公司股票价值评估

数学建模与数学实验课程论文

姓名：XXX 班级：XXX122 序号：XX 学号：XXXXXXX 时间：2013.12.20

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公司股票价值评估模型设计

【摘要】

本文从全局入手研究该公司股票价值评估问题，通过题中所给出的分析师对该公司近几年每股收益和每股股利的预测数据，将公司股票的发展过程合理假定为三个阶段来进行研究：首先是成长阶段，其次是过渡阶段，最后是成熟阶段；进而逐步深入地讨论了各模型的有效性、适用性和复杂性。然而过渡阶段具有很强复杂性，对过渡阶段的研究将直接影响我们的整个评估模型的合理性和准确性，因此本文着重对过渡阶段模型进行了研究；同时运用概率统计学、经济学原理和Excel、python 等软件模拟分析股票内在价值，求出适合本题要求的输入输出函数，最终运用DDM模型中的多元增长模型找到该公司股票价值未来的发展规律。然后，我们采用试错法检验函数结果，又由于所给预测数据具有一定的离散性，故最后我们使用样条插值法（B-Spline插值）对过渡阶段模型结构进行优化，进而使整个评估评价模型合理可行。

关键字：股票价值评估 多元增长模型 过渡阶段 试错法 python

软件 离散性 样条插值法（B-Spline插值）

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问题的重述

某公司2005年年报披露其每股收益为0.167元,每股派息0.04元,分析师在对公司所处的行业环境和企业内部情况进行了详细的研究之后,预测该公司在未来的6年中将处于高速增长阶段,5年的每股收益和每股股利预测如下: 年份 2006 2007 2008 2009 2010 2011 每股收益 0.267 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.06 0.16 0.24 0.32 0.5 0.66 每股股利 分析师认为从第7年开始以后的三年中，公司处于由成长转向成熟的过渡期。预测第7年该公司的每股收益和每股股利分别为1.39和0.82元。预测在成熟阶段（第10年之后），每股收益增长率以每年5%的速率递增，股利支付率为70%，公司的必要收益率为12.3%。试对该公司的股票价值进行评估。

一、 问题的提出

问题一、由分析可知，表中所给数据无规律性，那么应该如何处理数据，找出其规律性呢？

问题二、由题分析可知，股票的发展呈三个阶段：成长阶段、过渡阶段、成熟阶段，那么，这三个阶段的模型各是怎样呢，又该如何建立？

问题三、如何运用模型对公司股票价值进行评估？

二、 问题分析

对于问题一，从以上的预测数据可知，第1年到第6年每股收益的呈快速增长趋势，数据呈离散型分布；第7年到第10年间的数据待求；第10年以后股票已进入成熟阶段。但根据题设可知，第10年后每股收益增长率保持为5%不变，股利支付率保持为70%也不变，因此可计算出每年的每股收益增长率和股利支付率来找规律。

对于问题二，有分析可知，股票增长分为三个阶段： i. 成长阶段，即快速增长阶段； ii. 过渡阶段； iii. 稳定增长阶段。

因此，我们可以采用DDM模型中的多元增长模型[1]对该公司股票价值进行定量预测，即根据现有的股票每股收益和每股股利等统计资料和原始数据，提出合理的控制要求和假定，应用科学的方法，对公司股票进行价值评估。

对于问题三，根据《金融经济学原理》[2]、《金融市场与金融机构基础》[3]等书籍和相关资料[4]以及所建模型，求出公司股票的内在价值[5]。

三、 基本假设

针对本问题，建立如下合理的假设：

1、 假设题中所给数据能反映该公司股票价值变化的基本情况；

2、 一些重大事件，如公司破产、债务危机等对股市有重大影响的暂不考虑；

3、 未分配利润、历年分红情况、股东情况、基金、社保、外资等均处于稳定状态； 4、 每股净资产、净资产收益率、市场平均收益率、存款利率、行业收益率均稳定； 5、 假设股票过渡期的每股收益率呈线性衰减，股利支付率呈线性增长。

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四、 符号约定

ｔ T ｋ ｇ Et Dt Pt Gt VT- VT VT+

时点（1，2，3，……）

在时点以后，股利按不变增长模型进行变动 必要收益率

成熟期的收益增长率 第t年每股收益 第t年每股股利 第t年股利支付率 第t年每股收益增长率

在股利无规则变化时期的所有预期股利的贴现值

从时点T 来看的股利不变增长率时期的所有预期股利的贴现值 在T时刻以后t=0时的所有股利的贴现值

五、 模型建立

根据假设，第一部分包括在股利无规则变化时期的所有预期股利的现值，VT− 表示这一部分的贴现值，它等于：

VT - = ∑t=1TDt/(1+k)t ·································（1）

第二部分包括从时点T 来看的股利不变增长率时期的所有预期股利的现值。因此，该种股票在时间T的价值(VT)，可通过不变增长模型的方程：

V=D1/(k-g)··························（2）

求出：

VT=DT+1*1/(k-g).....................................................(3)

但目前投资者是在t=0时刻，而不是t=T时刻来决定股票现金流的贴现值。于是，

在T时刻以后t=0时的所有股利的贴贴现值VT+ ：

VT+=VT*1/(1+k)T=DT+1/(k-g)(1+k)T...................................(4)

根据方程(1)，我们得出直到T时刻为止的所有股利的贴现值，根据方程(3)，得出T时刻以后的所有股利的贴现值，于是这两部分贴现值的总和即是这种股票的内在价值。用公式表示如下：

TtT

V=VT-+VT+=∑t=1Dt/(1+k)+DT+1/(k-g)(1+k).............(5)

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六、 模型求解

运用多元增长模型对该公司进行估值：

从以上分析师对公司的预测数据可知，2005年至2011年每股收益和每股股利的增长都是无规律的，第7年即2012年至第9年2014年，这三年公司处于由成长转向成熟的过渡期，而第10年之后公司股票呈稳定增长时期，由题中给的数据：预测第7年该公司的每股收益和每股股利分别为1.39和0.82元。预测在成熟阶段（第10年之后），每股收益增长率以每年5%的速率递增，股利支付率为70%，公司的必要收益率为12.3%。

我们从2005年算起，以2005年为第0年，2006年为第一年，往后推，对应计算公式为：

每年的股利支付率： P=Dt/Et,(t=1,2,3...,7) ; 每股收益增长率： G=(E(t+1)-Et)/Et (t=1,2,3...,7) 相关数据及计算结果制作成表格，如表1所示：

表1 t 0 1 2 3 4 5 6 7 年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 每股收益E 每股股利D 股利支付率P 0.167 0.267 0.04 0.06 0.4 0.16 0.6 0.24 0.8 0.32 1 0.5 1.2 0.66 1.39 0.82 22.5% 40.0% 40.0% 40.0% 50.0% 55.0% 59.0% 60% 50% 50% 33% 25% 20% 16% 每股收益增长率G 根据假设5：假设股票过渡期的每股收益率呈线性衰减，股利支付率呈线性增长，即该公司第7年至第9年公司股票的每股收益率呈线性衰减，股利支付率呈线性增长，由G7=16%，G10=5%可知，收益增长率每年衰减率为3.7%；且由P7=59%，P10=70%可知，股利支付率的每年线性增长率也为3.7%，由此可推算出第8年到第10年的每股收益E和每股股利D，拟合[7]过程及结果在图1中作了特别标注的数据可以看出；计算结果如表2：

表2 t 8 9 10 11 年份 2013 2014 2015 2016 每股收益E 每股股利D 股利支付率P 每股收益增长率G 1.583 0.99 12% 1.730 1.15 9% 1.821 1.27 5% 1.916 1.34 70.0% 5% 62.7% 66.3% 70.0%

又由题设知，公司的必要收益率为12.3%。到此为止，我们得到了决定多元增长模型的所有信息。

根据所求结果，使用excel表格将计算成果绘成图表，以便能通过G—t图和P—t图直观地观察反应该公司股票的基本信息，如图1：

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图1

下面进行模型求解：

第一步，首先计算在T=9时，VT-的值（即从D1到D9之贴现值和），由公式（1）得：

Vt-=∑t=1TDt/(1+k)t=1.53602582472（元）

第二步，由公式（4）计算得：

Vt+=Dt+1/(k-g)(1+k)T=1.27/(12.3%-5%)(1+12.3%)9=6.12439304298(元)

再由公式（5）计算得该公司股票的内在价值：

V=Vt-+Vt+=1.53602582472+6.12439304298=7.6604188677（元）

所以，根据假设5，由多元增长模型计算得该公司股票的内在价值为7.6604188677元。

七、 模型正确性检查

由公式（3）可见，不变增长模型有一个简单的关于内部收益率的公式，而对于多元增长模型而言，不可能得到如此简洁的表达式。在方程(5)中，用P代替V，用代替k，可得到：

P=∑t=1TDt/[(1+k*)t+Dt+1/(k*-g)(1+k*)t]...........(6) 虽然不能得到一个简洁的内部收益率的表达式，但是仍可以运用试错方法[8]，计算出多元增长模型的内部收益率。即说，在建立方程(6)之后估计 ，当代入一个假定的后，如果方程右边的值大于P，说明假定的太小；相反，如果代入一个选定的值，方程右边的值小于P，说明选定的太大。继续试选，最终能找到使等式成立的。

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根据已经求得的数据，当V=7.6604188677时，T的取值为9，对应的P值为66.33%按照这种试错方法，取（11.6%，13.0%），步长为0.2%使用python编程[9][10]计算得，该公司股票的内部收益率是12.25%，把给定的必要收益率12.3%和该近似的内部收益率12.25%相比较，可知，该多元增长模型是合理的，可行的！

八、 模型的进一步优化

由于以上模型的计算结果是基于假设5（即假设股票过渡期的每股收益率呈线性衰减，股利支付率呈线性增长），然而过渡阶段的变化是复杂的，不一定是线性关系，而且线性假设的准确度不高。更值得思考的是，题目所给的预测数据是呈离散性分布的，而我们的假设是却线性的，这样一来，我们的假设就有些稍欠合理，因此我们对使用B-Spline插值法[11]对过渡阶段重新进行模拟计算，然后比较这两种模型，以期得到一个有更具有参考性和相对准确度高的结果。

通过python软件分别对每股收益增长率G和股利支付率P进行B样条插值法分析得G8= 11.35%，G9= 7.28%；P8= 63.62%,，P9= 67.73%. 分析结果的图像如图2、图3：

图2：股利支付率P曲线

图3：每股收益增长率G曲线

经过整理和编程计算，计算结果整理如表3：

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表3

t 年份 每股收益E 每股股利D 股利支付率P 每股收益增长率G t 年份 每股收益E 每股股利D 股利支付率P 每股收益增长率G 0 2005 0.167 0.04 23.95% 7 2012 1.39 0.82 58.99% 15.83% 1 2006 0.267 0.06 22.47% 59.88% 8 2013 1.548 0.98 63.62% 11.35% 2 2007 0.4 0.16 40.00% 49.81% 9 2014 1.660 1.12 67.73% 7.28% 3 2008 0.6 0.24 40.00% 50.00% 10 2015 1.743 1.22 70.00% 5.00% 4 2009 0.8 0.32 40.00% 33.33% 11 2016 1.831 1.28 70.00% 5.00% 5 2010 1 0.5 50.00% 25.00% 6 2011 1.2 0.66 55.00% 20.00% 同理，根据多元增长模型，第一步，首先计算在T=9时，VT-的值（即从D1到D9之贴现值和），由公式（1）得：

Vt-=∑t=1TDt/(1+k)t=1.5234868384（元）

第二步，由公式（4）计算得：

Vt+=Dt+1/(k-g)(1+k)T=5.88327520665(元)

再由公式（5）计算得该公司股票的内在价值：

V=Vt-+Vt=1.5234868384+5.88327520665=7.40676204504（元）

所以，由B-Spline插值法优化过渡阶段后的多元增长模型计算得该公司股票的内在价值为7.40676204504元。

九、 参考文献

[1] 王国星《财政与金融教程》中国财政经济出版社 (2011,7出版) 第六章金融概述

[2] 王桂春《股票内在价值估计模型综述》 ——《商业文化（学术版）》2007年06期

[3] 刘捷、王世宏 《如何正确运用DDM进行上市公司估值》——《中国管理信息化（综合版）》

[4] 焦光虹 《数学实验》 科学出版社 2006年1月 第五章 曲线拟合

[5] 王世焕.试错法及其在教育政策中的表现.齐齐哈尔师范高等专科学校学报.2006年4期总第94期

[6] （美）Tim Altom，（美）Mitch Chapman著；云舟工作室译. Python编程指南. 中国水利水电出版社, 2002.

[7] 陈理荣 主编，数学建模导论，北京邮电大学出版社, 1999. 176~181页

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[8] 陈宝林《最优化理论与算法（第二版）》清华大学出版社 （2006年4月）

十、 附件

附件一：

B样条插值法得 “股利支付率P曲线”程序、图像以及结果：

#coding=utf-8

import numpy as np

from scipy import interpolate import pylab as plt

x = np.array([0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15])

y = np.array([0.2395,0.2247,0.4,0.4,0.4,0.5,0.55,0.5899,0.7,0.7,0.7,0.7,0.7,0.7])

xx = np.linspace(0,16,1000)

f = interpolate.UnivariateSpline(x,y,k=3,s=0) zz = f(xx)

x1 = 8 x2 = 9 y1 = f(x1) y2 = f(x2)

print \"x=8时 y=\" + str(y1) print \"x=9时 y=\" + str(y2)

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(x,y,'ro')

plt.plot(xx,zz,color='green') plt.plot(x1,y1,'bo') plt.plot(x2,y2,'bo')

plt.show()

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图1.1：股利支付率P曲线

计算结果截图：

图1.2：计算结果

附件二：

B样条插值法得 “每股收益增长率G曲线”程序、图像以及结果：

程序：

#coding=utf-8

import numpy as np

from scipy import interpolate import pylab as plt

x = np.array([1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15])

y = np.array([0.5988,0.4981,0.5,0.3333,0.25,0.2,0.1583,0.05,0.05,0.05,0.05,0.05,0.05])

xx = np.linspace(1,16,1000)

f = interpolate.UnivariateSpline(x,y,k=3,s=0) zz = f(xx)

x1 = 8 x2 = 9 y1 = f(x1)

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y2 = f(x2)

print \"x=8时 y=\" + str(y1) print \"x=9时 y=\" + str(y2)

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.plot(x,y,'ro')

plt.plot(xx,zz,color='green') plt.plot(x1,y1,'bo') plt.plot(x2,y2,'bo')

plt.show()

图2.1: 每股收益增长率G曲线

计算结果截图：

图2.2:计算结果

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