总分：150分 答题时间：120分钟 日期：2016年1月6日
姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________
说明：本试卷适合高一学生使用，难度：中等
一、选择题（共12小题；共60分） 1. 设集合
，集合
．若
中恰含
有一个整数，则实数 的取值范围是 ( )
2. 函数
3. 已知向量
4. 已知函数 ①若 ② ③ ④ ⑤当
，则
的最小正周期是 在区间 的图象关于直线
时，
；
上是增函数；
对称； 的值域为
．
，给出下列命题：
；
A.
，
B.
，
，则 C.
( )
D.
A. B. C. D.
的定义域为 ，则 的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
其中真命题是 ( ) 5. 设
是锐角三角形的两个互不相等的内角，若
则 ，， 的大小关系是 ( )
A.
B.
C.
D.
，
，
A. ①②④
B. ③④⑤
C. ①②③
D. ①③④
6. 定义函数 ，，则称函数
，若存在常数 ，对任意的 在 上的均值为 ．已知
，存在唯一的
，
，使得 ，则函数
在
7. 已知函数 时，函数 8. 设 函数 9. 若
10. 在
11. 某学生对函数
中，若
A. A. C. A.
上的均值为 ( ) B.
（，
，
C.
D.
，当
均为正的常数）的最小正周期为
取得最小值，则下列结论正确的是 ( )
B. D.
时，
，则
是定义在 上以 为周期的偶函数，已知 在
上 ( )
A. 是增函数，且 C. 是减函数，且
B. 是增函数，且 D. 是减函数，且
，则
B.
( )
C.
，则
D.
的形状一定是 ( ) B. 直角三角形 D. 等边三角形
A. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形
进行研究后，得出如下四个结论：（1）函数
，使
在
上单调递增；（2）存在常数 （3）函数
12. 已知 为
一定是 ( )
二、填空题（共4小题；共16分） 13.
A. 直角三角形
在
对一切实数 都成立；
是函数 D. （1）（2）（4）
，则
D. 不能确定
上无最小值，但一定有最大值；（4）点 B. （2）（3） 内一点，若对任意
B. 钝角三角形
C. （2）（4） ，恒有 C. 锐角三角形
图象的一个对称中心．其中正确的是 ( ) A. （1）（3）
是边长为 的等边三角形，已知向量 ， 满足 ，，则下列
结论中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
① 为单位向量；② 为单位向量；③ ；④ ；⑤ ．
14. 化简：
15. 设 为锐角，若
16. 若等边
． ，则
的边长为
的值为 ．
满足
，则
，平面内一点
．
三、解答题（共6小题；共74分） 17. 已知全集
(1) 求 (2) 求
18. 设向量
(1) 若 与 (2) 求 (3) 若
19. 在斜三角形
中，
．
(1) 求角 的大小； (2) 若
20. 已知函数
(1) 求函数 (2) 将函数 数
的最小正周期；
的图象向右平移 个单位长度，再向下平移
的最大值为 ．
个单位长度后得到函
．
，且
，求
的面积．
，
垂直，求 的最大值；
，求证：
．
， 的值；
．
，集合 ；
．
，
．
的图象，且函数
的解析式；
① 求函数
21. 已知函数
(1) 若 析式； (2) 若存在实数
② 证明：存在无穷多个互不相同的正整数 ，使得
．
．
在一个周期内的图象如图所示，且 ，，试写出函数 的解
，（其中 ，，）使得函数 是奇函数，且在
上是增函数，求出所有的
， 的值．
22. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，，， 三点满足
(1) 求证：，， 三点共线； (2) 已知
，
，
，
．
的
最小值为 ，求实数 的值．
答案
第一部分
1. B 2. A 3. C 4. B 5. A 6. A 7. A 8. D 9. C 10. C 11. B 12. A 第二部分 13. ①④⑤ 14. 15. 16. 第三部分 17. (1) 由 由 故
17. (2) 因为 所以 所以
18. (1) 因为 与
垂直，所以
因此
18. (2) 由
得
又当 18. (3) 由
时，等号成立，所以
的最大值为
．
，
． ，
，解得
，得
或
．
．
，解得
．
得
所以
19. (1) 由题意知
则
化简得 即 所以 19. (2) 由
又斜三角形内 由正弦定理得 所以 所以
20. (1) 因为 所以函数
的最小正周期
．
的图象，再向下平移
，
，
，解得
，
，所以
，
，，从而
，
， ，故
．
，可得
20. (2) ① 将 的图象向右平移 个单位长度后得到
的图象．
个单位长度后得到
又已知函数 所以 所以
的最大值为 ，
，解得 ．
．
② 要证明存在无穷多个互不相同的正整数 ，使得 正整数 ，使得 由
知，存在
，即 ，使得
． ．
，就是要证明存在无穷多个互不相同的
由正弦函数的性质可知， 当 因为 所以当
因为对任意的整数 ，
所以对任意的正整数 ，都存在正整数 即存在无穷多个互不相同的正整数 ，使得 21. (1) 由已知 因为 所以 又 21. (2)
，所以
（
，
，所以
，
）．
．
，即
．
．
时，均有
的周期为
，
时，均有
．
， ，使得
．
．
为奇函数，所以对于任意的实数 ，均有
，（
）． ，所以
，
，在
解得 时， 解得 ，
（
，又 ）；
，所以 ，
，
，
，又
，所以
所以对于任意的实数 ，当 所以 当 所以 综上，22. (1)
时，
．
上是增函数，
． 上是增函数， ．
（
）．
，在
又 与 有公共点 ，故 ，， 三点共线． 22. (2)
，
，
故
，
，
，从而
，
关于 ①当 由 ② 当 由
的二次函数的对称轴为
，
，又区间 ，即 得 ，即 得
的中点为 ．
，
时，当 或
，又
时，， 时，，
．
；
，
，
时，当 ，又 或
．
综上所述： 的值为
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