高数2005-2016年专插本试题(卷)与答案解析

历年试题集及答案

(2005-2016)

2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分） 1、下列等式中，不成立的是 ．．．

A、

1sin(x)1xsin1 B、limlimxxxx1sinx21 C、limxsin0 D、limxxx0x02、设f(x)是在（,）上的连续函数，且

x2f(x)dxec，则x2f(x)xdx=

A、2e B、2exc C、3、设f(x)cosx，则

1x21eC D、exC 22limxaf(x)f(a)

xaA、-sinx B、cosx C、-sina D、sinx 4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是

A、

f(x)|x| B、f(x)x2 C、f(x)1x2 D、f(x)x3

x5、已知u(xy)，则

u= y2x1A、x(xy)2x1 B、xln(xy) C、x(xy) D、yln(xy)

2二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限

limx(ex1x1)= 。

7、定积分

11ex2sinxdx= 。

2x，则f(1)= 。 2xa(x1),x0,9、若函数f(x)在x=0处连续，则a= 。 1x(12x),x0.8、设函数f(x)ln10、微分方程

2dx2xy2xex的通解是 。 dy

三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限

22(nnn1)。 limn12、求极限

limx0x0ln2(1t)dtx2。

13、已知yarctanx21lnxx12，求y'。

14、设函数yy(x)是由方程arctan15、计算不定积分(ylnxx2y2所确定的隐函数，求

dy。 dx111x3)dx。 23sinxxx1e1t16、计算定积分

2ln2ln2dt。

17、求由两条曲线ycosx,ysinx及两条直线x0,x成的旋转体体积。 18、计算二重积分

6所围成的平面图形绕x轴旋转而

ln(xD2y2)dxdy,其中积分区域D(x,y)1x2y24 。

19、求微分方程y''4y'3y0满足初始条件y(0)2,y'(0)6的特解。 20、已知zsin(xy)xexy，求全微分dz。

1x22四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分） 21、设f(x)xe，

（1）求f(x)的单调区间及极值；

（2）求f(x)的闭区间[0，2]上的最大值和最小值。 22、证明：当t0时，

111ln(1)。 1ttt23、已知f()2，且[f(x)f''(x)]sinxdx5，求f(0)。

0

2005年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、D 2、B 3、C 4、C 5、A 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6、1； 7、0； 8、829 9、e2 10、ex(x2c) 三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

11、解：lim(n2nn21

nlimn1nn2nn21

11 limn1n11n112n2x'ln2(1t)dtxln(1t)12、解：

lim02dt0x0x2limx0x2' 2 limln(1x))2'2ln(1xx02xlimln(1x)x02x'lim1x0

x0213、解： y'(arctanx21''lnx x211x21x21'ln11x1x21'xx2x2 12x 2x12x21lnxxlnx2x2x21xx21x21x213214、解法一：设F(x,y)arctanyxlnx2y2，则 F'1x(x,y)yxy212x22 1yx22x2y2xyx

2分5分2分

5分

2分5分2分

Fy(x,y)'xy112y 22222xyyx2xy1x14分

Fx'x,yxydy 故 。 ', （x≠y）

dxFyx,yxy解法二：方程arctan5分

yy1lnx2y2可写为 arctanln(x2y2) xx2视yy(x)，上式两边对x求导得

1y1x即

2xy'y12x2yy'， 222x2xy3分

xy'yxyy'，

x2y2x2y2dyxyy' （x≠y） dxxy24分

所以y'(xy)xy，推出

5分

333x111xcotxc 15、解：32dxxlnx32ln3sinxxx（每项的原函数求对各得1分，总体答案写对得5分）

16、解：令e'1u，则e'1u2,dt2ln22udu 21u1分 3分

ln21dte'132u 21u(1u)3213du2arctanu2 6分 1234611u17、解：由两条曲线ycosx,ysinx及两条直线x0,x6所围成的平面图形

如图所示（要画出草图，不画图不扣分），依题意，旋转体的体积为

6Vcos02xsin2xdx

3分

6cos2xdx02sin2x066分 3 5分 418、解：采用极坐标变换xrcos,ysin，则

2

lnx2y22dxdyDd2rlnrdr

0122 rlnr2r2218ln2321 19、解：方程y''4y'3y0的特征方程为 2430 解出13,21

可知方程的通解为 yc3x1ec2ex

由上式可得 y'3c1e3xc2ex

用初始条件y(0)2,y'(0)6代入上面两式得 c1c22,

3c1c26解出c14,c3x26 故所求的特解为y4e6ex

20、解：

zycos(xy)exyxxyexy zxcos(xy)x2exyy 故 dzzxdxzydy ycos(xy)exy1xydxxcos(xy)x2exydy

四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分）

21、解：f(x)xe12x2的定义域为(,)，f'(x)(1x2)e12x2

令f'(x)0，解出驻点（即稳定点）x11,x21 列表

x (,1) -1 （-1，1） 1 (1,) f'(x) — 0 + 0 — f(x) 单调减 极小 单调增 极大 单调减 可知极小值f(1)1e

3分 5分

2分 3分

5分

2分 4分

5分

2分4分

极大值f(1)1 e5分

（2）因f(x)在[0，2]上连续，由（1）知f(x)在（0，2）内可导，且在（0，2），内只有一个驻点x1（极大值点），因f(0)0,f(1)16,f22e2，且

f(0)0f(2)2e2f(1)1e 12故f(x)xe2x在闭区间[0，2]上的最大值为f(1)1e，最小值为f(0)0 22、证明：设f(x)ln,则f'(x)1x,xt,t1 由拉格朗日中值定理知，存在一点t,t1，使

f(1t)f(t)f'()，即 ln111t，

又因

11t111t，故1tln11t1t 23、解：应用分部积分法

 (f(x)f''(x))sinxdx0(x)cosxdx

0f(x)sinxdxf'(x)sinx0f'0 f(x)sinxdxf(x)cosx0)f(0),

0f(x)sinxdxf(0由题意有f()f(0)5,f()2,所以f(0)3 6

8分 1分

4分

6分

2分

4分

分

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《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有一项是符

合题目要求的） 1、函数f(x)3x1在x = 0处

A. 无定义 B. 不连续 C. 可导 D. 连续但不可导 2、设函数f(x)在点x0处连续，且

f(x)4.则f(x0)= limxxxx00A. -4 B. 0 C.

1 D. 4 41xa(1x),x0,3、设函数f(x)若limf(x)存在，则a =

11xx0xsin,x0,x23113A. B. e1 C. e1 D.

22224、设zln(xy)，则dz =

A.

1111dxdydxdy B. dxdy C. D. ydxxdy xyyxxy5、积分

0exdx

A. 收敛且等于-1 B. 收敛且等于0 C. 收敛且等于1 D. 发散 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、若直线y4是曲线yax3的水平渐近线，则a= 。

2x1所确定的曲线在t=0相应点处的切线方程是 。

7、由参数方程8、积分

x2sint1,yet(xcosxsinx)dx 。

x9、曲线ye及直线x = 0，x = 1和y = 0所围成平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积V =

。

10、微分方程4y4y5y0的通解是 。

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明）

11、求极限limln(2n1)ln2。 n12、计算不定积分

dx。

x(1x)13、设函数ysin2()2x，求14、函数y = y(x)是由方程ey15、计算定积分16、求二重积分

1xdy。 dxdy在点（1，0）处的值。 dxx2y2所确定的隐函数，求

10ln(1x2x)dx。

222xyd，其中积分区域D(x,y)xy1,xo。 D2xx17、设函数zxarctan，求

yxy。

x1y118、求微分方程y'tanxylny满足初始条件yx6e的特解。

四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分）

19、已知函数f(x)是g(x)5x20x15x在(,)上的一个原函数，且f(0)=0. （1）求f(x)；

（2）求f(x)的单调区间和极值；

432（3）求极限limx0x0sin4tdtf(x)。

20、设f(x)，g(x)都是(,)上的可导函数，且f'(x)g(x),g'(x)f(x),f(0)1，g=(0)=0。试证：f(x)g(x)1,x(,)。

22

2006年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、D 2、B 3、B 4、A 5、C 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6、8 7、x+2y-3=0 8、4 9、

2(e1) 10、ye(c1cosxc2sinx)

2x2三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

1111、解法一：limn) (ln(2)ln2limnln(1n2nnnlimln(1n1n)2n2分 3分

12n1limln[(1)]22nn

lne12ln(21)ln2n 1n126分

解法二：

1n(ln(2)ln2limlimnnn2分 4分

(lnx)'1xx2x21 26分 1分

11解法三：limn(ln(2)ln2limxln(2)ln2 nxnnln(2lim

x1)ln2x 1x2分

11(21(x2)x)xlim1x2 

xlim121x12(说明:不转换成函数极限,直接用洛必达法则计算可以不扣分)

12、解法一：

dxx(1x)211xdx

=2arcsinxc

解法二：

dxx(1x)1xx2dx11d(x1(x1)22)

42=arcsin(2x1)c

解法三：设x= t，则x = t2

dxx(1x)1t1t22tdt

=211t2dt=2arcsintc

=2arcsinxc

13、解：sin2(1)2sin1cos1(112xxxx2)=x2sinx， (2x)'2xln2，

''dysin2(1)2x112sin2()(2xdxxx)'x2sinx2xln2 14、解法一：将方程eyx2y2两边对x求导数得

eyy'2x2yy'2x2y2，

4分

5分 6分

2分

6分

2分

6分 1分

3分

5分

6分

3分 5分

6分

1分 4分

则y'(eyx2y2y)x dyxx y'2yy22dxexyyey5分

dydxy1。

x10解法二：将方程eyx2y2两边取自然对数得

y1ln(x22y2)y'12x

22yy'x2y2则y'(x2y2y)x dydxy'xxx2y2ye2yy dydxy01.

x1解法三：设F（x,y）=eyx2y2，

则，F'xx2x2x2y2x2y2， F'2yyxey2x2y2eyx2y2， xdydxF'xF'x2y2xxyeyyeyx2y2ye2yy x2y2dydxy1.

x1011、解：ln(1x2x)dxxln(1x2x)10xln(1x2x)'dx

001ln(21)x01x2dln(21)1x210

ln(21)21.

6分

1分 4分

5分

6分

1分

2分

3分

5分

6分

2分

4分 5分 6分

15

16、解法一：D=(x,y)x2y21,x0如答图1所示

1分

11y2

xy2dxy2dxdyxy2dx 3分

DdyD101(1x2y21y24分

0)dy12111y32(1y)y2dy(y52)11 5分 12351312515.6分

解法二：D=(x,y)x2y21,x0如答图1所示

21

xy2dd

Dd4cos0222151cos2sind14cossin250d522 1123sin352215.（说明：本题不画图，不扣分）

17、解：z1yx1(x(x2)

y)2y=x2x2y2， 2z2x(x2y2)x2yx2x(x2y2)2xy2(x2y2)222

zyxx1y1412.18、解：原方程可变形为：

dyylnycotxdx，

1分

3分

4分

5分 6分

2分

3分

5分

6分

2分

dycotxdxlnlnylnsinxc1 ylny4分

（说明：没写绝对值不扣分） 化简得：yecsinx

1c25分

将初始条件代入得：ee故所求的特解为ye2sinxc2

6分

.

四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分） 19、解：（1）f'(x)g(x)5x20x15x,

4321分 3分

4分

f(x)(5x420x315x2)dxx55x45x3c.f(0)0c0,f(x)x5x5x.（2）f'(x)g(x)5x20x15x(x3)(x1)，

令f'(x)0，解得x=0，x=1，x=3. 列函数性态表如下

4325435分

x y' （,0） + ↗ 0 0 无极值 （0，1） + ↗ 1 0 极大值 （1，3） － ↘ 3 0 极小值 （3，） + ↗ y

（说明：不列表，分别讨论单调性不扣分）

8分

故f(x)在区间（,1）及（3，）单调上升，在区间（1，3）单调下降；

f(x)的极大值f(1)=1，极小值f(3)=－27。

x4sintdt09分

（3）解法一：limx0f(x)sin4xlim x0f'(x)11分

sin4xlim4x05x20x315x2sin4xx2 lim 24x0x5x20x150.

12分

14分

xsin4tdt解法二：lim0x0limsin4xf(x)) x0f'(xlimsin4xx05x420x315x2limx2x15 x05x2200.

20、证明：设F(x)f2(x)g2(x)，

则F'(x)2f(x)f'(x)2g(x)g'(x)。

f'(x)g(x),g'(x)f(x)F'(x)2f(x)g(x)2g(x)f(x)0.

故F(x)f2(x)g2(x)=c，c为常数。 又f(0)1,g(0)0,

c1f2(x)g2(x)1,x(,)。

11分

12分

14分

1分 143分分

5分 6分

8分

2007年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有一项是符

合题目要求的） 1、函数f(x)2lnx1x12的定义域是

A.（，0）（0，） B.（，0） C.（0，） D. Ø 2、极限

lim(x2)sinx21 2xA. 等于-1 B. 等于0 C. 等于1 D.不存在 3、设F(x)是f(x)在（0，）内的一个原函数，下列等式不成立的 ．．．A.

f(lnx)dxF(lnx)C B. cosxf(sinx)dxF(sinx)C xC. 2xf(x21)dxF(x21)C D. 2xf(2x)dxF(2x)C

4、设函数(x)(t1)dt，则下列结论正确的是

0xA. (x)的极大值为1 B. (x)的极小值为1 C. (x)的极大值为11 D. (x)的极小值为 22x3y3,(x,y)(0,0),x2y2'5、设f(x,y)则fx(0,0)

0,(x,y)(0,0).A.等于1 B.等于-1 C.等于0 D. 不存在

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

x16、极限lim 。

xx17、设f(x)xx12，要使f(x)在x3处连续，应补充定义f(3)= 。

x31ex228、设函数y1ex，则其函数图像的水平渐近线方程是 。

d2y9、微分方程24y0的通解是y= 。

dx10、设uln(xyz)，则全微分du= 。 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11、求极限lim22211的值。

x0xtanx12、设ycos2xln1x2，求二阶导数y''。 13、设函数yy(x)由方程arcsinxlnye14、计算不定积分232xy30确定，求

dydxx0。

x11dx。 32(3x2)4xdx。

315、计算定积分

x31x2016、设平面图形由曲线yx与直线y0及x2围成，求该图形线y轴旋转所得的旋转体体积。 17、设f(xy,xy)arctanxyf(x,y)f(x,y)x，计算y的值。

xyxy18、计算二重积分

D11xy22dxdy，其中积分区域Dx,yx2y28,y0。

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分） 19、若函数f(x)在(,)内连续，且满足f(x)2x0f(t)dtx2，求f(x)。

120、设函数f(x)1，

x（1）求f'(x)；

（2）证明：当x＞0时，f(x)单调增加。

x

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《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、C 2、B 3、D 4、D 5、A 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

212xdx2ydy2zdz6、e 7、4 8、y=1 9、c1cos2xc2sin2x 10、三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11、解：应用洛必塔法则，

原式=limsinxxcosx

x0xsinx =limxsinxxxcosx

x0sin =limsinxxcosxcosxxsinx

x0cosx =0.

12、解：y'2cosxsinx12xx21x2sin2x1x2. [说明：正确计算(cos2x)'和(ln1x2)'各得2分]

'2cos2x1x2 y'(1x2)2. 13、解：将x0代入方程arcsinxlnye2xy30得：

(y3x0)1yx01.

方程arcsinxlnye2xy30两边对x求导数得：

11x2lnyarcsinxydydx2e2x3y2dydx0. 将x0,yx01代入上式得：

23dydxx00dy2dxx03. 14、解：原式2xdx11(3x2)3dx4x2dx

x2y2z2

3分）

6分）

4分）

6分）

2分）

4分）

6分）

…………（…………（…………（…………（…………（…………（…………（

2x1xarcsinC. 2ln26(3x2)2（说明：正确计算2dx、…………（6分）

x11dx和(3x2)34x2dx各得2分）

15、解法一：设xtant，则x0时，t0；x3时，t.

…………（2分）

3 3x33tan3t01x2dx0sectsec2tdt  =320tantdsect  =

30(sec2t1)dsect

 =13sec3tsect3

0 =

43 13x2解法二：原式=201x2d(1x2)

=13201x21d(1x2) 1x2=1322(1x2)221x2343. 3016、解：如答图1所示，所求旋转体的体积为 V82y02dy8230ydy

…………（3分）5323385y6405. …………（6分）17、解：由题意知f(x,y)arctanxy， f(x,y)1xx21yyx2y2,1y2

…………（4分）

…………（6分）

…………（2分）

…………（4分）

…………（6分）

…………（2分）

f(x,y)x1x212yxxy2x2y2.

…………（4分）

f(x,y)f(x,y)y2x2故yx21.xyxy2x2y2

18、解：如答图2所示，

…………（6分）

D11xy2222dxdty

=

0dr1rr20dr

…………（3分）

=

22201r22220d(1r2)

= 1r

= 2 …………（6分）

四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分） 19、解：当x0时，有f(0)2由题意知f(x)可导，

2等式f(x)2f(t)dtx两边对x求导数得：f'(x)2f(x)2x.

0x00f(t)dt02f(0)0.

…………（1分）

y'2y2x 记yf(x)，则有=0.

yx02dx2dxdxC ye2xe…………（4分）

e2x2xe2xdxC 1e2xxe2xe2xC

2…………（6分）

xy1Ce2x. 2…………（8分）

11C0,C x022

12x1ex. 22120、解：（1）f(x)(1)x两边取对数得

x1lnf(x)xln(1),

x故f(x)两边对x求导数得

…………（10分）

…………（2分）

111f'(x)ln(1), f(x)x1x1则f'(x)1xx11ln1.

x1x1上应用拉格朗日中值定理得 x…………（6分）

（2）（证法一）当x＞0时， 记g(x)lnx，在1,11111＜＜g1g(1)g'(),1 xxx即ln111111111ln1＞0， ＞

xx11x1xx1xx于是f'(x)11xx…………（10分）

11ln1＞0，

x1x…………（12分）

故当x＞0时，f(x)单调增加.

（证法二）当x＞0时，记(x)ln111， x1x…………（8分）

则'(x)111＜0，

x(1x)(1x)2x(1x)2所以(x)在（0，）内单调下降.

又lim(x)limln110 xxxxx111当x＞0时，(x)＞0，于是f'(x)1(x)＞0，

x故当x＞0时，f(x)单调增加.

…………（10分）

…………（12分）

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《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有一项是符

合题目要求的）

1、下列函数为奇函数的是

A. xx B. ee C. ee D. xsinx 2、极限lim1xx01x2xxxx=

1

A. e B. e C. 1 D.-1 3、函数在点x0处连续是在该点处可导的

A.必要非充分条件 B. 充分非必要条件

C.充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 4、下列函数中，不是eA.

2xe2x的原函数的是

221x111eex B. exex C. e2xe2x D. e2xe2x 22225、已知函数zexy，则dz =

A. exydxdy B. ydxxdy C. exyxdxydy D. exyydxxdy 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6、极限limx= 。

x0exex7、曲线yxlnx在点（1，0）处的切线方程是= 。

8、积分

sinxcosxdx= 。

22xx9、设uecosy,vesiny，则

uv= 。 yx10、微分方程

dyx0的通解是 。 dx1x2三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11、计算limx0tanxx。

xsinx4在区间[-1，2]上的最大值及最小值。 2(x2)12、求函数f(x)3x

2tdyxe13、设参数方程确定函数y=y(x)，计算。

tdxytesinxsin2x14、求不定积分dx。

1cosx15、计算定积分

10ln(1x2)dx。

zz,。 xy16、设方程exy2zez0确定隐函数zz(x,y)，求17、计算二重积分

xy yedxdy，其中D是由y轴、直线y=1，y=2及曲线xy=2所围成的平面区域。D18、求微分方程yycosxesinx满足初始条件yx02的特解。

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）

exexx219、证明：对x＞0，＞1。

2220、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且0＜f(x)＜1，判断方程2x间（0，1）内有几个实根，并证明你的结论。

x0f(t)dt1在区

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《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、C 2、B 3、A 4、D 5、D 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6、

11 7、yx1 8、2 9、0 10、yln(1x2)C 22三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

sec2x1tanxx11、解：lim=lim

x01cosxx0xsinxtan2x =lim

x01cosx2tanxsec2x2. =limx0sinx12、解：f(x)1（3分）

（4分）

（6分）

8，

(x2)3（2分）

3令f(x)0，即(x2)8，解得驻点x=0，

（4分）

又f(1)0,f(0)2,f(2)及最小值m=0.

13、解：3，所以f(x)在区间[-1，2]上最大值M=2 4（6分）

dxdy2e2t,1et， dtdtdydydt1et. 2tdxdx2edt（3分）

（6分）

sinxsin2xsinxsin2xdxdxdx 14、解：1cosx1cosx1cosxd(1cosx)1cos2xdx

1cosx1cosx（1分）

（3分）

ln(1cosx)(1cosx)dx ln(1cosx)xsinxC.

（5分） （6分）

2x215、解：ln(1x)dxxln(1x)dx. 2001x012211（2分）

ln22201x21dx （3分）

ln2[2x2arctanx]10

（5分） （6分）

ln2216、解：设F(x,y,z)e则

xy2.

2zez,

FFFyexy,xexy,2ez， xyz（３分）

FFzyexyzxexyyx . ,Fez2yFez2xzz17、解：

（６分）

Dyedxdyxy21dyyexydx

2y02y0（2分）

==

.

1212[exy]dy

（４分）

(e21)dye21

（６分）

18、解：yecosxdxCesinxecosxdxdx （２分）

esinxCesinxesinxdxesinxCdxesinx(Cx)，（４分） 由条件yx02有2esin0(C0)C，

x0故满足初始条件y2的特解为yesinx(2x).

（６分）

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）

exexx2xx219、证明：＞1等价于ee＞2x.

22xx2令f(x)ee2x，

（2分）

f(x)exex2x， f(x)eexx（4分）

x222(ee)＞0，

x2（6分） （8分）

（10分）

于是f(x)在(0,)内单调增加，从而f(x)＞f(0)=0，

exexx2所以f(x)在(0,)内单调增加，故f(x)＞f(0)=0，即＞1.

2220、解：设F(x)2xx0f(t)dt1，则F(x)在[0，1]上连续，

（3分）

1 F(0)1，因为0＜f(x)＜1，可证

10f(x)dx＜1，于是F(1)1f(t)dt＞0，

0所以F(x)在（0，1）内至少有一个零点.

又F(x)2f(x)＞2﹣1＞0，F(x)在[0，1]上单调递增，

所以F(x)在（0，1）内有唯一零点，即2x（6分） （9分）

x0f(t)dt1在（0，1）内有唯一实根

（12分）

2009年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1、设f(x)3x1,x0,f(x)f(0)则lim x0x1x,x0.22sinx xxA. -1 B. 1 C. 3 D.  2、极限limxsinx0A. 0 B. 1 C. 2 D.  3、下列函数中，在点x0处连续但不可导的是 A. yx B. y1 C. ylnx D. y4、积分cosxf(12sinx)dx

1 x11f(12sinx)C 21C. 2f(12sinx)C D. f(12sinx)C

2A. 2f(12sinx)C B. 5、改变二次积分IA. C.

10dxx20f(x,y)dy的积分次序，则I=

1y10dy0y1ydyf(x,y)dx B. 01dyf(x,y)dx D. 001f(x,y)dx f(x,y)dx

10dyy二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6、若当x0时，1ax1~2x，则常数a= 。 7、曲线y22ln(1x)的水平渐近线方程是 。 x2xkt3t,8、若曲线在t=0处的切线斜率为1，则常数k= 。

2y(12t)2z9、已知二元函数zf(x,y)的全微分dzydx2xydy,则= 。

xy210、已知函数f(x)满足f(x)f(x)1，且f(0)0，则f(x) 。

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

111、计算极限lim3x0xx0etdt21。 x212x(12x)x2,x0,12、设f(x)用导数定义计算f(0)。

x0.0,13、已知函数f(x)的导数f(x)xln(1x)，求f(1)。 14、计算不定积分arctanxdx。

1215、计算定积分

xx31x21dx。

16、设隐函数zf(x,y)由方程xzxz0所确定，求y3zz及。 xy17、计算二重积分

D(2x2y21)3x2y2dxdy，其中积分区域D:1x2y24。

18、求微分方程yy6y0满足初始条件yx01,yx08的特解。

四、综合题（大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分） 19、用G表示由曲线y=1nx及直线x+y=1,y=1围成的平面图形。 （1）求G的面积；

（2）求G绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积。 20、设函数f(x)x4x4xlnx8.

（1）判断f(x)在区间（0，2）上的图形的的凹凸性，并说明理由； （2）证明：当0＜x＜2时，有f(x)＜0。

2

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《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、A 2、C 3、A 4、D 5、C 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6、-4 7、y0 8、4 9、2y 10、ex1 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11、解：原式=limx0etdtxx32x02

（2分）

ex1 =lim

x03x2（4分）

22xexex1lim. =limx06xx03312、解：f(0)limx02

（6分）

f(x)f(0)，

x12x2x(12x) =limx0x =lim[(12x)x001lim(12x2)x

2（3分）

x0122x22]e2.

（6分）

2x213、解：f(x)ln(1x)， 21x2（2分）

2x4x(1x2)4x32x4x f(x) 1x2(1x2)21x2(1x2)2f(1)2.

214、解：设xt,xt，则

（5分） （6分）

原式=arctantdt2t2arctantt21dt 1t2（3分）

=t2arctant(112)dttarctanttarctantC 21t（6分） （6分）

=xarctanxxarctanxC.

1x3x3dx0， 15、解：为奇函数，11x21x2（2分）

而

111xxxxdx2dx2dx 为偶函数，22221001x1x1x1x 1221d(1x)ln(1x)0ln2. 01x211（5分） （6分）

x3故原式dxdxln2.

11x211x2x116、解：设F(x,y,z)xzxz,则

y3（6分） （３分）

Fxyxy1z，Fyxylnx，Fz3z2x.

FyzFxyxy1zzxylnx 所以，2.

xFz3z2xyFz3zx17、解：设xrcos，yrsin，

则原式=

（６分）

20d(2r1)3dr2(2r1)3dr（４分）

112122=

4(2r1)428120. 44（６分）

18、解：因为微分方程的特征方程为rr60,

解得r13，r22.

（２分） （４分）

微分方程的通解为yc1e3xc2e2x.

y3c1e 有yx03x2c2e2x,

c1c21，

yx03c12c28，解得c12，c21， 故特解为y2e3xe.

2x（6分）

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）

119、解：（1）Ay(ey1)dy 0（3分）

=(ey12y2y)10e1211 e3（5分）

2.

11（2）Ve2ydy(1y)2dy

（8分）

00 =

2e2y1013(1y)30

=

25（10分）2e6. 20、解：（1）f(x)2x44lnx42x4lnx，f(x)24x， 当0＜x＜2时，＜f(x)＜0，所以f(x)在（0，2）上的图形是凸的。 （2）当0＜x＜2时，＜f(x)＜0， f(x)在（0，2]上单调减少，由此知： 当0＜x＜2时，有f(x)f(2)44ln20， 故f(x)在区间（0，2]上单调增加. 因此当0＜x＜2时，有

f(x)f(2)488ln2848ln244ln40.

2分） 5分）8分）12分）

（（

（

（

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《高等数学》试题

一、选择题（本大题共5题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.设函数yf(x)的定义域为(,)，则函数y1[f(x)f(x)]在其定义域上是

2 A.偶函数 B.奇函数

1x,x0C.周期函数 D.有界函数

2. x0是函数

ef(x){0,x0的

A.连续点 B.第一类可去间断点 C.第一类跳跃间断点 D.第二类间断点 3.当x0时，下列无穷小量中，与x等价的是

A.1cosx

B.

1x1

2

C. ln(1x)x

2D. ex1

24.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列结论中正确的是

A.在区间(a,b)内至少存在一点，使得B.在区间(a,b)内至少存在一点，使得C.在区间(a,b)内至少存在一点D.在区间(a,b)内至少存在一点

22f()0 f'()0

，使得f(b)f(a)f'()(ba) ，使得

baf(x)dxf()(ba)

5.设f(xy,xy)xyxy，则

f(x,y)

y

D. 3

A. 2yx B. 1 C. 2xy

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

ax2bx)2，则ab______ 6.设a,b为常数，若lim(xx17.圆x2y2xy在(0,0)点处的切线方程是_________

1和直线x1,x2及y0围成的平面图形绕x轴旋转一周所构成的几何体的体积x8.由曲线yV____________

9.微分方程y''5y'14y0的通解是y__________

10.设平面区域D{(x,y)|xy1}，则二重积分

22(xD2y2)2d__________

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11.计算limx2lnsinx.

(2x)2x2sin2sin2x,x12.设函数

f(x){0,x0x0，用导数定义计算f'(0).

13已知点(1,1)是曲线

14.计算不定积分

15.计算定积分

16.求微分方程

yaebx2的拐点，求常数a,b的值.

1xcosx1cosxdx.

ln10ln5ex1dx.

dyysinx的通解. dxx17.已知隐函数z

18.计算二重积分

f(x,y)由方程x2xyz31所确定，求

zx和

zy.

2yx1和直线y2x及 2xydxdy，其中是由抛物线DDx0围成的区域

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分） 19.求函数(x)x0t(t1)dt的单调增减区间和极值.

2x(1)是函数f(x)在区间(0,)内的一个原函数， 20.已知

x

（1）求f(x)；（2）计算

1f(2x)dx

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《高等数学》参考答案及评分标准

一、题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.B 2.A 3.C 4.D 5.D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

 6.0 7. xy0 8.

22xC2e7x 10.  9. yC1e3三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

cotxlim11.解：原式= ………………………………（2分） 4(2x)x2

csc2x1lim……………………………………（6分）

88x2 12.解：f'(0)limx0f(x)f(0)limx0xx2sin2sin2xx……（2分） x

lim(xsinx02sin2xsin2x)0lim……（4分）

x0xxxsin2x2……………………………………（6分）

x02x13.解：由题意知aeb1 ①…………………………………………（1分）

2lim

11a12aa又因为y'2ex2bx，y\"=3ex4ex2b……（3分）

xxx所以，由题意知2aeae2b3ae2b0 由①和②解得a②

2,b3……………………………………（6分） ecosx(1cosx)cosx214.解一：原式=dxdxcotxdx………（2分） sin2xsin2x1 dsinx(csc2x1)dx………………（4分） 2sinx

1cotxxC…………………………（6分） sinx1sin2x2dx……………………………………（2分） x2sin221x2x2xcscdxdxcscd()dx…（4分） 2222 解二：原式=





cotxxC…………………………………（6分） 2215.解：令ex1t，则xln(1t)，dx

所以

ln10x32tdt…………（2分） 21tln533dt2t3e1dxdt2dt2221t2……（4分） 21t222(arctan3arctan2)…………………………（6分）

1dxx

16.解：

ye

(sinxe1dxxdxC)………（2分）

elnx(sinxelnxdxC)……………………（3分）

1(xcosxcosxdxC) xsinxC……………………………………（6分）

xxcosx17.解：设F(x,y,z)

x2xy2z31，则

F'xzxz1y2,F'y2xy,F'zxzlnx3z2…（3分）

F'xF'xzy2zxz1z2xy,所以xF'zxzlnx3z2yF'zxzlnx3z2

……………………………………………………………（6分）

18.解：画出积分区域D

解方程组

{yx21,y2x,，可求得切点为(1,2)………………（3分）

1

2xydxdyD0dxx212x2xydy

xy0122x1|2xdxx(x212x2)dx

011121212231(x1)dx(x1)………（6分） |00266x四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）

19.解：(x)

0t(t1)dt在(,)上可导，'(x)x(x1)…（2分）

令'(x)x(x1)0，得驻点x10,x21…………………（3分）

列表

x '(x) (x) (,0) 0 0 极大值 (0,1) 1 0 极小值 (1,)  单调增  单调减  单调增 ………………………………………………………………（7分） 极大值(0)0，

极小值(1)1…………………………………（10分） x(x1)dx061

2xln(1)2xx]'…………………………（2分） 20.解：(1)f(x)[(1)]'[ex2xln(1)x e[ln(1212)x(2)]

2xx1x

222(1)2[ln(1)]……………………………（6分）

xxx21

(2)

f(2x)dx11f(2x)d(2x)(令t2x)f(t)dt

2122………………………………………………………………………（8分）

1212(1)t|lim(1)t2 2t22tt

t1221lim(1)2e22…………………………（12分） 2tt2

2011年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1、下列极限等式中，正确的是（ ）

A.limsinx1xx1 B.limxex C.limx0ex0 D.lim(1x01xx)e

2、若函数f(x)1(1ax)x,x0在x0处连续，则常数a（ ）

2x,x0A.ln2 B.ln2 C.2 D.e2

3、已知f(x)的二阶导数存在，且f(2)1，则x2是函数F(x)(x2)2f(x)的（A．极小值点 B 最小值点 C 极大值点 D 最大值点 4、若2xf(x)dx2，则310f(x1)dx（ ）

A.1B.2C.3D.4

sin(2x2y2)5、设f(x,y)y,y0，则fy(0,0)（ ） 0,y0A.1B.0C.1D.2

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当x时，

kx(2x3)4与1x3是等价无穷小，则常数k___

7、参数方程3xttdy____________

y2t，则

dxx08、已知函数f(x)在(,)内连续，且y2x0f(12t)dt2(1f(x))dx，则 y________

9、若二元函数z4x3y2zy2(y0)，则xy2zyx___ 10、设平面区域D由直线yx,y2及x1所围成，则二重积分xd_____

D三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48）

）

1x111、计算lim()

x0xsinx12、已知函数f(x)的n1阶导f(n1)(x)ln(1e2xex)，求f13、求曲线yxarctankx,(k0)的凹凸区间和拐点。

(n)(0)。

14、计算不定积分1x2x12dx(x1)

x21,x015、设f(x)1x2，计算定积分f(x)dx

xcosx,x016、求微分方程y2y10y0满足初始条件y17、已知二元函数z(3xy)2y，求偏导数

11x2x00,yx03的特解。

zz,。 xy18、化二次积分dx011xy220dy为极坐标形式的二次积分，并求其值。

四、综合题（本大题共2小题，第19题12分，第20题10分，共22分）

19、过坐标原点作曲线yex的切线l，切线l与曲线yex及y轴围成的平面图形记为

G，求：

（1）切线l的方程（2）G的面积（3）G绕x轴旋转而成的旋转体体积。 20、若定义在区间(0,)内的可导函数yf(x)满足xy(xcotx1)y，且y求函数yf(x)的表达式；

（2）证明函数yf(x)在区间(0,)内单调递减。

x22，（1）

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《高等数学》（公共课）试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1．已经三个数列{an）、{bn）和{cn）满足anbncn（n∈N+），且liman =a，limcn =c(a、b

nn 为常数，且aA．有界 B．无界 C．收敛 D．发散

2．x=0是函数

f(x)｛e2x,x03= x1xx0（1-2x），，的

A．连续点 B．可去间断点

C．跳跃间断点 D．第二类间断点 3．极限lim2x sin

x A．0 B．2 C．3 D．6

x24．如果曲线y=ax-的水平渐近线存在，则常数a= x1 A．2 B．1 C．0 D．-1

5．设f(x，y)为连续函数，将极坐标形式的二次积分I标形式，则I= A．

df(rcos,rsin)rdr化为直角坐

4001220dxdy1x2xf(x,y)dy B．f(x,y)dx D．220dx1x20f(x,y)dy

C．

221y2220y0dy1y20f(x,y)dx

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6．设f(x)在点x0处可到，且f’(x0)=3，则lim7．若f(x)x0f(x02x)f(x0) .

xtanx（）= ． xdx，则f”

08．若曲线y=x3+ax2 +bx+l有拐点(-l，0)，则常数b= ____．

exdx ． 9．广义积分1ex

10．设函数f(u)可微，且f’(o)=

1，则z=f（4x2一y2）在点(1，2)处的全微分dz2(1,2) . 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

1lnx)． 11．计算lim(x1x1dyxln(3t2t)12．设函数y=f(x)由参数方程所确定，求(结果要化为最简形式).

2dxy3t13．确定函数f(x)(x1)e4arctanx的单调区间和极值．

14．求不定积分ln(1x2)dx.．

13x411xe,x22215．设f(x)，利用定积分的换元法求定积分1f(x1)dx．

21,x12x216．求微积分方程y’’一4y'+13y=0满足初始条件yx01,y'x08特解．

2z17.已知二元函数z=x(2y+1)，求

yxx

．

x1y218．计算二重积分

Dy2xd，其中D是由曲线y=x及直线y=1，x=0围成的闭区域．

四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）

19．已知C经过点M(1，0)，且曲线C上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP（O为坐标原点）的斜率之差等于ax（常数a>0）．

(1)求曲线C的方程；

(2)诚确a的值，使曲线C与直线y=ax围成的平面图形的面积等于20．若当x→0，函数f(x)3． 8x02t33tadt与x是等价无穷小量；

(1)求常数a的值；(2)证明：

1f(2)8． 2

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《高等数学》参考答案及评分标准

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C

二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6．-6 7．

1 8．3 9．ln2 10．4dx - 2dy 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） -Wl+x) （2分） ln(1x)1l．解：原式=lnx， xlime limln(1x)11xxlnxxlim1 x 原式e-1. 12．解：dx1dt13t2t1 3t213t2；

dytdt3t2. dyy' tdxx't（结果没有化简扣2分）. t13．解：函数f(x)的定义域为(,)，

 f'(x)e4arctanx (x1)e4arctanx11x2

x(1x) e4arctanx1x2 ， 令f'(x)0，解得x=0，x=-1

因为在区间(-∞，-1)内，f'(x)0；在区间(-l，0)内，f'(x)<0； 在区间(0，+)内，f'(x)0，

2分）

4分） （6分）

（3分）

(6分)

（2分） （ （

所以f(x)的递增区间是(-，-1)及(0，+)，递减区间是（-1，0）， (4分)

 f(x)的极大值是f(1)2,f(x)的极小值f(0)e4． (6分)

2x2dx (2分)， 14．解：ln(1n)dxxln(1x)2221x xln(1x2)2(111x2)dx xln(1x2)2x2arctanxC 15．解：

21f(x1)dxx1t211f(t)dt 21 2111f(t)dt1f(t)dt22f(x)dx111f(x)dx

2221 21x3ex41dx2111x2dx 2 011x11. 216．解：由微分方程的特征方程r2 - 4r +13=0解得r=2±3i， 所以此微分方程的通解为

ye2x(C1cos3xC2sin3x). 因为y'2e2x(C2x1cos3xC2sin3x)e(3C1sin3x3C2cos3x), 由yx0C11及y'x02C13C28 解得C1=1，C2=2，

故所求特解为ye2x(cos3x2sin3x). 17．解：zy2x2(2y1)x1, 2xyx4x(2y1)x12x2(2y1)x1ln(2y1) ， 故

2zyx42ln3 xy1118．解：积分区域D如图：

(6分) 2分）4分）6分）2分）4分）

（6分） (2分) (4分) (6分)

（

（ （

（ （

y2xddy0120y2xdx （3分）

3y2222 =[(yx)]dy

03012131 =ydy （6分）

306四、综合题（本大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）

19．解：(1)设曲线C的方程为y=厂O），由题意知

y'yxax,且yx10． 由y'yxax得

1 yexdx(axe1xdxdxC)elnx(axelnxdxC) x(adxC)x(axC),， 因为yx1aC0，解得Ca

故曲线C的方程为yax2axax(x1)． (2)如图，

由ax2axax解得x=0，x=2， 即(ax2a33x)204a8a833，

解得a=2． 由题意知20(axax2ax)dx83， t33tadt20．解：(1)解：由题意知limx02x0xlimx33xax022a1，

（2分）（4分）（6分) 10分）12分）4分）

（ （

（

a0． (2)证：f(2) 设g(x)2x3202t33tdt2x0233xdx，

3x，则g'(x)2x33x(3x23)ln2， （6分）

令g'(x)0，在区间(0，2)内解得x=l， 因为g(0)=1，g(1)=

14，g(2)=4， 所以g(x)在区间[0，2]上的最大值为4，最小值为

14． 由定积分的估值定理可得12x33x20edx8，

所以有12f(2)8．

8分） 10分） （ （