正弦定理与余弦定理教案

板块一【正弦定理】 1、正弦定理

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc2R（注：为△ABC外接圆半径） sinAsinBsinC2、解决的问题

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 3、三角形中的隐含条件：

（1）在△ABC中，abc,abc(两边之和大于第三边，两边只差小于第三边) （2）在△ABC中，

ABsinAsinB；ABcosAcosB；abAB

（3）在△ABC中，

ABCsin(AB)sinC，cos(AB)cosC,

sinABCcos 22题型一：解三角形 例1：（1）在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形；

（2）在△ABC中，B=30°，C=45°，c=1,求b的值及三角形外接圆的半径。

4、正弦定理常见变形：

（1）边化角公式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC

5.三角形中常用的面积公式

abc，sinB，sinC 2R2R2R（3）a:b:csinA:sinB:sinC

abcabc2R （4）

sinAsinBsinCsinAsinBsinCabacbc，，(5)

sinAsinBsinAsinCsinBsinC

（2）角化边公式：sinA1

(1)S＝ah(h表示边a上的高)．

2111

(2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B.

222题型二：判断三角形的形状 例2：若

sinAcosBcosC,则△ABC为（ ） abcA.等边三角形 B.等腰三角形

C.有一个内角为30°的直角三角形 D. 有一个内角为30°的等腰三角形

例3、在△ABC中，若sinA2sinBcosC,且sin2Asin2Bsin2C,试判断△ABC的形状。

题型三：范围与最值问题

例4：设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2bsinA （1） 求B得大小；

（2） 求cosAsinC的取值范围。

题型四：正弦定理与三角恒等变换 例5：设函数f(x)13sinxcosx,xR. 22（1）求函数f(x)的最小正周期和值域；

（2）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(A)求C得值。

6.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

A为锐角 33,且ab, 22A为钝角或直角 图形 bsin A＜a＜b 两解 a≥b 一解 a＞b 一解 关系式 解的个数 a＝bsin A 一解 例1：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（ ）

A.a8,b16,A30有两解 B. b18,c20,B60有一解 C. a15,b2,A90无解 D. a30,b25,A150有一解

例2、在△ABC中，已知下列条件，解三角形： （1）a10，b20，A60； （2）b10 ，c56，C60；（3）a

【课堂精炼】

1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝2，则b等于( )

A.6 B.2 C.3 D．26

2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )

32

A．42 B．43 C．46 D.

3

3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )

11

A．1 B. C．2 D. 24

4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )

A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )

A.6 B．2 C.3 D.2 6．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )

A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定

cos Ab

7．在△ABC中，若＝，则△ABC是( )

cos Ba

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

π

8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝，则A＝________.

3

2，b3，A45；439．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.

3

10．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.

11．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．

版块二【余弦定理】

1、在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C

b2c2a2a2c2b2a2b2c22、余弦定理的推论：cos，cos，cosC．

2bc2ab2ac3、设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若a2b2c2，则C90； ②若a2b2c2，则C90；③若a2b2c2，则C90．

4、解决的问题：

（1）已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角

【例题精炼】

例1、C中，已知边a、b、c，满足下列关系，完成下列填空：

222⑴如果cab，则角C______________；

222⑵如果cabab，则角C____________；

222⑶如果cabab，则角C____________；

222⑷如果cab3ab，则角C___________； 222⑸如果cab3ab，则角C____________；

222⑹如果cab2ab，则角C____________； 222⑺如果cab2ab，则角C____________．

例2、已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程2x23x20的根，则第三边的长是____________．

例3、在C中，已知a3，b

例4、在C中，30，23，三角形面积S3，求C．

例5、在C中，若abcbca3bc，则____________． 例6、C中，已知面积为【课堂精炼】

1、在C中，角、、C的对边分别为a、b、c，已知则c等于（ ）

A．1 B．2 C．31 D．3 2222、在C中，acbab，则C等于（ ）

2，45，求、C及c．

12ab2c2，则角C的度数是_____________． 43，a3，b1，

A．60 B．45或135 C．120 D．30

3、在C中，sin:sin:sinC3:2:4，则cosC等于（ ） A．1 4B．

12 C． 43D．

2 3C的三个内角、C的对边分别是a、b、4、若60，75，a23，c，、

则c的值为（ ） A．2

B．4

C．22 D．不确定

5、C的内角、、C的对边分别为a、b、c，若b2ac，且c2a，则cos等于（ ） A．

1 4B．

322 C． D． 4436、在C中，已知a2b2bcc2，则角为（ ） A．

 3B．

22 C． D．或

33637，c2，那么等于（ ）

C．60

D．120

7、在C中，a3，bA．30

B．45

8、若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（ ）

A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形

2229、在C中，若bcbca0，则（ ）

A．30 B．60 C．120 D．150

10、在C中，如果a6，b63，30，则c（ ） A．6

B．12

C．6或12

D．无解

11、在C中三边之比a:b:c2:3:19，则C中最大角的大小为（ ） A．

 2B．

2 3C．

3 4D．

5 612、在C中，3，C13，C4，则边C上的高为（ ）

A．

32 2B．333 C．

22D．33 C中，C的最大角的度数为13、在若a31，则（ ） c10，b31，

A．120 B．90 C．60 D．150 14、在C中，5，C6，C8，则C的形状是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形 15、在C中，60，b1，SC3，则a____________． sin16、在C中，a33，c2，150，则b____________．

正余弦定理综合练习

一、选择题

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a=2，b=4，B=60°，则sinA=（ ） A．

B．

C．

D．

，

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sinB=2sinA，且则△ABC的面积为（ ） A．

B．

C．

D．

3．△ABC三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a＜b且2asinB=b，则角A等于（ ） A．

B．

C．

D．

或

4．在△ABC中，sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，则角C等于（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150° 5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足A=（ ） A．

B．

C．

D．

或

=

，则

6．已知△ABC的角A、B、C所对边的边为a，b，c，acosA=bcosB，则该三角形现状为（ ） A．直角三角形

B．等腰三角形

D．直角三角形或等腰三角形

，

C．等腰直角三角形

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知sin C=sin 2B，且b=2，c=则a等于（ ） A．

B．

C．2 D．2

8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosC+sinC﹣则A．

的值是（ ） ﹣1

B．

+1 C．

+1

D．2

=0，

9．设△ABC的内角A，B，C分别对应边a，b，c．若c2=（a﹣b）2+6，角C=（ ） A．

B．

C．

D．

，则

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a2﹣c2=2b，且sinA•cosC=3cosA•sinC，则b的值为（ ） A．4

B．5 C．6

D．7

，若△ABC

11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC﹣cosC=1﹣cos的面积S=A．2

+5

（a+b）sinC= B．

，则△ABC的周长为（ ） +5

C．2

+3 D．

+3

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin积为A．2

，且 B．3

，则c的值为（ ）

C．2

，若△ABC的面

D．4

，

13．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2+c2﹣b2=ac，

，则a+c的取值范围是（ ） A．（2，3） B．

14．设O为△ABC的外心，且5A．

B．

C．

C．（1，3） D．（1，3]

，则△ABC的内角C的值为（ ） D．

15．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD=3BD，AD+AC=BD+BC=2，CD=A．

，则cosA=（ ） B．

C．

D．0

16．在△ABC中，已知其面积为S=a2﹣（b﹣c）2，则cosA=（ ） A．

B．

C．

D．

17．△ABC的三边长分别是a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的面积为（ ）

A．25π B．5π 二．填空题

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B=sin2C﹣sinA=

，若c﹣a=5﹣

，则b= ．

sinA•sinB，

C．

D．

19．某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，然后该船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，此时船到灯塔D的距离为 海里．（用根式表示）

20．△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积

，则三角形外接圆的半径为 ．

，sinB=

sinC，

21．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣则边c= ． 三．解答题

22．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若

，求△ABC的面积S．

．

23．在△ABC中，（Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若a=4，b=2

sin2B=2sin2B

，求c的值．

24．已知在△ABC中，△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=0，C=

．

（1）求cosB的值； （2）若

=16，求b的值．

25．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB． （1）求A的大小； （2）若

26．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=

，△ABC的面积为

，求△ABC的周长．

，求△ABC的面积．

27．如图，在△ABC中，（1）求AD的长；

，D是BC边上一点，且．

（2）若CD=10，求AC的长及△ACD的面积．

28．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣asinB=0． （1）求角A的大小； （2）已知

，△ABC的面积为1，求边a．

29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为，b

﹣a=1，cos C=﹣

．

（1）求c和sin A的值； （2）求cos（2C+）的值．

30．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求cosC的值；

（2）若a=15，D为边AB上的点，且2AD=BD，求CD的长．

．

31．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量=（sinB+sinC，sinA﹣sinB），=（sinB﹣sinC，sinA），且⊥． （I）求角C的大小； （II）若s

32．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB （1）求cosB的值； （2）若

=2，求三角形ABC的面积S△ABC的值． ，求cosB的值．

33．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且（1）求角B；

（2）求边长b的最小值．

34．已知向量=（

sin

，1），

=，且a+c=2

，记f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．

35．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（a﹣b）sinA=csinC﹣bsinB． （Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若△ABC的周长为6，求△ABC的面积的最大值．

36．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（1）求∠B的大小； （2）若

，且

，求△ABC面积的最大值．

．