第27招 三角函数图象的作法

【知识要点】

一、三角函数正弦函数ysinx,余弦函数ycosx,正切函数ytanx的图像

二、yAsin(wx)h（或yAcos(wx)h）图象的作法有两种：

（1）描点法（五点法），先列表，令x0,

32y ytanx20 232x 3, , ,2，求出对应的五个x的值和五个22y值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到yAsin(wx)h在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得

到函数yAsin(wx)h的图像.

（2）图像变换法：一般先把函数ysinx的图像通过左右平移得到函数ysin(x)的图像，再把

函数ysin(x)的图像通过横坐标的伸缩变换得到函数ysin(wx)，再把函数ysin(wx)通过纵坐标的伸缩变换得到函数yAsin(x)的图像，最后把函数yAsin(x)的图像通过上下平移得到函数yAsin(wx)h的图像. 三、三角函数图像的变换（平移变换和上下变换）

平移变换：左加右减，上加下减

把函数yf(x)向左平移(0)个单位，得到函数yf(x)的图像 把函数yf(x)向右平移(0)个单位，得到函数yf(x)的图像 把函数yf(x)向上平移(0)个单位，得到函数yf(x)的图像 把函数yf(x)向下平移(0)个单位，得到函数yf(x)的图像 伸缩变换：

1倍得yf(x)(01) w1②把函数yf(x)图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得yf(x)(1)

w①把函数yf(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的

③把函数yf(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得yf(x)(1) ④把函数yf(x)图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得yf(x)(01)

四、用“五点法”作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为yAsin(x)h或

yAcos(x)h的形式.

五、三角函数图像的变换的方式并不是唯一的，可以有多种变换方式.可以先左右平移，再伸缩，后上下.也可以先伸缩，再左右平移，后上下.但是三角函数图像的变换一般先选择左右平移，再进行其它变换.这样容易理解，计算也简单.

六、三角函数图像的作法常用的有两种：五点法和图像变换法. 【方法讲评】 方法一 使用情景 先列表，令x0, 解题步骤 五点法 一般是画图题 3, , ,2，求出对应的五个x的值和五个y值，再根22据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到

yAsin(wx)h在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数yAsin(wx)h的图像. 学科.网

【例1】用五点法作出函数y3sin(2x6)在一个周期的图像.

【点评】（1）对于我们常见的初等函数（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数等），由于我们知道函数的图像和性质，所以我们常用描点法直接作函数的图像.（2）利用五点法作yAsin(wx)h的图像，列表时，第一行不是x的值，是wx的值，描点时，是以

（x,y)为点的坐标描点，这一点要注意.

【反馈检测1】设函数f(x)2sinxcosx2cos2x． 2（1）在给出的直角坐标系中画出函数yf(x)在区间[0,]上的图象；

（2）根据画出的图象写出函数yf(x)在[0,]上的单调区间和最值．

方法二 使用情景 图像变换法 一般不是画图题. 一般先把函数ysinx的图像通过左右平移得到函数ysin(x)的图像，再把函数ysin(x)的图像通过横坐标的伸缩变换得到函数ysin(wx)，再把函数解题步骤 ysin(wx)通过纵坐标的伸缩变换得到函数yAsin(x)的图像，最后把函数yAsin(x)的图像通过上下平移得到函数yAsin(wx)h的图像. 22【例2】已知函数f(x)sinx3sinxcosx2cosx,xR.

（I）求函数f(x)的单调增区间；

（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数ysin2x（xR)的图象经过怎样的变换得到？

（II）方法一： 先把ysin2x图象上所有点向左平移

个单位长度，得到ysin(2x)的图12633象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到ysin(2x)的图象.

26233 方法二：先把ysin2x图象上所有点向上平移个单位长度得到函数ysin2x的图像，再把

2233函数ysin2x的图像向左平移个单位长度得到ysin(2x)的图象.

21262【点评】（1）三角函数图像的变换的方式并不是唯一的，可以有多种变换方式.可以先左右平移，再伸缩，后上下.也可以先伸缩，再左右平移，后上下.（2）三角函数图像的变换一般先选择左右平移，再进行其它变换.如：由函数ysinx得到函数y2sin(x平移

123)1的图像，一般先把函数ysinx的图像向左

个单位得到函数ysin(x)的图像，再把函数ysin(x)的图像的横坐标伸长到原来的2倍3331得到函数ysin(x)的图像.也可以这样，先把函数ysinx的图像的横坐标伸长到原来的2倍得到

231121函数ysin(x)的图像，再把函数ysin(x)的图像向左平移个单位得到函数ysin(x).显

22323然后面的一种不容易理解，并且要计算，不像第一种容易理解，且不需要计算，所以对于三角函数一般先左右，再进行其它变换.

【例3】 怎样将函数y3sin(2x3)的图像变换得到函数y3sin2x的图像？

【解析】方法一：（逆向思维）一般情况下，我们是把一个简单的函数通过图像变换得到复杂函数的图像，但是此题是把复杂的函数通过图像变换得到简单的函数的图像，所以我们可以先考虑由函数，所以 y3sin2x的图像得到函数y3sin(2x)的图像，因为y3sin(2x)3sin2(x）336要把函数y3sin2x的图像向右平移

个单位.所以将函数y3sin(2x)的图像向左平移个单位得636

到函数y3sin2x的图像.

【点评】（1）进行函数图像变换，首先要确定好起点函数和终点函数，弄清变换的方向.（2）向左（右）进行平移多少，关键是看x发生了什么变化，所以要把终点函数的结构变成和起点函数的结构变得对称，才能知道x发生了什么样的变化. 【反馈检测2】已知函数f(x)3sin(x)cos(x)(0π,为偶函数，且函数0)πyf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.

2（Ⅰ）求f()的值；

8（Ⅱ）将函数yf(x)的图象向右平移

π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的46倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第27讲：

三角函数图像的作法参考答案

【反馈检测1答案】（1）见解析；（2）函数的单调增区间为[0,值为1，最小值为-1.

8],[55,]，单调减区间为[,].最大888

列表得

x 0 2x4 42 2 8 21 3 8 0 5 83 27 8 9 42 22 0 sin（2x+）4描点得图像

1

55(2)函数的单调增区间为[0,],[,]，单调减区间为[,].最大值为1，最小值为-1.

8888【反馈检测2答案】（1）2；（2）g(x)的单调递减区间为4kπ2π8π，4kπ（kZ）．学科.网 33

（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移

π个单位后，得到6πfx的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4

6倍，纵坐标不变，得到fxπ的图象． 46

因此g(x)的单调递减区间为4kπ2π8π，4kπ（kZ）． 33