一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题
1．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2.
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3. 2．某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是________.
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？ 如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由.
3．如图，有一个边长为a的大正方形与两个边长均为b的小正方形(a>b)，按如图1、2所示的方式摆放，设图1中阴影部分的面积之和为S1 ， 图2中阴影部分的面积为S2。
（1）用含a，b的代数式表示S1与S2(结果要化为最简形式)。 （2）当S1+3S2= b²时，求a：b的值。
4．如图，长方形ABCD中，AB=x(6 （3）若2S1+3S2=5S3 ， 且AD比AB长1，求长方形ABCD的面积． 5．阅读下列材料: 对于多项式x2+x-2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有因式(x-1):同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2)，于是我们可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2) 又如:对于多项式2x2-3x-2，发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因 式(x-2)，我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我们可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1) 请你根据以上材料，解答以下问题: （1）当x=________时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式________ ，从而因式分解6x2-x-5=________. （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6 （3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想: 代数式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________ ， ________ ， ________ ，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3= ________。 6．观察下列一组等式，然后解答后面的问题 ， ， ， （1）观察以上规律，请写出第 个等式：________ 为正整数）． （2）利用上面的规律，计算： （3）请利用上面的规律，比较 与 的大小． 7．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式． 三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系． （3）根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题： ①当a+b＝5，ab＝﹣6时，则a﹣b的值为________． ②设 （2）用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这 ，B＝x﹣2y﹣3，计算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的结果________． 8．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32-12 ， 16=52-32 ， 24=72-52 ， 因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”． （1）在32，75，80这三个数中，是和谐数的是________； （2）若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和 为________； （3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否符合题意． 9．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2 ． （1）图③可以解释为等式：________． （2）图④中阴影部分的面积为________．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是________． （3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形； ①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示） ②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系． 10．如图所示,在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路. （1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下： 方法①：________ 方法②：________ 请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母a，b代数式的等式是：________ （2）根据（1）中的等式，解决如下问题： ①已知： ②己知： ，求 的值； ，求 的值. 11．提出问题：“周长一定的长方形，当邻边长度满足什么条件时面积最大？” 探究发现：如图所示，小敏用4个完全相同的、邻边长度分别为a、b的长方形拼成一个边长为（a+b）的正方形（其中a、b的和不变，但a、b的数值及两者的大小关系都可以变化）.仔细观察拼图，我们发现，如果右图中间有空白图形F，那么它一定是正方形 （1）空白图形F的边长为________； （2）通过计算左右两个图形的面积，我们发现（a+b）2、（a﹣b）2和ab之间存在一个等量关系式. ①这个关系式是________； ②已知数x、y满足：x+y＝6，xy＝ ，则x﹣y＝________； 问题解决： 问题：“周长一定的长方形，当邻边长度满足什么条件时面积最大？” ①对于周长一定的长方形，设周长是20，则长a和宽b的和是________面积S＝ab的最大值为________，此时a、b的关系是________； ②对于周长为L的长方形，面积的最大值为________. 活动经验： 周长一定的长方形，当邻边长度a、b满足________时面积最大. 12． （1）填空： ________ ； ________ ； ________ ； （2）猜想： （a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）= ________（其中n为正整数，且n≥2）； （3）利用（2）猜想的结论计算： ①29+28+27+…+22+2+1 ②210-29+28-…-23+22-2． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题 1．（1）解：由图可得，S1＝a2﹣b2 ， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab （2）解：S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10， 解析： （1）解：由图可得，S1＝a2﹣b2 ， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab （2）解：S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40 （3）解：由图可得，S3＝a2+b2﹣ b（a+b）﹣ a2＝ （a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝ ×30＝15. 【解析】【分析】（1）用边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积即为S1 ， 用边长为a的正方形的面积减去一个边长分别为a、（a－b）的长方形的面积再减去两个边长分别为b、（a－b）的长方形的面积即为S2 ， 据此解答即可； （2）先计算S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再将a+b＝10，ab＝20整体代入计算即可；（3）先计算S3＝ （a2+b2﹣ab），然后由S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积. 2．（1） （2）a2+b2+2ab=(a+b)2 （3）解：能拼成长方形. 如图.（不止一种）画图正确得分. 等式： 2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b) . （等式左右两边交换不扣分） 解析： （1）（2） （3）解：能拼成长方形. 如图.（不止一种）画图正确得分. 等式： （等式左右两边交换不扣分） 【解析】【分析】 (1) 图1阴影部分面积为S1=a2-b2 ， 图1阴影部分面积为 . S2= ; ， 根据展开前后图形的面积相等得到S1=S2 ， 所以 (2) 图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab，图4的面积S4=(a+b)2,因为图4为图3的四个图形拼成，所以S3=S4 ， 即 ； . (3) 图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab，画出的长方形的面积S=(a+b)(2a+b)，因为画出的长方形为图5的六个图形拼成，所以S5=S， 即 3．（1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a²-8ab+6b² S2=b²-(a-b)2=2ab-a2 （2）解：∵S1+3S2= 72 b²， ∴3a2-8ab+6b2+3( 解析： （1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a²-8ab+6b² S2=b²-(a-b)2=2ab-a2 （2）解：∵S1+3S2= b²， ∴3a2-8ab+6b2+3(2ab-a²)= b2 化简得：5b2=4ab， ∵b≠0， ∴两边同除以b，得：5b=4a， ∴a：b=5：4 【解析】【分析】（1）根据图1可知左下角及右上角两个图形是全等的正方形，其边长为（a-b），中间的小正方形应该是 (2b-a) ，然后根据正方形面积的计算方法即可列出算式 S1=2(a-b)2+(2b-a)2 ，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；由图2可知：阴影部分的面积=边长为b的正方形的面积-边长为（a-b）的正方形的面积，从而根据正方形面积的计算方法即可列出算式，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可； （2）根据（1）的计算结果，由 S1+3S2= b² 列出方程，化简即可得出答案. 4．（1） ；9-y ；y-3 （2）解： FG=EB=x-6, IP=KG=9-y, IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x, ∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x), LN=GD=KD-K 解析： （1） ；9-y ；y-3 （2）解： FG=EB=x-6, IP=KG=9-y, IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x, ∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x), LN=GD=KD-KG=3-（9-y）=y-6, ∴S3=LN×NH=(y-6)(x-6), ∵S2=S3 ， ∴(9-y)(9-x)=(y-6)(x-6), 81-9y-9x+xy=xy-6x-6y+36 3(x+y)=81, x+y=27. ∴ 长方形ABCD的周长 =2(x+y)=54. （3）解： S1=EB×BJ=(x-6)(y-3), 由 2S1+3S2=5S3得， 2(x-6)(y-3)+3(9-y)(9-x)=5(y-6)(x-6), 整理得：3y-x=33, ∵y=x+1, 解得x=15, y=16, 则长方形ABCD的面积=xy=15×16=240. 【解析】【解答】 【解答】（1）由图可知， AG+KD=AG+GD+KG=AD+KG，即6+3=y+KG, ∴KG=9-y, 由图可知，BJ=AK=AG-KG=6-（9-y）=y-3, NH=DC-DN-HC=AB-2DN=x-6, 则MH= ; 【分析】（1）根据线段之间的关系，结合正方形的性质推得AG+KD=AD+KG，求出KG=KG=9-y,由BJ=AK=AG-KG，从而求得BG=y-3； （2）根据已求线段的值，结合线段之间的关系，把IP和IQ，LN和NH分别用含x和y的代数式表示，根据S2=S3列式，求得x+y=27, 则矩形的周长可求； （3）把S1、S2和S3分别用含x和y的代数式表示，根据2S1+3S2=5S3列式， 结合y=x+1,从而解出x、y则可求出长方形ABCD的面积. 5．（1）1；x-1；(x-1)(6x+5) （2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3) ②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3) （3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-( 解析： （1）1；x-1；(x-1)(6x+5) （2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3) ②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3) （3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(y-2)3-(x-y)3=3(x-2)(y-2)(x-y) 【解析】【分析】（1）根据阅读材料可知当x=1时多项式6x2-x-5的值为0，从而可得到多项式6x2-x-5的一个因式为（x-1）即可将此多项式分解因式。 （2）将x=-1代入2x2+5x+3，可知其值为0，因此可将此多项式分解因式；将x=1代入 x3-7x+6，可知 x3-7x+6=0，再将x=2代入，可知x3-7x+6=0，从而可将其多项式进行分解因式。 （2）利用试根法 ，将已知多项式进行分解因式即可。 6．（1）(n+1+n)(n+1-n)=1 （2）解：原式 （3）解： ， ， 119+18<118+17 ， ． 【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第 n 个等式为 (n 解析： （1）（2）解：原式 （3）解： ， ， ， ． 个等式为 【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第 ； 故答案为： ； 【分析】（1）根据已知等式，可得第 个等式为 （2）利用分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减计算即得； （3）先求出 的大小，从而得出结论. 7．（1）图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 图3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ， （2）图4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab （3 解析： （1）图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 图3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ， （2）图4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab （3）±7；∵ ，B＝x﹣2y﹣3， ×（x﹣2y﹣3）＝（x+2y﹣3）（x﹣2y﹣3）＝ ∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4×A×B＝4× [（x﹣3）+2y][（x﹣3）﹣2y]＝x2﹣6x+9﹣4y2 ． 【解析】【解答】（3）①由（2）知：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， ∵a+b＝5，ab＝﹣6， ∴52﹣（a﹣b）2＝4×（﹣6）， （a﹣b）2＝25+24＝49， ∴a﹣b＝±7， 故答案为：±7； 【分析】（1）根据图形面积直接得出即可；（2）用两种方法表示阴影部分的面积可得结论；（3）①根据（2）中的等量关系代入计算可得结论；②同理根据（2）中的公式代入可得结论． 8．（1）32；80 （2）100 （3）证明：∵ , ∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的． 【解析】【解答】解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为 2n+1 ， ， 解析： （1）32；80 （2）100 （3）证明：∵ ∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的． 【解析】【解答】解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为 ， 则 和 谐 数 可 表 示 为 , ， ： ，（其中 表示正整 数） ∴“和谐数”就是8的正整数倍， ∴32，80是和谐数，75不是和谐数，且32=92-72 ， 80=212-192 ， 故答案为：32；80.（2）∵ ∴ ∴ ， ， ， 200，即 200， ∵49+51=100， ∴这两个连续奇数的和为100， 故答案为：100. 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设出一般的情况，看和谐数应满足什么条件，以此条件判断32，75，80这三个数中，哪些数是和谐数；（2）用字母表示两个连续奇数与和谐数，由和谐数是200，列出方程，解出即得到这两个连续的奇数，从而可以求得这两个连续奇数的和；（3）用字母表示两个连续奇数与和谐数，通过化简，可以证明结论成立． 9．（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2 （2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab （3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S， 解析： （1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2 （2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab （3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S， ∴大长方形的面积＝（3a+b）（4+b）＝7ab+4×3a+4×3a﹣S， ∴S＝4ab﹣4b+12a﹣b2； ②设AB＝m， ∴大长方形的面积＝（3a+b）（m+b）＝7ab+3ma+3ma﹣S， ∴S＝4ab﹣b2+m（3a﹣b）， ∵若AB为任意值，且①中的S的值为定值， ∴3a＝b. 【解析】【解答】解：（1）根据图可知长方形面积有（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2； 故答案为（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2； （ 2 ）④图中阴影部分面积是（a﹣b）2 ， 根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为（a﹣b）2 ， （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； 【分析】（1）根据图形面积可知（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2；（2）根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积，得到（a-b）2=（a+b）2-4ab；（3）①大长方形的面积=（3a+b）（4+b）=7ab+4×3a+4×3a-S；②设AB=m，大长方形的面积=（3a+b）（m+b）=7ab+3ma+3ma-S，3a-b=0； 10．（1）（a-b）2；a2-2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2 （2）解：①把 代入 ∴ 52=20-2ab ， ∴ ab=-2.5 ②原式可化为： ∴ ∴ 2(x 解析： （1）（a-b）2；a2-2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2 （2）解：①把 ∴ ∴ ． ， 代入 ②原式可化为： ∴ ∴ ∴ 【解析】【解答】解：（1）方法①：草坪的面积=（a-b）（a-b）= 方法②：草坪的面积= 等式为： 故答案为： ， ； ； 【分析】（1）方法①是根据已知条件先表示出矩形的长和宽，再根据矩形的面积公式即可得出答案；方法②是正方形的面积减去两条道路的面积，即可得出剩余草坪的面积；根据（1）得出的结论可得出 ；（2）①分别把 的值和 的值代入（1）中等式，即可得到答案；②根据题意，把（x-2018）和（x-2020） 变成（x-2019）的形式，然后计算完全平方公式，展开后即可得到答案. 11．（1）a﹣b （2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；5或﹣5；10；25；a＝b；116 L2；a＝b 【解析】【解答】（1）由图可知：空白图形F的边长为：a﹣b， 故答案为：a﹣b； 解析： （1）a﹣b （2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；5或﹣5；10；25；a＝b； L2；a＝b 【解析】【解答】（1）由图可知：空白图形F的边长为：a﹣b， 故答案为：a﹣b； （ 2 ）①左图形的面积为：2a×2b＝4ab， 右图形的面积为：（a+b）2﹣（a﹣b）2 ， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； ②由（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， 即：62﹣（x﹣y）2＝4× ， ∴（x﹣y）2＝25， ∴x﹣y＝5或x﹣y＝﹣5， 故答案为：5或﹣5； 问题解决： 解：①∵长方形的周长是20， ∴2（a+b）＝20， ∴a+b＝10，则b＝10﹣a， ∴面积S＝ab＝a（10﹣a）＝﹣a2+10a＝﹣（a﹣5）2+25， ∴a＝5时，S＝ab的最大值为25， 此时a、b的关系是a＝b， 故答案为：10，25，a＝b； ②对于周长为L的长方形， 设一边长为a，则邻边长为 ﹣a， ∴面积 ； ∴面积的最大值为 L2； 故答案为： L2； 活动经验： 解：周长一定的长方形，当邻边长度a、b满足a＝b时面积最大； 故答案为：a＝b. 【分析】探究发现（1）由图可知：空白图形F的边长为：a-b；（2）①由矩形的性质得出左图形的面积为：2a×2b=4ab，由正方形的性质得出右图形的面积为：（a+b）2-（a-b） 2 ， 即可得出答案；②由①得出（x-y）2=25，即可得出答案；问题解决①由长方形的性 质得出a+b=10，面积S=ab=a（10-a）=-a2+10a=-（a-5）2+25，由二次函数的性质即可得出答案；②由长方形的性质得出面积 函数的性质即可得出答案；活动经验根据前面的问题即可得出结论. ；由二次 12．（1）a2－b2；a3－b3；a4－b4 （2）an－bn （3）解：①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋1 解析： （1）a2－b2；a3－b3；a4－b4 （2）an－bn （3）解：①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋19)＝210－110＝210－1＝1023. ②210－29＋28－…－23＋22－2＝ ×[2－(－1)]×[210＋29×(－1)1＋28×(－1)2＋…＋23×(－1)7＋22×(－1)8＋2×(－1)9＋(－1)10－1]＝ ×[211－(－1)11]－ ×3×1＝682. 【解析】【解答】解：（1）(a－b)(a＋b)＝a2－b2； ； ；（2）由（1）可得，(a－b)(an1＋an2b＋an3b2＋…＋abn2＋bn1)＝an－bn； － － － － － 【分析】(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可;(2)根据(1)的规律可得结果;(3)原式变形后,利用(2)得出的规律计算即可得到结果. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容