吉林省长春市2016-2017学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）
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吉林省长春市2016-2017学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）
长春市2016-2017学年第二学期第二次月考
高一数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共4页。考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写,字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知在△ABC中，A。
B.
，
， D。
，则角的度数为（ )
C.
【答案】C
【解析】在△ABC中,
，，.
2
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由余弦定理得。
所以
，故选C。
2. 已知向量 ，
,若向量⊥，则实数的值为( ）
A。 1 B. 2 C。 3 D. —3 【答案】C 【解析】向量 ，
，
因为向量⊥，所以，故选C。
3。 已知，，
，则向量与的夹角为（ ）
A.
B.
C.
D。
【答案】D..。 【解析】由
，平方得：
，.设向量与的夹角为,则，所以
,故选D. 4。 已知等差数列的前项和为
，它的前
项和为
,则前
项和为（A.
B.
C。
D。
【答案】A
【解析】∵等差数列的前10项和为30,它的前30项和为210,
由等差数列的性质得：
S10,S20−S10,S30−S20成等差数列，
∴2(S20−30)=30+(210−S20)， 解得前20项和S20=100。 故选：A。
5. 若正实数a，b满足，则( ） A.
有最大值4 B.
有最大值
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C. ab有最小值 D. 【答案】B
有最小值
【解析】∵正实数a,b满足a+b=1, ∴由于正确。
由基本不等式可得a+b=1⩾2∵故选：B.
点睛:本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件:一正二定三相等。①一正:关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
6。 若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为为A. 【答案】A
【解析】根据题意，画出图形，如图所示；
的等腰梯形,则原平面图形的周长为（ ）
B.
C.
D.
⩾2+2=4，故
,∴
有最小值4,故A不正确。
⩽
，故
有最大值为
,故B,∴ab⩽,故ab有最大值14,故C不正确。
，故
有最小值，故D不正确。
，腰和上底均
原来的平面图形上底是1，下底是它的周长是1+2+（
)+
,高是2的直角梯形，
。
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故选:A。。.。
7. 对于直线,和平面，以下结论正确的是（ ） A. 如果B. 如果C. 如果
、是异面直线，那么∥
与相交，那么、是异面直线 ∥，、共面，那么∥
D。 如果∥，∥，、共面,那么∥ 【答案】C
【解析】由直线m,n和平面α，知:
在A中,如果m⊂α，n⊄α,m、n是异面直线，那么n与α相交或平行，故A错误； 在B中,如果m⊂α，n与α相交，那么m与n相交或异面,故B错误；
在C中，如果m⊂α,n∥α,m、n共面，则由直线与平面平行的性质得m∥n,故C正确; 在D中,如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m与n相交或平行,故D错误. 故选：C.
8。 下列条件能判定平面∥的是（ ） ①∥且∥ ②
⊥且
⊥ ③ ∥且∥ ④⊥且⊥
A。 ①③ B. ①② C。 ②④ D。 ③④ 【答案】B
【解析】对于①，设l⊥γ，∵α∥γ，β∥γ，则l⊥α,l⊥β,于是α∥β，故①可得出
α∥β；
对于②，由“垂直于同一条直线的两个平面平行“可得α∥β，故②可得出α∥β； 对于③,设α∩β=n，m∥n，m⊄α,m⊄β,则m∥α,m∥β,显然α，β相交,故③不能判断
α∥β；
对于④,当α,β，γ两两垂直时，显然不能得出α∥β.
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故选B.
9。 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 （ ）
A. B. C。 D.
【答案】A
考点:1。三视图;2.空间几何体的体积．
10。 周长为20的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是（A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设矩形的长、宽分别是x，y,则x+y=10, 所以圆柱的侧面积S侧=
,
当且仅当x=y=5时，取“=”号。
∴当矩形的长、宽都是5时,旋转所形成的圆柱侧面积最大值是50π. 故选：B 11. 将一个正方体金属块铸造成一球体，不计损耗，则其先后表面积之比值为( ）.。。
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A。 B. C. 【答案】D
D.
【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，则a=πR， ∴
，
2
2
33
∴先后表面积之比值为6a：4πR=。 故选:D。
12。 已知一圆锥的母线长为
，底面半径为
，若该圆锥内有一球,球与圆锥的底面及圆
锥的所有母线都相切，则球的表面积为（ ） A。
B.
C。
D.
【答案】A
【解析】
设圆锥的底面半径为r，高为h,母线长为l， ∵l=10cm，r=5cm,∴即圆锥的高等于
cm cm；
作出圆锥的轴截面如图，球于圆锥侧面相切，
则OE⊥AB于E，BD⊥AD于D，OE=OD=R,（R为球的半径) 则△AEO∼△ADB,可得解之得球半径R=因此球的表面积为
，即R=5=
,
cm，
，故选A.
点睛：求解球与棱柱、棱锥等的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转
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化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13。 已知向量【答案】5 【解析】向量
。
.
14. 若【答案】9 【解析】因为当且仅当
时，即
，所以
时，
的最小值为9.
.
的最小值为_______________；
，
,
，
，则
________________;。。。
点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时,应具备三个条件：一正二定三相等。①一正:关系式中，各项均为正数；②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值。 15。 已知单调递减的等比数列列
的通项公式
满足
，且
是，的等差中项,则数
________________；
【答案】 （形式不唯一）
）=
①，
【解析】设等比数列｛an｝的公比为q，依题意:有2（又∴a2+a4=20 ∴
,解得
或
,
，将①代入得a3=8,
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又｛an}为递减数列。 ∴a1=32，q=， ∴an=
。
,
,
两两垂直，且
,则这个球
16. 在球面上有，，，四个点，如果的体积为_______________. 【答案】
【解析】空间四个点，，,在同一球面上，则
，
，
,，两两垂直，且,
可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，
所以过空间四个点，,,的球面即为棱长为6的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线,长为
，
。
.
。
所以这个球面的面积综上所述答案为：
点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题,要有一定的空间想象能力,这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置,借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线(这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点,就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径,例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体,它们是同一个外接球.
三、解答题：本题共6小题,17题10分，18-22题每小题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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17。 已知△ABC的三角 （1) 求角的度数. （2）若△ABC的面积【答案】(1）
成等差数列，三边成等比数列.
,求边的长.
； (2）2。。.。
【解析】解：（1）∵△ABC的三角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°．
（2）∵三边a，b，c成等比数列．∴b=ac， 由余弦定理可得：cos60°=∴△ABC是等边三角形． ∴△ABC的面积S=
=
×b,解得b=2．
2
2
，∴=，化为a=c．
【点评】本题考查了余弦定理、三角形内角和定理、三角函数求值、等边三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18。 已知
是等差数列，是其前项和，，，
（1）求数列的通项公式;
（2）当取何值时最大,并求出这个最大值. 【答案】（1）
； （2）
时，最大值为30.
【解析】试题分析：（1）设等差数列｛an｝的公差为d，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
(2)令an≥0，解得n≤6．可得n=5，或6时，Sn取得最大值． 试题解析:
（1）设等差数列｛an｝的公差为d, ∵a1+a3=16，S4=28．∴2a1+2d=16，4a1+
d=28，
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联立解得：a1=10,d=﹣2． ∴an=10﹣2（n﹣1）=12﹣2n． (2）令an=12﹣2n≥0，解得n≤6． ∴n=5或6时,Sn取得最大值，为S6=
=30．
19. 已知正三棱柱所有的棱长均为，是的中点，
(1)求多面体（2）求点到平面【答案】（1)
的体积； 的距离。
; (2)。
，分别求三棱柱和锥的体积即
【解析】试题分析：（1）体积分割可；
（2）利用等体积法求距离即可. 试题解析: （1)
正三棱柱
所有的棱长均为2，D是,
多面体
的体积:
的中点， 。。.
,
•
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（2)设点到平面的距离d,由
，
可得：
，得到d=.
20。 如图在正方体中中,
（1）求异面直线所成的角；
（2）求直线D1B与底面所成角的正弦值；
(3)求二面角大小的正切值. 【答案】(1）
； （2）； (3）
.
【解析】试题分析：（1）连接AC,AD1,∠AD1C即为BC1与CD1所成角； (2）DD1⊥平面ABCD，∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角；
（3）连接BD交AC于O，则DO⊥AC，∠D1OD为二面角D1﹣AC﹣D的平面角. 试题解析:
（1）连接AC,AD1，如图所示：
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∵BC1∥AD1，
∴∠AD1C即为BC1与CD1所成角， ∵△AD1C为等边三角形， ∴∠AD1C=60°，
故异面直线BC1与CD1所成的角为60°； （2）∵DD1⊥平面ABCD，
∴∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角， 在Rt△D1DB中，sin∠D1DB=
=
∴直线D1B与平面ABCD所成角的正弦值为；
（3）连接BD交AC于O，则DO⊥AC，.。. 根据正方体的性质，D1D⊥面AC, ∴D1D⊥AC，D1D∩DO=D, ∴AC⊥面D1OD,∴AC⊥D1O，
∴∠D1OD为二面角D1﹣AC﹣D的平面角． 设正方体棱长为1, 在直角三角形D1OD中，DO=，DD1=1，
∴tan∠D1OD=
．
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点睛：（1)求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是:将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出,因此平移时要求选择恰当位置。
（2）求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值,当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.
21。 在四棱锥中，平面，∥，，
（1)求证:（2)求证：平面（3)设点为
使得
平面
平面
中点，在棱上是否存在点，
∥平面?说明理由。
【答案】详见解析
试题解析： (1）又
平面，且
，
平面,平面
,
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（2) 又(3）取
平面
平面，
,且平面,
∥，平面
平面，
中点，连结
，
，则∥平面∥
，又
。
平面
,
,分别为平面
中点，则∥平面
，所以
22。 设等差数列（1）求的值及数列（2）设（3）若
的前项和为，且的通项公式；
的项和为；。。.
（是常数，）,,
，求数列对
恒成立，求最大正整数的值．
【答案】（1）;(2）;（3）2.
【解析】试题分析：(1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出； （2)利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出； （3）由试题解析： (1）解:因为所以当当即解得则所以
知数列单调递增,故成立求m即可。
时，时，
，解得
，解得，所以
，数列的公差
．
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(2）因为所以
① ②
－②得所以(3）因为所以数列所以
单调递增，最小,最小值为
，所以
，
故正整数的最大值为。
点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；(2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。
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