八年级 专题01 全等三角形中的动态问题题型讲义(学生版)

初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。 解决动点问题常见的答题思路是： 1. 注意分类讨论；

2. 仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化； 3. 利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.

【典例解析】

【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______ 秒时，△DEB与△BCA全等．

AB=4，AD=6．【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．

1

A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7

【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F. (1)试说明：∠A＝∠BCD；

(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．

【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+2n6＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)求OA、OB的长；

(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；

(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP△△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【例2】（2020·惠州市月考）如图，点 C在线段 BD上，AB△BD于 B，ED△BD于 D．△ACE＝90°，且 AC＝5cm，CE＝6cm，点 P以 2cm/s的速度沿 A→C→E向终点 E运动，同时点 Q以 3cm/s的速度从 E 开始，在线段 EC上往返运动（即沿 E→C→E→C→…运动），当点 P到达终点时，P，Q同时停止运动．过 P，Q分别作 BD的垂线，垂足为 M，N．设运动时间为 ts，当以 P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等

2

时，t的值为_____．

【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）试证明：AD△BC．

（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．

3

【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4cm，AC△AB，BD△AB，AC＝BD＝3cm．点 P 在线段 AB 上以 1cm/s的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t（s）．

（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；

（2）如图（2），将图（1）中的“AC△AB，BD△AB”为改“△CAB＝△DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE△l于E，QF△l于F．设点P的运动时间为t（秒）：

（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）； （3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．

4

【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，△B=△C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． （1）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （2）若点 Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．

（1）PC=___cm；(用含t的式子表示) （2）当t为何值时，△ABP△△DCP？．

（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．

5

【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，△B＝△C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．

【习题精练】

1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，△C＝90°，AC10，BC6，线段PQAB，点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问P点运动___________ 秒时(t0)，才能使△ABC△△QPA全等．

6

2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB=12，CA△AB于A，DB△AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动_______分钟后△CAP与△PQB全等．

3．（2020·常州市月考）如图，ADC中．△C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm．AD△AC，AB＝PQ，P、Q两点分别在AC、AD上运动，当AQ＝_____时，△ABC才能和△APQ全等．

4.（2020·江西新余期末）如图，ABC中，ACB90，AC8cm，BC15cm，点M从A点出发沿ACB路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿BCA路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作MEl于E，NFl于F.设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为______.

7

5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，△B＝△C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？

6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，△C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等．

7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，△BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4 cm，BC＝8 cm，直线CM△BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从AE，点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝ cm，CE＝ cm； （2）当t为多少时，△ABD的面积为12 cm2？

（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD△△ACE？并简要说明理由．

8

8．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点 A、B 两点的坐标分别 A（m，0），B（0，n），且|m  n 3|2n6  0 ，点 P 从 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 AO 匀速运动，设点 P 运动时间为 t 秒．

（1）求 OA、OB 的长；

（2）连接 PB，若△POB 的面积不大于 3 且不等于 0，求 t 的范围；

（3）过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，直线 PD 与 y 轴交于点 E，在点 P 运动的过程中， 是否存在这样的点 P，使△EOP△△AOB?若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．

9.（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC中，△BAD＝△DAC，DF△AB，DM△AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求证：AF＝AM；

（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；

（3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED2S△DGC．

9

10.（2020·江苏工业园区期末）如图△，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图△的方式摆放（点A与点D、点B与点E分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s （0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts （0≤t≤5）． （1）当t＝2时，S△AQF＝3S△BQC，则a＝ ；

（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；

（3）如图△，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．

10

11.（2019·江苏期末）如图△，在ABC中，AB12cm ，BC20cm，过点C作射线CD//AB．点M从点B出发，以3 cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、

N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t(s)．

(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当ABM与MCN全等时，

△若点M、N的移动速度相同，求t的值； △若点M、N的移动速度不同，求a的值；

(3)如图△，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM与MCN全等的情形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

图△ 图△

12. 如图，ABC中，ACB90，AC8cm，BC15cm，点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作MEl于E，NFl于F设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为________．

11

13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作△CEF＝△AEB，直线CO交BA的延长线于点D．

（1）根据题意，可求得OE＝ ； （2）求证：△ADO△△ECO；

（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM△CD于点M，QN△CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？

14.（2019·福建省惠安期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG△BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）

（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）； （2）当BF＝AE时，求t的值；

（3）若△ADE△△CDF，求所有满足条件的t值．

12

15.（2020·无锡市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，△B=△C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为_____厘米/秒，△BPD与△CQP全等.

16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，△ACB=90°，直线l过点C．

（1）当AC=BC时，如图△，分别过点A、B作AD△l于点D，BE△l于点E．求证：△ACD△△CBE． （2）当AC=8，BC=6时，如图△，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD△l于点D，过点N作NE△l于点E，设运动时间为t秒．

△CM= ，当N在F→C路径上时，CN= ．（用含t的代数式表示） △直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．

13

17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AMAN，AB平分MAN，过点B作BCBA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2m/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1m/s的速度运动；已知AC6cm，设动点D，E的运动时间为t．

图1 备用图

（1）试求△ACB的度数；

（2）当点D在射线AM上运动时满足SADB：SBEC2：3，试求点D，E的运动时间t的值；

E在射线AN运动过程中，（3）当动点D在直线AM上运动，是否存在某个时间t，使得ADB与BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．

14