：

*•*c(t)(t)gc(t)j(t)*(t)gc(t) •*如果人们考虑遗产动机，那么人们的生命周期消费函数为马歇尔效用函数：

U(c)(t)gc(t)dt(T)S(T)0T

其中，为遗产的效用函数，非递减，凹性，二阶连续可微，0；为遗产的主观权重函数。

Yaari分了四种情况考察了生命的不确定性下的人们最优消费计划，包括：状况A，不考虑遗产动机、不购买年金；状况B，考虑遗产动机、不购买年金；状况C，不考虑遗产动机、购买年金；状况D，考虑遗产动机，购买年金。

（1）状况A

如果生命是不确定的，那么T为随机变量，有从概率密度函数。为函数，对于所有t，(t)0，0T0,T上的实值

T0(t)dt1。那么，消费者在t时刻生存的概率为

t(t)()(t)()dt，

0tT。消费者t时刻生存，在时刻死亡的条件密度(t)，0tT，tT。

那么，相应的费雪效用函数为：

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TtTV(c)EV(c)(t)()gc()ddt(t)(t)gc(t)dt000

根据S的定义，有：S(t)m(t)c(t)j(t)S(t)。由S(t)0，可得，每当S(t)0，有S(t)0，因此c(t)m(t)。那么最优消费问题为：

Max(t)(t)gc(t)dt0T，

必须：对于所有t0,T，c(t)0；

每逢S(t)0，c(t)m(t)；有S(T)0

在Yaari的原文中将这种问题归为Fisher Problem，采用上述简化模型处理的方法可以得到c(t)。

•*

根据变分的欧拉方程条件，可知，最优消费解满足：

gc*(t)(t)c*(t)j(t)t(t)*(t)gc(t)

同时注意到，上述问题的本质是一个变分法问题，而对于此类问题，近年来发展起来的最优控制理论和方法可以很好的解决，还可以为这一系列问题提供一个相对统一的研究框架。因此，在状况A和状况B，我们采用最优控制的方法进行求解。1

在状况A中，目标函数和约束条件可以表示为：

1

最优控制的理论和方法详见本节阅读材料。

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TMax(t)(t)gc(t)dt0s..tS(t)m(t)c(t)j(t)S(t)S(t)0S(T)0

基于上述问题，我们可以建立起最优控制问题的汉密尔顿函数：

H(t)(t)(t)gc(t)(t)[m(t)c(t)j(t)S(t)]

一阶条件要求：

(t)(t)g'c(t)(t)

欧拉方程要求：

(t)j(t)(t)

对上述两个方程进行相应的运算和化简，得到：

(t)(t)gc(t)(t)c(t)j(t)(t)(t)gc(t)(t)

则最优的消费路径c(t)为：

•*c*(t)(t)(t)gc(t)j(t)*(t)(t)gc(t)

*8

又因为

同时注意到积分上下限的约束，最终得到：

gc*(t)(t)c*(t)j(t)t(t)*(t)gc(t)

（2）状况B

很明显，相应的马歇尔效用函数为：

U(c)EU(c)T0(t)(t)gc(t)(t)(t)S(t)dt

最优消费问题为：MaxU(c)，必须：c(t)0。

**c(t)S同样，最优解和(t)满足：

gc*(t)(t)(t)S*(t)(t)c*(t)j(t)tt*t*(t)a(t)gc(t)gc(t)

*S(t)m(t)c*(t)j(t)S*(t)

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在状况B中，目标函数和约束条件可以表示为：

MaxT0{(t)(t)gc(t)(t)(t)S(t)}dts..tS(t)m(t)c(t)j(t)S(t)S(t)0S(T)0

基于上述问题，我们可以建立起最优控制问题的汉密尔顿函数：H(t)(t)(t)gc(t)(t)(t)S(t)(t)[m(t)c(t)j(t)S(t)](t)(t)g'c(t)(t)

欧拉方程要求：

(t)(t)(t)'S(t)j(t)(t)

对上述两个方程进行相应的运算和化简，得到：

(t)(t)g(t)(t)'S(t)(t)(t)(t)c(t)gc(t)c(t)(j(t)(t))(t)

•*则最优的消费路径c(t)为：

c*(t)j(t)(t)(t)(t)(t)'S(t)gc*(t)(t)(t)(t)*gc(t)

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一阶条件要求：

又因为

同时注意到积分上下限的约束，得到：

gc*(t)(t)(t)'S(t)(t)c*(t)j(t)t(t)*(t)(t)gc(t)

如果我们将上式分开写，则可以得到：

gc(t)c(t)(t)(t)'S(t)g(t)*c(t)[j(t)t(t)]**(t)(t)ggc(t)c(t)**

由一阶条件变形可知：

g'c(t)(t)1(t)(t)，将其带入上式，可得到：

gc(t)(t)1(t)(t)'S(t)*c(t)[j(t)t(t)]**(t)(t)(t)gc(t)gc(t)*

再利用，最终得到：

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gc*(t)(t)(t)S*(t)(t)c*(t)j(t)tt*t*(t)gc(t)a(t)gc(t)

（3）状况C

r(t)表示购买的年金在t时刻的精算利率。如果保险者购买年金保险，那么消费者在t时

刻的保险储备

Q(t)expr(x)dxm()c()d00tt。如果假定消费者处于非饱和

（non-saturation）状态，那么有：

TTTtQ(T)expr(s)dxm(t)c(t)dtexpr(x)dxm(t)c(t)dt00000

最优问题为：

Max(t)(t)gc(t)0T

必须：对于所有t，c(t)0；

T0texpr(x)dxm(t)c(t)dt00。

gc*(t)(t)c(t)r(t)t(t)*(t)gc(t)那么最优解满足：。又可以证明，r(t)j(t)t(t)，那

*么最优解条件变为：

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*c(t)(t)gcj(t)*(t)gc(t) *（4）状况D

与状况B类似，马歇尔效用函数为：

U(c,S)T0(t)(t)gc(t)(t)(t)S(t)dt

如果消费者购买保险，那么在t时刻的总财富为：R(t)S(t)Q(t)。其中，

R(t)m()c()dr()Q()dj()S()d000tttt，又r()j()t()，所以：

R(t)m()c()dr()R()d()S()000tt，该式等价于：

R(t)expr(x)dxm()c()()S()d00tt

在非饱和条件下，Q(t)0，所以R(t)S(t)。假定对于所有t，S(t)很小，那么，令tT，变换积分上下限，很容易得到：

最优问题为：

T0texpr(x)dxm(t)c(t)t(t)S(t)d00

MaxU(c,S)T0(t)(t)gc(t)(t)(t)S(t)dt

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必须：对于所有t，c(t)0；

那么最优解满足：

T0texpr(x)dxm(t)c(t)t(t)S(t)d00

c*(t)(t)gc(t)j(t)*(t)gc(t)

*S*(t)(t)S(t)j(t)*(t)S(t)

*2．Yaari的结论

我们发现人们面临着生命的不确定性（由t(t)表示）会降低人们的最优边际消费率

gc*(t)(t)(t)j(t)t(t)*(t)gc(t)，从而使得人们减少消费。换句话说，如果我们把(t)看作是

(t)t(t)(t)，显然确定性下的人们消费主观贴现率，那么不确定下的主观消费贴现率为

后者大于前者，人们会减少消费。

在人们面临生命不确定时，如果购买年金，那么人们的最优边际消费率近似为

c*(t)c*(t)(t)(t)ggc(t)j(t)j(t)**(t)(t)gc(t)gc(t)，与确定性下的最优边际消费率形式上相

*同。如果我们不考虑具体解的积分常数差异，那么这两种情况下的最优消费解c(t)是接近的。

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也就是说，购买保险可以减轻寿命的不确定性对于生命周期消费的影响。Yaari还证明了，状况C比状况A存在福利改进，这表明购买保险会增进人们的福利。

延伸阅读：国外人寿保险需求实证研究简介

有关寿险需求的实证研究多是从理论研究成果中解析出或进一步添加一些具体的变量，试图考察这些影响因素的显著性。实际上，Lewis（1989）的模型中提出的家庭供养者的死亡概率、经济依赖者的消费水平、风险厌恶程度、寿险保单的附加因子等因素直接影响到寿险需求的保障或储蓄动机，而这些因素又是由其他一些具体因素所影响或决定的。如，经济依赖者的总体消费水平受人口负担比率、收入水平的影响；风险厌恶程度受教育水平、信仰、社会文化心理因素等的影响；寿险保单的附加因子受城市化、税收以及保险供给方面的效率等因素的影响。

Hammond等人（1967）的研究使用1952 年和1961年对美国家庭的调查数据进行的实证研究发现，寿险保费支出和家庭经济、人口特征变量，如收入、净财产持有、家庭组成、婚姻状况、户主教育、职业及所处生命周期显著相关。Truett 和Truett（1990）一文假定理论研究中的遗赠动机是年龄、家庭中需要抚养的人口、未来的经济需要、未来 死亡的概率、家庭的心理特征（包括道义责任和受教育水平）等因素的函数，并对这些变量的显著性进行实证检验。结果发现，人口的平均年龄（或 25－64 岁 人口比例）、平均受教育年限、实际人均收入解释了美国和墨西哥寿险需求的差异，三者均与寿险需求显著正相关。

Browne和Kim（1993）的论文，采用1980、1987年45个发达和发展中国家的截面数据，考察了国民收入和财富、抚养率、国民收入、政府的社会保障支出、通货膨胀率、保险价格以及宗教等对寿险需求的影响。结果表明，收入、抚养率和社会保障对寿险需求

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存在显著的正面影响，保单价格对寿险需求存在显著的负面影响；穆斯林宗教对寿险需求存在负面影响，教育对寿险需求存在正面影响，但它们仅在部分模型中显著；预期寿命对寿险需求的影响在三个模型中均不显著。

Outreville（1996）一文采用48个发展中国家1986年的寿险业及其它相关数据，分别建立了原数据及对数形式的多元线性回归模型。结果表明，收入、预期寿命和金融业发展对寿险 需求存在正面影响；预期通货膨胀率、市场垄断对寿险需求存在负面影响；实际 利率和外资保险人的存在对寿险需求的影响不显著。

Ward和Zurburuegg（2002）使用亚洲37个国家1987－1998年的数据，采用混合截面和面板数据对寿险需求的影响因素进行了实证分析，结果表明，民事权利的增加和政治环境的稳定促进了亚洲国家的寿险需求，教育水平、预期寿命、金融发展等与寿险需求正相关，预期通货膨胀、社会保障等与寿险需求负相关。

Beck和Webb（2003）采用68个国家1961-2000年的面板数据，研究了人均收入水平、通货膨胀率、教育水平、老年 和幼年负担比率、期望寿命、银行发展水平对寿险需求的影响。结果表明，各国 的寿险深度可以用收入水平、老年负担比率、银行业发展水平和通货膨胀率来解 释，除通货膨胀与之负相关外，其他三者均正相关。教育、预期寿命和幼年负担 比率对寿险深度的影响不显著。加入其它变量后，他们发现利率与寿险深度正相 关，城市化、基尼系数、社会保障、革命和政变、法规等不能解释各国寿险深度 的不同。

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