2022年九年级数学上册 第二十四章 圆知识点总结素材 (新版)新人教版

圆

一、知识回顾

圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²

圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）

二、知识要点 一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内； 2、点在圆上  dr  点B在圆上； 3、点在圆外  dr  点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点； 2、直线与圆相切  dr  有一个交点； 3、直线与圆相交  dr  有两个交点；

ArBdCdO

rdd=rrd

四、圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点  dRr； 外切（图2） 有一个交点  dRr； 相交（图3） 有两个交点  RrdRr； 内切（图4） 有一个交点  dRr； 内含（图5） 无交点  dRr；

dR图1rRdr图2dR图3r

d

五、垂径定理

图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD

中任意2个条件推出其他3个结论。

A推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD

六、圆心角定理

顶点到圆心的角，叫圆心角。

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧BD

七、圆周角定理

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。

CACBODEFCOADOBCBED1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

BOA ∴AOB2ACB

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角 ∴CD

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵C90 ∴C90 ∴AB是直径

BOACDCBOA

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，

∵四边形ABCD是内接四边形

∴CBAD180 BD180 DAEC

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线

OCBOACDBAE（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆

BMANOPA

心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB PO平分BPA

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， ∴PAPBPCPD

CBOPAD

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O中，∵直径ABCD， ∴CEAEBE

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ PAPCPB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PCPBPDPE

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB

O1BAO222CBOEDAADPCOBE

十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。

十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：

OBBOADACO2BO1COD:BD:OB1:3:2；

（2）正四边形

DAC同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2.

EOBA