I
I
I
I
(三角、向量1)
1、
b si
n 日，若-H-
), b = (1, V3 )，则
a^b =(
)
D. 4 C. 2、3
设向量a与b的夹角为v ,定义a与b的“向量积”：a b是一个向量，它的 A. .3
2、
q =(1 ,2)。 若 p // q ，则.C角的大小为(
)
JI
A —
6
B
一
3
兀 c —
2 二
D
2 3
-
■ ABC的三个内角 A, B ,C的对边分别为a , b , c ,已知sin B = 1，向量p = (a, b),
3、 若
2
=ABC 的内角 A 满足 si n2A
3 15 5
4、
，则 si nA • cos A 二(
3
A. — 1
C.
B.1
3
C. —2 D.2 a,b,c且满足b2 =ac,2b =a c,则此三角形是 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形
(D)等边三角形
■ ABC的三边分别为 5、 (A)等腰三角形
n
为得到函数y二cosl2x * 的图像，只需将函数
I 3丿
y =sin 2x的图像(
B.向右平移士个长度单位
6、
向左平移丸个长度单位
12
向左平移士个长度单位
12
D .向右平移5个长度单位
5
7、
兀
(
函数y-in(2x -)图像的对称轴方程可能是)
已知 |a|=3, |b|=5，且a b =12，则向量a在向量b上的投影为(
8. 12 A
5 .
已
cos(二 x) A. 知
)
B. 3 C. 4 D . 5
3
3 ,x (二,2二),则 tanx =(
5
) 3
4
D.—
4
B
A. C.
4
1
——
3
C .
-1 * 9. 已知平面向量 a = (1,-3), b — (4, -2)，若- b与a垂直，则/■=(
4
4 4
3
)
A. x =--
JI
6
B. X = JI
12
TT
C. x =—
JI
6
D. X =—
JI
12
10•将函数y =3sin(x_v)的图象F按向量(—,3)平移得到图象
F ,若F •的一条对称轴是
3
直线x ,则d的一个可能取值是 人 5 A.
4
12
B.
_ — Ji
5
12
C.
11 12
D.
11 -—JT 12
11.在厶 ABC中,
A.-
JI
角ABC勺对边分别为 a、
c,若(a2+c2- b2)tan B=3ac ,则角 B 的值为()
、
B.
6
JT \\ ( Jl
12.已知 f (x) =sin
I x (门、0), I 3.丿
c、
，且f (x)在区间-，有最小值,
16 3丿
无最大值，则■
13•若用三(0,二),si nt 11 cos： =2 ,
tan 的值为
14.当函数y=2cosx-3sinx取得最大值时，tanx的值是
15. 在厶ABC中，三个角 代B,C的对边边长分别为 a =3,b =4, c = 6,
贝U bccosA cacosB abcosC 的值为
16. 已知函数f(x)=3sin(・x——)( ・>0)和g(x)=2cos(2x+ )+1的图象的对称轴完全相同。
6
若X • [0「]，则f(x)的取值范围是 _____________ 。
2
17、 观察下列等式：
① cos2a=2 cos2 a -1;
642
② cos4a=8 cos4 a - 8 cos2 a + 1;
③ cos6a=32 cos a - 48 cos a + 18 cos a - 1;
④ cos8a=128 cos8 a - 256 cos6 a + 160 cos4 a - 32 cos2 a + 1;
10
8
6
4
2
⑤ cos10a= m cos a - 1280 cos a + 1120 cos a + n cos a + p cos a - 1 . 可以推测， m - n + p =
____________ .
18、 已知：2f (x ) = 73(sinx+cosxf+2cos2 x-(1+V3),(x^ R )
(1)请说明函数y=f(x)的图象可由函数 y=si n 2x的图象经过怎样的变换得到;
(2)设函数y =f(x)图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为
A2、A3、A4、…、An…、
(n N )，试求A4的坐标。
2
19.设函数 f (x)二 2cos x sin 2x a(a • R). (I)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间；
(n)当x • ［0「］时，f (x)的最大值为2，求a的值，并求出y = f(x)(x・R)的对称轴方程.
6
20.在厶ABC中，内角 A, B, C对边的边长分别是 a, b, c ,已知c = 2, C =-.
3
(I)若 △ ABC的面积等于.3，求a, b ;
(n)若 si nC si n(B - A) =2s in 2A，求△ 面积.
21.已知函数 f(x) =2acos2x bsin xcosx
-,且f(0)
-, f(—)二丄.
2
2
4
2
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)求f (x)的单调递增区间
2
22、已知函数 f (x) = 2asin x cosx 2cos x 1, f ( )=4 ,
6 n K
(1)求实数a的值； (2)求函数f (x)在,］的值域。
f(x)二 cos( ) cos(
x
23、函数
2
4k 1 2
蔥-~) , k Z , x R。 2
4 4
(1 )求f(x)的周期；(2)解析式及f (x)在［0,二)上的减区间;
ABC 的
f(：)
(3 )若
2 10 5
兀
：；匚(0 ,)，求 tan(2
JI
2 4
)的值。
24、已知向量 a = (cos : , sin : , b 二(cos - ,sin ：),
| a「b
⑴求吸一）的值（H）若0 —2, 2—且曲「13,求
；
0sn
.
5
25、已知向量 a=(sin x ,1) , (cosx ,1)。
（1）当a//b时，求2cos2x「sin 2x的值；（2）求f（x）二ab的最小正周期。
26、已知： A、B、C是 ABC的内角，a,b, c分别是其对边长，向量 m二3, cosA 1，
,求 b 的长.
n = sin A,-1 , m _ n . (i)求角 A 的大小； (n)若 a = 2, cos B
27、如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM 该曲线段为函数 y=Asin「x（A>0,
■ >0） x [0,4]的图象，且图象的最高点为
S（3，2.、3）;赛
道的后一部分为折线段 MNP为保证参赛运动员的安全，限定
Z MNP=120
（I ）求
（II ）应如何设计，才能使折线段赛道 MNP最长？ 28、某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 。在小艇出发时 轮船位于港口 O北偏西30且与该港口相距 20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以
A , 「的值和M, P两点间的距离；
v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t小时与轮
30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航
船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （2）假设小艇的最高航行速度只能达到
行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
2019届高中数学第一轮总复习系列练习
（三角、向量1）
1、
设向量a与b的夹角为二，定义a与b的“向量积”：1 b是一个向量，它的 模 a> . 2 C. 2.3 （ B ） D. 4 .ABC的三个内角A, B ,C的对边分别为a , b , c，已知sin B = 1，向量p = （a, b）, 2、 q =(1 ,2)。 若p // q，则.C角的大小为（B ） 兀 兀 ji 2 ■: A — 6 B ——3 C —2 D 3 2 3、 若 LABC 的内角 A满足 sin 2A ，则 sin A ■ cosA = （ A ） 3 A.兰B . 一丄 3 3 已知| a |=3，| b |=5，且a b =12，则向量a在向量b上的投影为（ C ） 4、 A. 12 B .3 C . 4 D . 5 5 已COS( X)3 知 二 二 5、5 ,x •(二,2二)，则 tanx 二( D ) 3 4 3 A. B. 4 3 4 D 1 斗 4 已知平面向a = (1, -3), b = (4, -2)，右，a — b 与 a 垂直， 则，=（ 量 6、 A. -1 B.1 C. -2 D.2 ■: ABC的三边分别 2 -a,b,c 且满足 b 二 ac,2b ==a c,则此三角形是（ （为 A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C等腰直角三角形 （D）7、 （n 为得到函数y=cos 2x+—的图像，只需将函数 y=s in2x的图像（A ） 8. it JI A. X = -一 X = 一 6 B. X = 一一 C. D. A. I 312 12 丿 C. 向左平 匕个长度单位 B.向右平移 55 个长度单位 移 12 12 9. 向左平移 土个长度单位 D .向右平移 55 个长度单位 兀 6 6 函数y =sin（2x ）图像的对称轴方程可能是（ D ） 4 3 B ) D 等) 边三角形 10•将函数y =3sin(x_r)的图象F按向量(二3)平移得到图象F 1若F •的一条对称轴是 直线x ,则d的一个可能取值是 4 a、c,若(a2+c2- b2)tan B= .. 3ac ,则角 B 的值为(D ) A. 1 D. A 5 A. 厂 、 5 _ —H 12 C. 12 B. 12 11 一 一 JT 11.在厶ABC中，角 ABC勺对边分别 为 B. D. 3或气 12.已知 f (x) =sin 「x 3「0)'f - ( .，且f(x)在区间i有最小值, 3 6 3 3 无最大值，则■ 卄 1 14 4 + 77 _ 13•右：;三(0,二),sin 壽 11 cos；：=占,tan：的值为— 2 3 3 14.当函数y=2cosx—3si nx取得最大值时，tanx的值是__一一 —2 15.在厶ABC中，三个角 代B,C的对边边长分别为 a=3,b=4,c = 6, 61 贝U bccosA cacosB abcosC 的值为 16•已知函数f(x)=3sin(「x- )C >0)和g(x)=2cos(2x+ 2 )+1的图象的对称轴完全相同。若 6 JT x • ［0,］，则f(x)的取值范围是 2 3 【解析】由题意知, 【答案】［-3,3］ TE t，因为x巧]，所以 J[ JI 2x-[- 5■，由三角函数图象知: 6 - : ］6 3 的取值范围是卜二3］。 2 2 - 3 - f(x)的最小值为3sin (-)=-，最大值为3sin =3，所以f(x) 6 2 2 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想。 17、观察下列等式： 2 4 2 ① cos2a=2 cos a -1; ② cos4a=8 cos a - 8 cos a + 1; ③ cos6a=32 cos6 a - 48 cos4 a + 18 cos2 a - 1; ④ cos8a=128 cos8 a - 256 cos6 a + 160 cos4 a - 32 cos2 a + 1； ⑤ cos10a= m cos10 a - 1280 cos8 a + 1120 cos6 a + n cos4 a + p cos2 a - 1 可以推测，m - n + p = 【答案】962 18•已知：2 f x = , 3 sin x cosx $ 2cos2 x -(1 3), x R (1)请说明函数y = f (x)的图象可由函数 y =sin 2x的图象经过怎样的变换得到; (2)设函数y二f(x)图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为 A、A A 几、…、(n • N )，试求A的坐标。 解：(1) 2f x = ,3(1 2sin xcosx) cos2x-、一3 = ,3sin2x cos2x V3 1 兀 兀 f (x) sin 2x cos2x 2 二 2 cos—sin 2x sin 6 — cos2x 6 =sin I ( 2x —兀 ) = sin 2 (I 兀x )— I 6丿 I 12丿 所以函数y = f(x)的图象可由函数 y二si n2x的图象向左平移 一个单位得到 12 (2)v函数y二sinx图象的对称中心为(k二，0) , Z 兀 k兀 兀 由2x k；k・Z得函数y=f(x)的对称中心为( ,0), 6 2 12 k依次取1, 2, 3, 4……可得A、A A、A……各点， ••• A的坐标为(型,0) 12 A…、 19 .设函数f (x)= :2cos2 x sin 2x a(a R). (I)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间； 31 (n)当x • [0,]时，f (x)的最大值为2，求a的值，并求出y = f(x)(x，R)的对称轴方程. 6 解:(1) f(x) =2coSx sin2x a =1 cos2 sin2x a = . 2sin(2x 2 IT 则f (x)的最小正周期T二・h匾 ■ t J[ J[ J[ ) 1 a 4 且当2k 2 卄 3兀 兀 即x・[k ,k ](k • Z)为f(x)的单调递增区间(写成开区间不扣分) 8 8 : 7~ ■ ■ (2)当 x • [0,]时 \"2x \" ，当 2x ，即 x 6 4 4 12 4 2 所以 f(x)max = ^2 ■1，a=2=a=1--,2 . 2x 2k (k・Z)时f (x)单调递增. 4 2 . ■ ■ 时 sin(2 x )=1. 8 4 k ‘ 2x 20.在厶 4 k 一 ： x 2 2 (k • Z)为 f (x)的对称轴. 8 3 ABC中，内角 A, B, C对边的边长分别是 a, b, c ,已知c = 2, C =-. (i)若 △ ABC的面积等于.3，求a, b ; (n)若 si nC si n(B - A) =2s in 2A，求△ ABC 的面积. 解：(i)由余弦定理及已知条件得， a2 • b2 -ab =4, A 2 又因为△ ABC的面积等于.3，所以1 absi nC —、3，得ab = 4 . _La b - ab = 4, 联立方程组 、ab =4, (n)由题意得 sin(B A) s in (B - A)二 4sin A cos A , 解得a = 2, b = 2. -2 2 b\" ji 即 sin B cos A 二 2sin A cos A，当 cosA = 0 时，A 二一， B =— 6 2 cos A = 0时，得sin B= 2sin A，由正弦定理得b = 2a，联立方程组 f a2 ■ b2 — ab = 4 当 lb = 2a, 2 4苗 解得 a -- ---- , b = ----- .所以△ ABC 的面积 S = — absin C = -------- (1)求f (x)的最小正周期; (2)求f (x)的单调递增区间• 3 3 2 3 ：.■ 3 21.已知函数 f (x) = 2acos2 x bsi nxcosx \"-,且 f (0) . $3 ■■ 1 一，f( ) =一• (1)求f (x)的最小正周期; 2 2 4 2 (2)求f (x)的单调递增区间• 2 (1)由f (0)= 号得a=号,由f ( ••• f ( x) = 3 cos x+sin 二)= 解: 4丿 1 -sin 2x = sin( 2x+ x cos x ——-2- = 故最小正周期T = 7： t A 2 cos 2x + 3) ： JI H JI 由 2k 2 2x \" 2k : 3 , — (k 三 Z)得 k ,k ](k Z) 12 5兀 12 k (k Z) x 二 12 故f(x)的单调递增区间为 兀 22、 已知函数f (x) =2asinx 对4， 求函数f (x)(1在• ［ a的值；/ ］的值域。 )X 求实数 (2) cosx 2cos x 1, 2 4 4 解:(1)由题意得:f( ) = 2asin cos 2cos 1 JI JI 2 ■: =4，即: 1 =、3 sin 2x (cos2x 1) 1 (2)由(1)得：f (x) = 2.3sin 解得：. a的值为3。 cosx 2 cos Ji 6)2 xA 3 s in2x cos2x 2 =2s in (2x JI 31 w n 2x [ 6 3 3 y二sin昭［-一，-］上为增函数， 在［—，-］上为减函数， 3 2 2 3 sin(2x ) JT [ 6 2 3 ,1],则 f (x) [2 - . 3,4]，即 f (x)的值域为[2 -、3,4] 23、函数 f (x) ncosL*) 二-x), k Z,x R。 2 2 2 (1 )求f (x)的周期；(2 )解析式及f (x)在［0,二)上的减区间; 2丁10 兀 兀 (3)若 f (〉) 5 ，：…(0 ,)，求 tan(2 )的值。 2 4 5 x 、 )=cos cos( 2 k x X) x 4 k +1 2 2 2 2 解：(1) f (x) =cos( ) cos(- (k・ Z ) 2 2 =sin cos 2 sin( ).x x — x 二、 , 2 2 2 4 所以，f(x)的周期 x 兀 (2)由一2k ~ ,n <-n 4k二，k 2 2 4 2 +2^ k ， 又 x ［0,二)，令 k=0 ,得 x ::§ 二 ；令k 2 2 f(x)在［0,二)上的减区间是［-，二)。 2 2 ： ，得 sin-cos—2 10 1 sin :- (3)由 f( ) 0 2 2 5 cos ： - d - sin2 : 又:(0,-), 1 25 23 ••• 3 ,• tan2「 2ta 24 tan： cos : 4 1 - tan : n： 2 1-2 16 ta JI 空1 •- tan(2 ) n n231 4 ： tan — Tt 1』 1 - tan2： tan 4 —7 17 o 4 24、已知向量 a=(cosa,sin。)，b=(cosP,sinP), |a—b|=—^― 5 (i)求 cosC •「) 的值； (n)若 匚—0,且s\" ■ 0 ：：：〉：：：一, 13 解：(i) ： ka =(cosx,si nt), b= (cos ： ,sin ：), 2 a-b= cos：- -cos :,sin： 7a-b 右 R 2 n 2 2/5 5 5 cos：-「cos ｛］亠［sin -sin - Z。 (舍去) 3 5 5 即 2 -2cos , cos — - =3 f 5 4 TT TT - - (n) ； 0 , 0, . 0 ：：： ：•- 一 ：：：二, 2 2 :cos ： 一 ： =3, sin 5. si n ： 一 ：二上,cos： 二12 5 13 5 13 .sin ： =sin ^二- = sin(a — P posB +cos(a — P Jsin P 11分 4 12 3 5 33 --- ■ ----- ~T~ --- ■ — ------- | = ------------- . 5 13 5 .13 65 4 ■> 25 、已知向量 a =(sin x ,1) , b = (cosx ,1)。 2 (1) 当a// b时，求2cos x-si n 2x的值；(2) 求f(x)=ab的最小正周期。 斗 H ■* 4 解：(1) a =(sin x,1),b =(cosx,1),a//b sinx-cosx = 0 2cos x2 「sin 2x 二 2cos x(cos x -sin x) = 0。 1 (2)由已知可得： f (x)二 a b = sin x cosx 1 sin 2x 1 2 2 j[ •. f (x)的最小正周期为T = 2 26、已知: A、B、C是 ABC的内角，a,b,c分别是其对边长，向量 n 二 sin A, -1 , m _ n . (I)求角 A 的大小； (n)若 a = 2,cos B ,求 b 的长. 解:(I) m _ n m n 二，3,cosA 11〔sin A,T = . 3sin A 亠〔cosA 11’ [ 1 = 0 、3 sin A - cos A 二 1 jr JI n ••• 0 ：： A ：：二, A , A , A = 6 6 6 6 6 3 3 3 (n )在:ABC 中，A =—, 3 4. 2 a =2 ■.『3 ，cosB :. 2 =sin B - 1 - cos 、、6 3 由正弦定理 知: sin A sin B 厂吨==_3 sin A 0P的一侧修建一条运动赛道, 赛道的前一部分为曲线段 OSM 27、如图，某市拟在长为8km的道路 3 MNP为保证参赛运动员的安全，限定 道的后一部分为折线段 .MNP=120 (I )求A , 「的值和M, P两点间的距离； (II )应如何设计，才能使折线段赛道 MNR最长? 解：(I)依题意，有 A =2・.3 , T =3，又T =—, 4 ⑷ 。.y =2 3sin x 6 6 当 x =4是，.y =2・.3sin 3 该曲线段为函数 y=Asin「x(A>0, ■ >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为 S(3，2、、3);赛 .MP 42 32 5 .M (4,3)又 p(8,3) 在厶 MN冲/ MNP=120 , MP=5 设/ PMN=，贝U 0 由正弦定理得 MP _ NP MN sin 1200 si nr sin(60° - R .NP n「. MN _io..3 - v) 3 -3 sin(60° 故 NP MN 二山 si nr 山 si n(6O0 - 力二1^ Qsi n 3 co^i) si n(二 600) 3 3 3 2 3 3 ■■0° V<60°,.当r =30°时，折线段赛道 MNP最长 亦即，将/ PMN设计为30°时，折线段道 MNP最长 解法二： (I)同解法一 \")在厶 MN冲，/ MNP=120 , MP=5 由余弦定理得 MN2 NP2 —2MNLNP|_cos / MNPMP2，即 MN2 NP2 MN[jNP=25 丄匚 2 | MN +NP 2 故(MN NP)2 -25 =MN |_NP _( )2 2 从而-(MN - NP)2 _25，即 MN NP 一1^3 4 3 当且仅当MN =NP时，折线段道 MNR最长 28、某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口 0北偏西30且与该港口相距 20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正 = 、、6 东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 船相遇。 （1） v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t小时与轮 3 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （2） 假设小艇的最高航行速度只能达到 30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航 行速度 的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 解法1（ 1）为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为 OT,小艇到达T位置时轮船的航行 1 位移 s0 = AT ,即 30t = 10,t _ 10 ： 3 — ， vt = 10八,3，从而 v 30 3 （海里 /时） 3 t （2）讨论：①若轮船与小艇在 A、T之间G位置相遇时，根据小艇的速度限制，有 OG （900 -v ）t -600t 400 =0，等价于 v - 400 600 =10、4 2 _6 t2 t 9 ②若轮船与小艇在H处相遇时，在直角三角形OHT中运用勾股定理有: 从而心。戾2 一即+却三+9=10抑弓2+牛30（y） 3 所以当v =30时， 2 3 2 ，t =兰 也就是说，当小艇以30海里每小时的速 度，沿北偏东30 •方向行走能以最短的时 间 解法2：如图，由（1）得 OC =10'、3,AC=10,故OC>AC,且对于线段AC上任意点P,有OP—OOAC，而小艇的最高航 行速度只能达到 30海里/小时，故轮船与小艇不可能在 A、C （包含C）的任意位置相遇，设 NCOD= 8（0咯8<90「）,则在 Rt^COD中，CD =10s/3tan8，， cos日 r 10「3 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 所以10 10 “ =卫3，解得-15 3「又吹30,故sg+30二竺, 30 t=1010 w 和 t 30 vcos-' vcos 日 si n（日+30°） 2 从而30 ： \"<90〔由于v - 30时，tan二取得最小 值，且最小值为 二, 3 当二=30：日寸，二 10 10 3 曲 取得最小值，且最小值为 2。 30 3 此时，在. OAB中，OA =OB二AB =20，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东 30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容