第六章 变分法模型

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。

§1 变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。

1.1 变分法的基本概念1.1.1 泛函

设S为一函数集合，若对于每一个函数x(t)∈S有一个实数J与之对应，则称J是对应在S上的泛函，记作J(x(t))。S称为J的容许函数集。

通俗地说，泛函就是“函数的函数”。

例如对于xy平面上过定点A(x1,y1)和B(x2,y2)的每一条光滑曲线y(x)，绕x轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线y(x)的泛函J(y(x))。由微积分知识不难写出

2 J(y(x))=∫2πy(x)1+y'(x) dx （1）

x1x2容许函数集可表示为

S={y(x)|y(x)∈C1[x1,x2],y(x1)=y1, y(x2)=y2} （2）

最简单的一类泛函表为

)dt （3）J(x(t))=∫F(t,x,xt1t2。（1）式是最简泛函。被积函数F包含自变量t，未知函数x及导数x1.1.2泛函的极值

泛函J(x(t))在x0(t)∈S取得极小值是指，对于任意一个与x0(t)接近的

x(t)∈S，都有J(x(t))≥J(x0(t))。所谓接近，可以用距离d(x(t),x0(t))<ε来度量，而距

离定义为

(t)−x0(t)|}d(x(t),x0(t))=max{|x(t)−x0(t)|,|xt1≤t≤t2泛函的极大值可以类似地定义。x0(t)称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.3泛函的变分

如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数x(t)在x0(t)的增量记为

δx(t)=x(t)−x0(t)也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 ∆J=J(x0(t)+δx(t))−J(x0(t))如果∆J可以表为

-208-

∆J=L(x0(t),δx(t))+r(x0(t),δx(t))其中L为δx的线性项，而r是δx的高阶项，则L称为泛函在x0(t)的变分，记作

δJ(x0(t))。用变动的x(t)代替x0(t)，就有δJ(x(t))。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数α的导数：∂δJ(x(t))=J(x(t)+αδx(t))α=0 （4） ∂α这是因为当变分存在时，增量 ∆J=J(x(t)+αδx)−J(x(t))=L(x(t),αδx)+r(x(t),αδx) 根据L和r的性质有 L(x(t),αδx)=αL(x(t),δx) lim所以 r(x(t),αδx)r(x(t),αδx)=limδx=0α→0α→0ααδx∂J(x+αδx)−J(x)J(x+αδx)α=0=limα→0∂ααL(x,αδx)+r(x,αδx)=L(x,δx)=δJ(x) =limα→0α1.1.4 极值与变分利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：若J(x(t))在x0(t)达到极值（极大或极小），则

δJ(x0(t))=0 （5）

这是因为对任意给定的δx，J(x0+αδx)是变量α的函数，该函数在α=0处达到极值。根据函数极值的必要条件知∂J(x0+αδx)α=0=0∂α于是由（4）式直接得到（5）式。

1.1.5. 变分法的基本引理

引理 ϕ(x)∈C[x1,x2]，∀η(x)∈C[x1,x2]，η(x1)=η(x2)=0，有

1∫x2x1ϕ(x)η(x)dx≡0，

则。

1.2 无约束条件的泛函极值求泛函

(t))dt （6） J=∫F(t,x(t),xt0tf的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线x(t)，使给定的二阶连续可微函数F沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为x(t)。 1.2.1 端点固定的情况

-209-*设容许曲线x(t)满足边界条件

x(t0)=x0，x(tf)=xf （7）且二次可微。

首先计算（6）式的变分：∂J(x(t)+αδx(t))α=0∂αtf∂(t)+αδx(t))α=0dtF(t,x(t)+αδx(t),x =∫t0∂α δJ= =∫∫tft0)δx+Fx)δx]dt （8）[Fx(t,x,x(t,x,xtft0对上式右端第二项做分布积分，并利用δx(t0)=δx(tf)=0，有tft0)δxdt=−∫Fx(t,x,xtfd)δxdt，Fx(t,x,xdt再代回到（8）式，并利用泛函取极值的必要条件，有dFx]δxdt=0∫t0dt因为δx的任意性，及δx(t0)=δx(tf)=0，所以由基本引理得到著名的欧拉方程 δJ=[Fx− Fx−dFx=0 （9）dt它是这类最简泛函取极值的必要条件。

（9）式又可记作

−Fxx=0 （10）x Fx−Ftx−Fxxx通常这是x(t)的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件

确定。

1.2.2 最简泛函的几种特殊情形

，即F=F(t,x)(i) F不依赖于x 这时Fx≡0，欧拉方程为Fx(t,x)=0，这个方程以隐函数形式给出x(t)，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。

)(ii) F不依赖x，即F=F(t,x欧拉方程为

d)=0 Fx(t,xdt)=c1，由此可求出x=ϕ(t,c1)，积分后得到将上式积分一次，便得首次积分Fx(t,x可能的极值曲线族

x=这时Fx)，即F=F(x(iii) F只依赖于xtxxx∫ϕ(t,c)dt1=0,F=0,F=0，欧拉方程为

Fxxx=0-210-

=0或Fx=0，则得到含有两个参数的直线族x=c1t+c2。xx由此可设x=0，如果另外若Fxx=0有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c的直线族x=kt+c，它包含于上面含有两个参数的直线族 x=c1t+c2 中，于是，

)情况下，极值曲线必然是直线族。在F=F(x)，即F=F(x,x（iv）F只依赖于x和x这时有Ftx=0，故欧拉方程为

Fxx−Fxx=0Fx−xx此方程具有首次积分为FxF−x=c1事实上，注意到F不依赖于t，于是有dddFx(F−x)=Fx+Fx−xF−xF=x(F−Fx)=0。xxxxxdtdtdt例1 (最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约

翰·贝努里（J. Bernoulli）于1696年提出的。问题的提法是这样的：设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A和B的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从A滑行至B时，使所需时间最短。

解 将A点取为坐标原点，x轴水平向右，y轴垂直向下，B点为B(x2,y2)。根据能量守恒定律，质点在曲线y(x)上任一点处的速度ds满足（s为弧长）dt1ds m=mgy2dt将ds=1+y'2(x)dx代入上式得21+y'2dx dt=2gy于是质点滑行时间应表为y(x)的泛函J(y(x))=∫x201+y'2dx2gy端点条件为 y(0)=0,y(x2)=y2最速降线满足欧拉方程，因为 F(y,y')=1+y'2y不含自变量x，所以方程（10）可写作

Fy−Fyy'y'−Fy'y'y''=0等价于

d(F−y'Fy')=0dx-211-

作一次积分得 y(1+y')=c1令 y'=ctg2θ,则方程化为2c1c12θy==csin=(1−cosθ)121+y'22又因

θθc1sincosdθcdy22dx===1(1−cosθ)dθθy'2ctg2积分之，得c(θ−sinθ)+c22由边界条件y(0)=0，可知c2=0，故得

x=x=y=c1(θ−sinθ)2c1(1−cosθ).2=y2来确定。这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数c1可利用另一边界条件y(x2）例2 最小旋转面问题J(y(x))=∫2πy(x)1+y'2(x) dxx1x2S={y|y∈C1[x1,x2],y(x1)=y1, y(x2)=y2}解 因F=y1+y\" 不包含x，故有首次积分F−y'Fy'=y1+y'2−y'y化简得 y=c11+y'2令y'=sht，代入上式， y=c11+sh2t=c1chty'1+y'2=c1dyc1shtdt==c1dty'sht积分之，得 x=c1t+c2x−c2y=ccht消去，就得到 。1c1由于 dx=这是悬链线方程。1.2.3 最简泛函的推广

最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

-212-

（ⅰ）含多个函数的泛函使泛函

J(y(x),z(x))=∫F(x,y,y',z,z')dxx1x2取极值且满足固定边界条件y(x1)=y1,y(x2)=y2,z(x1)=z1,z(x2)=z2.的极值曲线必满足欧拉方程组dF−F=0ydxy'Fz−dFz'=0dx（ii）含高阶导数的泛函

使泛函

J(y(x))=∫F(x,y,y',y\")dxx1x2取极值且满足固定边界条件=y2，y'(x1)=y'1,y'(x2)=y'2 y(x1)=y1,y（x2）的极值曲线y=y(x)必满足微分方程dd2Fy'+Fy\"=0 Fy−2dxdx（iii） 含多元函数的泛函设z(x,y)∈c,(x,y)∈D，使泛函 J(z(x,y))=2∫∫F(x,y,z,zDx,zy)dxdy取极值且在区域D的边界线l上取已知值的极值函数z=z(x,y)必满足方程 Fz−∂∂Fzx−Fzy=0∂x∂y上式称为奥式方程。

1.2.4 端点变动的情况（横截条件）

设容许曲线x(t)在t0固定，在另一端点t=tf时不固定，是沿着给定的曲线

x=ψ(t)上变动。于是端点条件表示为

x(t0)=x0 x(t)=ψ(t)这里t是变动的，不妨用参数形式表示为 t=tf+αdtf寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有 0=δJ=∂∂α∫tf+αdtft0+αδx)dtF(t,x+αδx,xα=0-213-

=∫tft0(Fx−dFxδxdt+Fxδxt=t+Ft=tdtf （11）)ffdt再对（11）式做如下分析：

（i）对每一个固定的tf，x(t)都满足欧拉方程，即（11）式右端的第一项积分为零；

（ii）为考察（11）式的第二、第三项，建立dtf与δxt=tf之间的关系，因为 x(tf+αdtf)+αδx(tf+αdtf)=ψ(tf+αdtf)对α求导并令α=0得(tf)dtf(tf)dtf+δxt=t=ψ xf即

(tf)−x(tf)]dtf （12） δxt=tf=[ψ把（12）代入（11）并利用dtf的任意性，得−x)Fx [F+(ψ]t=tf=0 （13）

（13）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。

横截条件有两种常见的特殊情况：（i）当x=ψ(t)是垂直横轴的直线时，tf固定，x(tf)自由，并称x(tf)为自由端点。此时（11）式中dtf=0及δxt=tf的任意性，便得自由端点的横截条件

Fxt=tf=0 （14）

（ii）当x=ψ(t)是平行横轴的直线时，tf自由，x(tf)固定，并称x(tf)为平动

=0，（13）式的横截条件变为端点。此时ψFx F−xt=tf=0 （15）

注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

1.3 有约束条件的泛函极值

在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

(t)=f(t,x(t),u(t)) （16） x寻求最优性能指标（目标函数）

J(u(t))=ϕ(tf,x(tf))+∫F(t,x(t),u(t))dt （17）

t0n其中u(t)是控制策略，x(t)是轨线，t0固定，tf及x(tf)自由，x(t)∈R，

tfu(t)∈Rm（不受限，充满Rm空间），f,ϕ,F连续可微。

下面推导取得目标函数极值的最优控制策略u(t)和最优轨线x(t)的必要条件。采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑

**)]dt （18）J1(x,u,λ)=ϕ(tf,x(tf))+∫[F(t,x,u)+λT(t)(f(t,x,u)−xt0tf-214-

的无条件极值，首先定义（16）式和（17）式的哈密顿（Hamilton）函数为 H(t,x,u,λ)=F(t,x,u)+λ(t)f(t,x,u) （19）将其代入（18）式，得到泛函

T]dt （20）J1(x,u,λ)=ϕ(tf,x(tf))+∫[H(t,x,u,λ)−λTxt0tf下面先对其求变分δJ1=∂{ϕ(tf+αdtf,x(tf)+αδx(tf)) ∂αtf+αdtft0)t=tf =[δx(tf)]ϕx(tf)+(dtf)Tϕtf+(dtf)TH(t,x,u,λ)t=tf−(dtf)T(λTxT+∫+αδx)]dt}α=0[H(t,x+αδx,u+αδu,λ+αδλ)−(λ+αδλ)T(x−λTδx]dt+∫[(δx)THx+(δu)THu+(δλ)THλ−(δλ)Txt0tf=(dtf)T[ϕtf+F(t,x,u,t)t=tf]+[δx(tf)]Tϕx(tf)tftfdt ]dt−λT(tf)δxt=tf+∫(δx)Tλ+∫[(δx)THx+(δu)THu+(δλ)THλ−(δλ)Txt0t0注意到δxt=tf(tf)dtf，因而≠δx(tf)，δxt=tf=δx(tf)−xδJ1=(dtf)T[ϕtf+H(t,x,u,λ)t=tf]+[δx(tf)]T(ϕx−λ)t=tftfTT)+(δu)THu]dt+ ∫[(δx)(Hx+λ)+(δλ)(Hλ−xt0再令δJ1=0，由的任意性，便得（i）x,λ必满足正则方程：**=Hλ=f(t,x,u)① 状态方程 x=−H。② 协态方程 λx（ii）哈密顿函数H(t,x,u,λ)作为u的函数，也必满足** Hu=0并由此方程求得u*。（iii）求x,λ,u时，必利用边界条件① x(t0)=x0， （用于确定x*）② λ(tf)=ϕx(tf)， （用于确定λ*）③ ϕtf=−H(t,x,u,λ)1.4 最大（小）值原理如果受控系统

t=tf***， （确定tf）=f(t,x,u)，x(t0)=x0 x其控制策略u(t)的全体构成有界集U，求u(t)∈U，使性能指标

-215-

J(u(t))=ϕ(tf,x(tf))+∫F(t,x,u)dtt0tf达到最大（小）值。最大（小）值原理：如果f(t,x,u)，ϕ(tf,x(tf))和F(t,x,u)都是连续可微的，那么最优控制策略u(t)和相应的最优轨线x(t)由下列的必要条件决定：

（i）最优轨线x(t)，协态向量λ(t)由下列的必要条件决定：

****dx=f(t,x,u)，u(t)∈U， dtdλ∂H=− .dt∂x（ii）哈密顿函数

H(t,x,u,λ)=F(t,x,u)+λ(t)f(t,x,u)作为u(t)的函数，最优策略u(t)必须使

*****T*H(t,x,u,λ) H(t,x,u,λ)=maxu∈U或使

*****H(t,x,u,λ)(最小值原理) H(t,x,u,λ)=minu∈U（iii）满足相应的边界条件

① 若两端点固定，则正则方程的边界条件为 x(0)=x0，x(tf)=xf。

② 若始端固定，终端tf也固定，而x(tf)自由，则正则方程的边界条件为 x(0)=x0，λ(tf)=ϕx(tf)(tf,x(tf))。

③ 若始端固定，终端tf,x(tf)都自由，则正则方程的边界条件为 x(0)=x0，λ(tf)=ϕx(tf)(tf,x(tf))，

H(tf,x(tf),u(tf),λ(tf))+ϕtf(tf,x(tf))=0。

§2 生产设备的最大经济效益

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。

2.1 问题分析与假设

（i）设备的转卖价是时间t的函数，记为x(t)。x(t)的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。记初始转卖价x(0)=x0。

（ii）设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。t时刻设备的磨损程度可以用t时刻转卖价的损失值来刻划，常称其为磨损函数或废弃函数，记为m(t)。

（iii）保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。如果u(t)是单位时间的保

-216-

*****养费，g(t)是t时刻的保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价），那么单位时间的保养效益为g(t)u(t)。另外，保养费不能过大（如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义），只能在有界函数集中选取，记有界函数集为W，则u(t)∈W。

（iv）设单位时间的产值与转卖价的比值记为p，则px(t)表示在t时刻单位时间的产值，即t时刻的生产率。

（v）转卖价x(t)及单位时间的保养费u(t)都是时间t的连续可微函数。为了统一标准，采用它们的贴现值。对于贴现值的计算，例如转卖价x(t)的贴现值计算，如果它的贴现因子为δ（经过单位时间的单位费用贴现），那么由

dx(t1)=δx(t1) dt1x(t)=1解得

x(t1)=e价x(t)的贴现为x(t)e−δt−δ(t−t1)令t1=0，便得t时刻单位费用的贴现（称贴现系数）为e−δt，所以设备在t时刻转卖

。仿此计算，u(t)的贴现为u(t)e−δt，单位时间产值的贴现为

px(t)e−δt。

（vi）欲确定的转卖时间tf和转卖价x(tf)都是自由的。

2.2 模型构造

根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选单位时间的保养费u(t)作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程

dx(t)=−m(t)+g(t)u(t) dt （21）

x(0)=x0*之下，在满足0≤u(t)≤U的函数集W中寻求最优控制策略u(t)，使系统的经济效

益这一性能指标

J(u(t))=x(tf)e−δtf+∫[px(t)−u(t)]e−δtdt （22）

0tf为最大，其中tf,x(tf)都是自由的。

2.3 模型求解

首先写出问题的哈密顿函数 H=[px(t)−u(t)]e−δt+λ[−m(t)+g(t)m(t)] （23）

再由协态方程及边界条件求出λ(t)，即由

-217-

dλ(t)−δt=−H=−pex dtλ(tf)=ϕx(t)=e−δtff解得

p−δtfp−δt)e+eδδ*下面利用最大值原理求u(t)。先将（23）式改变为 λ(t)=(1−H=px(t)e−δt−λm(t)+[λg(t)−e−δt]u(t)显然，H是对u的线性函数，因此得到U,λg(t)−e−δt>0* u(t)= （24）−δtλg(t)−e<00,或

p−δtfp−δt)e+e]g(t)−e−δt>0δδ （25）

p−δtfp−δt[(1−)e+e]g(t)−e−δt<0δδ**在上式中，还需解决两个问题：一是u(t)=U与u(t)=0的转换点ts在什么位

*置，即ts等于多少？二是u(t)是由U到0，还是由0到U。转换点ts应满足p−δtp[(1−)ef+e−δt]g(t)−e−δt=0δδU,* u(t)=0,[(1−即

[从而可解出ts。

ppδ(t−tf)−(−1)e]g(t)−1=0 （26）δδ因为g(t)是时间t的减函数，所以（26）式的左端也是时间t的减函数，也就是说

u*(t)随时间应由U到0。于是最优控制策略的具体表达式为

0≤t例3 在生产设备的最大经济效益的问题中，设x(0)=100，U=1，m(t)=2，

p=0.1，δ=0.05，g(t)=2(1+t)12*，试求tf，x(tf)和u(t)。

解 由（26）式可得求ts的公式 (1+t)=4−2e0.05(ts−tf) （27）

s-218-12*当tts时，u*(t)=0，状态方程为 dxdt=−2于是t>ts时，有

∫tdxts20dtdt=∫0[−2+1]dt+−2)dt(1+t)2∫tt(s解得

1x(t)=4(1+ts)2+96−2t （由自由边界条件Ht=tf=−ϕtf及λ(t−δtff)=e，得 −px(t−δtfδtf=−δe−δtff)e+2e−x(tf)于是

x(tf)=2p−δ=40当t=tf时，由（28）式有

140=4(1+ts)2+96−2tf即

1tf=2(1+ts)2+28 （将（27）和（29）联立求解，编写如下Matlab程序

[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')求得

ts=10.6，tf=34.8于是，最优控制策略（保养费）为

u*(t)=1,0≤t<10.60,10.628）

29）

习 题 六

1.求自原点（0,0）到直线x+y−1=0的最速降线。2.求概率密度函数ϕ(x)，使得信息量

J=−∫+∞−∞ϕ(x)ln[νϕ(x)]dx+∞取最大值，且满足等周条件

∫+∞−∞ϕ(x)dx=1 ，∫x2ϕ(x)dx=σ2（常数）。

−∞3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？

-220-