矩阵是MATLAB数据存储的基本单元，而矩阵的运算是MATLAB语言的核心，在MATLAB语言系统中几乎一切运算均是以对矩阵的操作为基础的。下面重点介绍矩阵的生成、矩阵的基本运算和矩阵的数组运算。 2.1 变量和数据操作 2.1.1 变量与赋值
1．变量命名
在MATLAB 6.5中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。在MATLAB中，变量名区分字母的大小写。
2．赋值语句 (1) 变量=表达式 (2) 表达式
其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。
例2-1 计算表达式的值，并显示计算结果。 在MATLAB命令窗口 输入命令：
x=1+2i; y=3-sqrt(17);
z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y))
其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量，分别代表代表圆周率π和虚数单位。 输出结果是：
2.1.2 预定义变量
.
在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系统本身定义的变量。例如，用pi表示圆周率π的近似值，用i表示虚数单位。
预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。
2.1.3 内存变量的管理
1．内存变量的删除与修改
MATLAB工作空间窗口专门用于内存变量的管理。在工作空间窗口中可以显示所有内存变量的属性。当选中某些变量后，再单击Delete按钮，就能删除这些变量。当选中某些变量后，再单击Open按钮，将进入变量编辑器。通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素，也可修改变量中的具体元素。
clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。who和whos这两个命令用于显示在MATLAB工作空间中已经驻留的变量名清单。who命令只显示出驻留变量的名称，whos在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。
2．内存变量文件
利用MAT文件可以把当前MATLAB工作空间中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是.mat。MAT文件的生成和装入由save和load命令来完成。常用格式为：
save 文件名 [变量名表] [-append][-ascii] load 文件名 [变量名表] [-ascii]
其中，文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat，命令隐含一定对.mat文件进行操作。变量名表中的变量个数不限，只要内存或文件中存在即可，变量名之间以空格分隔。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。-ascii选项使文件以ASCII格式处理，省略该选项时文件将以二进制格式处理。save命令中的-append选项控制将变量追加到MAT文件中。 2.1.4 MATLAB常用数学函数
MATLAB提供了许多数学函数，函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量同维数
.
的矩阵。
函数使用说明：
(1) 三角函数以弧度为单位计算。
(2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCII码值。 (3) 用于取整的函数有fix、floor、ceil、round，要注意它们的区别。 (4) rem与mod函数的区别。rem(x,y)和mod(x,y)要求x,y必须为相同大小的实矩阵或为标量。 2.1.5 数据的输出格式
MATLAB用十进制数表示一个常数，具体可采用日常记数法和科学记数法两种表示方法。
在一般情况下，MATLAB内部每一个数据元素都是用双精度数来表示和存储的。数据输出时用户可以用format命令设置或改变数据输出格式。format命令的格式为：
format 格式符
其中格式符决定数据的输出格式 2.2 MATLAB矩阵
输入矩阵时要以“[ ]”为其标识符号，矩阵的所有元素必须都在括号内。
矩阵同行元素之间由空格或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔。
矩阵大小不需要预先定义。 矩阵元素可以是运算表达式。 若“[ ]”中无元素表示空矩阵。 2.2.1 矩阵的建立
1．直接输入法
最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。
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2．利用M文件建立矩阵
对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。
例：单击“”，打开MATLAB文本编辑器(或打开Windows记事本)，输入：
[1,2,3,4,5;6,7,8,9,0] 保存为：A.m
在MATLAB命令窗口中输入: A
3．利用冒号表达式建立一个向量
冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3
其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。
例：a=1:2:8
在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。其调用格式为： linspace(a,b,n)
其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。
显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。 4．外部文件读入法
MATLAB语言也允许用户调用在MATLAB环境之外定义的矩阵。可用任意的文本编辑器编辑所要使用的矩阵，矩阵元素之间以特定分断符分开，并按行列布置。可用load函数调用： Load+文件名[参数]
Load函数将会从文件名所指定的文件中读取数据，并将输入的数据赋给以文件名命名的变量，如果不给定文件名，则将自动认为matlab.mat文件为操作对象，如果该文件在MATLAB搜索路径中不存在时，系统将会报错。
例如： 事先在记事本中建立文件：
1 1 1
1 2 3 1 3 6 以data1.txt保存.
.
在MATLAB命令窗口中输入： >> load data1.txt >> data1 data1=
1 1 1 1 2 3 1 3 6
2.2.2 矩阵的拆分
1．矩阵元素
通过下标引用矩阵的元素，例如： A(3,2)=200
采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如，输入：
A=[1,2,3;4,5,6] A(3)
则输出：
显然，序号(Index)与下标(Subscript)是一一对应的，以m×n矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。
2．矩阵拆分
(1) 利用冒号表达式获得子矩阵
① A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；
A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素； A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。
.
② A(i:i+m,:)表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素；
A(:,k:k+m)表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素；
A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列
中的所有元素。
此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。
例：试看结果
A=[1,2,3;4,5,6] A(2,end)
(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素
在MATLAB中，定义[]为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为X=[]。注意，X=[]与clear X不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。 2.2.3 特殊矩阵
1．通用的特殊矩阵
常用的产生通用特殊矩阵的函数有： zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。 ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。 eye：产生单位矩阵。
rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵。
randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。 例 建立一个3×3零矩阵：
zeros(3)
建立一个3×2零矩阵：
zeros(3,2)
设A为2×3矩阵，建立一个与矩阵A同样大小零矩阵：
A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个2×3阶矩阵A zeros(size(A)) %产生与矩阵A同样大小的零矩阵
例 建立随机矩阵：
.
在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵：
x=20+(50-20)*rand(5)
均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。
y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)
例：它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵（注意：不是转置）：
A=[1 2 3;4 5 6]
reshape(A,3,2)
2．用于专门学科的特殊矩阵 (1) 魔方矩阵
魔方矩阵：每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2个整数组成。求魔方矩阵的函数magic(n)。
例 将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。
M=100+magic(5) (2) 范得蒙矩阵
函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。 例 A=vander([1;2;3;5]) (3) 希尔伯特矩阵
希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵，其元素为1/(i+j-1)，ij分别为其行标和列标正定，且高度病态（即：任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。
生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。 希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)。 例 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。 format rat %以有理形式输出 H=hilb(4) H=invhilb(4) (4) 托普利兹矩阵
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托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。
例 T=toeplitz(1:6)
(5) 已知矩阵A的特征多项式f(x), 求A（都译为“伴随矩阵”，不妥） 例 已知矩阵A的特征多项式为：x3-7x+6，求A：
p=[1,0,-7,6]; compan(p)
(6) 帕斯卡矩阵
由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。
例 求(x+y)5的展开式。输入命令：
pascal(6)
2.3 MATLAB矩阵运算 2.3.1 算术运算
1．基本算术运算
MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\\(左除)、^(乘方)。
注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。
(1) 矩阵加减运算： A+B、A-B (2) 矩阵乘法：A*B
(3) 矩阵除法。设A是非奇异方阵
左除：A\\B 等价于A的逆左乘B，也就是inv(A)*B； 右除：B/A 等价于A的逆右乘B，也就是B*inv(A)。 注：对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和4\\3有相同的值，都等于0.75。又如，设a=[10.5,25]，则a/5=5\\a=[2.1000 5.0000]。
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(4) 矩阵的乘方： A^x 2．点运算
在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\\和.^。
两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。 2.3.2 关系运算
MATLAB提供了6种关系运算符：<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。
关系运算符的运算法则为：
(1) 当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。
(2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
(3) 当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
例2-8 产生5阶随机方阵A，其元素为[10,90]区间的随机整数，然后判断A的元素是否能被3整除。
(1) 成5阶随机方阵A。
A=fix((90-10+1)*rand(5)+10) (2) 判断A的元素是否可以被3整除。 P=rem(A,3)==0
其中，rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P是进行等于(==)比较的结果矩阵。 2.3.3 逻辑运算
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MATLAB提供了3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和～(非)。
若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。
若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。
在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。
例 立矩阵A，然后找出大于4的元素的位置。 解：矩阵A：
A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0] find(A>4)
2.4 矩阵分析
2.4.1 对角阵与三角阵
对角阵
(1) 提取矩阵的对角线元素
设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。
diag(A)函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。
(2) 构造对角矩阵
diag(V)将产生一个以V为对角线上元素的m×m对角矩阵
例 先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。
A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19];
D=diag(1:5);
D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数
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三角阵
(1) 上三角矩阵：
triu(A)：提取矩阵A的上三角阵的MATLAB函数；
triu(A,k)：求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵B。
(2) 下三角矩阵
tril(A)：提取矩阵A的下三角矩阵的函数；
tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。
2.4.2 矩阵的转置与旋转
1．矩阵的转置：转置运算符是单撇号(‘)。
2．矩阵的旋转：利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90º的k倍，当k为1时可省略。
3．矩阵的左右翻转：对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。
4．矩阵的上下翻转：对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。 2.4.3 矩阵的逆与伪逆
1．矩阵的逆：inv(A)。
例 用求逆矩阵的方法解线性方程组。
Ax=b
其解为：x=A-1b
2．矩阵的伪逆
如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A‘同型的矩阵B，使得：
A·B·A=A B·A·B=B
此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。
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2.4.4 方阵的行列式
求方阵A的行列式的值：det(A)。 2.4.5 矩阵的秩与迹
矩阵的秩： rank(A)。 矩阵的迹： trace(A)。 2.4.6 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。
常用范数： 1、向量的范数
1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2 ∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 其中2-范数就是通常意义下的距离。
向量的3种常用范数及其计算函数
(1) norm(V)或norm(V,2)： 计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)： 计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)： 计算向量V的∞—范数。 2．矩阵的范数
1-范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } 2-范数：║A║2 = A的最大奇异值
= ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2}
(谱范数,即A'A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵）；
∞-范数：║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。
2.4.7 矩阵的条件数
在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：
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(1) cond(A,1) 计算A的1—范数下的条件数。 (2) cond(A)或cond(A,2) 计算A的2—范数数下的条件数。 (3) cond(A,inf) 计算A的 ∞—范数下的条件数。 2.4.8 矩阵的特征值与特征向量
在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有3种：
(1) E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
(2) [V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。
(3) [V,D]=eig(A,‘nobalance’)：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。
例2-12 用求特征值的方法解方程。
3x5-7x4+5x2+2x-18=0 p=[3,-7,0,5,2,-18];
A=compan(p); %A的伴随矩阵 x1=eig(A) %求A的特征值
x2=roots(p) %直接求多项式p的零点
2.5 矩阵的超越函数
1．矩阵平方根（解矩阵方程X2 =A）： sqrtm(A) 例：A=[1 2 3;4 5 6;7,8,9] sqrtm(A)
2．矩阵对数（计算矩阵A的自然对数lnA）: logm(A) 例：A=[1 2 3;4 5 6;7,8,9] logm(A)
3．矩阵指数（求矩阵指数eA）： expm(A)： 例： A=[0 1 1;2 0 0;1,2,1] Expm1(A)
2.6 字符串
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在MATLAB中，字符串是用单撇号括起来的字符序列。
MATLAB将字符串当作一个行向量，每个元素对应一个字符，其标识方法和数值向量相同。也可以建立多行字符串矩阵。
字符串是以ASCII码形式存储的。abs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。相反，char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。
例 建立一个字符串向量，然后对该向量做如下处理： (1) 取第1～5个字符组成的子字符串。 (2) 将字符串倒过来重新排列。
(3) 将字符串中的小写字母变成相应的大写字母，其余字符不变。 (4) 统计字符串中小写字母的个数。 命令如下：
ch='ABc123d4e56Fg9';
subch=ch(1:5) %取子字符串 revch=ch(end:-1:1) %将字符串倒排 k=find(ch>='a'&ch<='z'); %找小写字母的位置 ch(k)=ch(k)-( 'a'-'A'); %将小写字母变成相应的大写字母 char(ch)
length(k) %统计小写字母的个数 与字符串有关的另一个重要函数是eval，其调用格式为： eval(t)
其中t为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对应的MATLAB语句来执行。
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