专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球(中心)相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现．
2．学好本专题有助于学生加深万有引力定律的灵活应用，加深力和运动关系的理解． 3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．
命题点一 地球同步卫星
1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星． 2．“七个一定”的特点：
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面． (2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．
Mm(4)高度一定：由GR＋h(5)速率一定：v＝
2
＝m4π
2
T2
(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝3.6×10 m.
7
GM3
＝3.1×10 m/s. R＋hMmGM(6)向心加速度一定：由G2＝ma得a＝
R＋hR＋h心加速度等于轨道处的重力加速度．
(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向相同．
2
＝gh＝0.23 m/s，即同步卫星的向
2
例1 (2016·全国Ⅰ卷·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A．1 h 答案 B
B．4 h
C．8 h
D．16 h
解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开
r3
普勒第三定律2＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫
T星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示．
卫星的轨道半径为r＝＝2R
sin 30°
33r1 r2 由2＝2得T1 T2
RR24
2
3
＝
R2
T 2
3
. 解得T2≈4 h.
解决同步卫星问题的“四点”注意
2Mmv24π2
1．基本关系：要抓住：G2＝ma＝m＝mrω＝m2r.
rrT2．重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析． 3．物理规律：
(1)不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期． (2)不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
(3)不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上． 4．重要条件：
(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×10 km，表面重力加速度g约为9.8 m/s.
(2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．
(3)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×10 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.
1．(2016·四川理综·3)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”．如
3
2
3
图1所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图1
A．a2＞a1＞a3 C．a3＞a1＞a2 答案 D
解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ωr，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G2
B．a3＞a2＞a1 D．a1＞a2＞a3
Mm＝ma，由题目中数据可以得r2
出，r1 2．(2014·天津·3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( ) A．距地面的高度变大 C．线速度变大 答案 A B．向心加速度变大 D．角速度变大 GMm解析 地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由 R＋h3GMT2得h＝ 2－R，T变大，h变大，A正确． 4π由 2 ＝m4π 2 T2 (R＋h)， GMmGM2＝ma，得a＝2，r增大，a减小，B错误． rrGM，r增大，v减小，C错误． rGMmmv2 由2＝，得v＝ rrT2π 由ω＝可知，角速度减小，D错误． 3．(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体 随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是( ) A.＝ C.＝ 答案 AD 解析 设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ω1r，a2＝ω2R，又ω1＝ω2，故＝，22 Mm1v1 Mm2v2 v1 选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G2＝m1，G2＝m2，解得＝ rrRRv2 2 2 a1ra2Rv1rv2RB.＝() D.＝ a1a2v1v2 rR2 R ra1ra2RR，r选项D正确． 命题点二 双星或多星模型 1．双星模型 (1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图2所示． 图2 (2)特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm1m2Gm1m222 2＝m1ω1r1，2＝m2ω2r2 LL②两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2 ③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L (3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. 2．多星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． m1r2 m2r1 (2)三星模型： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)． 图3 (3)四星模型： ①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)． ②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)． 例2 (2015·安徽理综·24)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求： 图4 (1)A星体所受合力大小FA； (2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC； (4)三星体做圆周运动的周期T. m2m27 答案 (1)23G2 (2)7G2 (3)a (4)π aa4a3 GmmAmB2m2 解析 (1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝G2＝G2＝FCA ra方向如图所示 m2 则合力大小为FA＝FBA·cos 30°＋FCA·cos 30°＝23G2 a(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为 mAmB2m2 FAB＝G2＝G2 ramCmBm2 FCB＝G2＝G2 ra方向如图所示， 由余弦定理得合力为： m2 FB＝FAB ＋FCB －2FAB·FCB·cos 120°＝7G2 a2 2 (3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m 通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点 则RC＝ 73212 a＋2a＝4a 4 m22π2 (4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝7G2＝m()RC，可得T＝π aT a3. Gm4．(2013·山东理综·20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运 动的周期为( ) A.C. n3 T k2n2 T kB.D. n3T knT k答案 B 解析 设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L， 双星靠彼此的引力提供向心力，则有 2 m1m24πG2＝m1r12 LT2m1m24πG2＝m2r22 LT并且r1＋r2＝L 解得T＝2π L3 Gm1＋m2 当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时 T′＝2π ＝ n3L3 Gkm1＋m2 n3·T k故选项B正确． 5．银河系的恒星中大约四分之一是双星．如图5所示，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动．由天文观察测得它们的运动周期为T，若已知S1和S2的距离为r，引力常量为G，求两星的总质量M. 图5 答案 4πr23 GT2 解析 设星体S1、S2的质量分别为m1、m2，运动的轨道半径分别为R1、R2，则运动的角速度为2πω＝ T根据万有引力定律和向心力公式有 Gm1m222 2＝m1ωR1＝m2ωR2 r又R1＋R2＝r 联立解得两星的总质量为 ωrR2ωrR1ωr4πrM＝m1＋m2＝＋＝＝2. 22 22 23 23 GGGGT 一、近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的比较 如图6所示，a为近地卫星，半径为r1；b为同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3. 图6 向心力 轨道半径 近地卫星 万有引力 同步卫星 万有引力 赤道上随地球自转的物体 万有引力的一个分力 r1 二、卫星追及相遇问题 典例 (多选)如图7，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在c的 万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( ) 图7 A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8 B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4 C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次 D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次 答案 AD 解析 根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则周期之比为1∶8，A对；π 设图示位置夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为t＝Tb，则a、b相距最远时： 22π TaTb－ 2π TbTb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n<6.75，n可取7个值；a、b相TaTb2π2π 距最近时：Tb－Tb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，D对． 点评 某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上，由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻，而本题中 a、b、c三个质点初始位置不在一条直线上，故在列式时要注意初始角度差． 题组1 同步卫星 1．(多选)据报道，北斗卫星导航系统利用其定位、导航等功能加入到马航MH370失联客机搜救工作，为指挥中心调度部署人力、物力提供决策依据，保证了搜救船只准确抵达相关海域， 帮助搜救船只规划搜救航线，避免搜救出现遗漏海域，目前北斗卫星导航定位系统由高度均约为36 000 km的5颗静止轨道卫星和5颗倾斜地球同步轨道卫星以及高度约为21 500 km的4颗中轨道卫星组网运行，下列说法正确的是( ) A．中轨道卫星的周期比同步卫星的周期大 B．所有卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上 C．同步卫星和中轨道卫星的线速度均小于第一宇宙速度 D．赤道上随地球自转的物体的向心加速度比同步卫星的向心加速度大 答案 BC 解析 由开普勒第三定律可知，轨道半径较小的中轨道卫星的周期比同步卫星的周期小，A项错；由题意知，北斗导航系统的卫星轨道高度一定，因此卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上，B项正确；第一宇宙速度是卫星绕地球的最大运行速度，C项正确；赤道上物体与同步卫星的角速度相同，由a＝ωr可知，同步卫星的向心加速度较大，D项错． 2．如图1所示，轨道Ⅰ是近地气象卫星轨道，轨道Ⅱ是地球同步卫星轨道，设卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上都绕地心做匀速圆周运动，运行的速度大小分别是v1和v2，加速度大小分别是a1和a2，则( ) 2 图1 A．v1>v2 a1 Mmv2 解析 根据G2＝m＝ma，可知v＝ rrGMGM，a＝2，所以v1>v2，a1>a2.选项B正确． rr3．设地球的质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G.“神舟九号”绕地球运行时离地面的高度为h，则“神舟九号”与“同步卫星”各自所在轨道处的重力加速度的比值为( ) πA. 4 R＋h3 2GMT2 3 2 GMB. 23 R＋h2 4πT3πT43 GMT2 C. π答案 C 23 4 R＋h3 2 D. 2GM3 2 R＋h解析 设“神舟九号”与“同步卫星”各自所在轨道处的重力加速度分别为g神九、g同步，则 m神九g神九＝GMm神九R＋h2 ，m同步g同步＝GMm同步4πm同步r同步g神九 ，联立可得＝2＝2 r Tg同步同步 2 GMT2 π 2 3 2 4 R＋h3 ， 故C正确． 4．“神舟八号”飞船绕地球做匀速圆周运动时，飞行轨道在地球表面的投影如图2所示，图中标明了飞船相继飞临赤道上空所对应的地面的经度．设“神舟八号”飞船绕地球飞行的轨道半径为r1，地球同步卫星飞行轨道半径为r2.则r1∶r2等于( ) 3 3 图2 A．1∶24 C．1∶210 答案 D 22.5° 解析 从图象中可以看出，飞船每运行一周，地球自转22.5°，故飞船的周期为T1＝ 360° 32r1 T1 1.521 ×24 h＝1.5 h，同步卫星的周期为24 h，由开普勒第三定律可得3＝2＝()＝，r2 T2 24256 B．1∶156 D．1∶256 故选D. 题组2 双星、多星模型 5．(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图3所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则( ) 图3 A．每颗星做圆周运动的线速度为 B．每颗星做圆周运动的角速度为 C．每颗星做圆周运动的周期为2π Gm R3GmR3 R3 3GmD．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 答案 ABC R解析 由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r＝ 2 Gm2v24π2 ·2cos 30°＝m＝mωr＝m2r＝ma，可解得v＝ R2rT23 ＝R.由牛顿第二定律得 cos 30°3 Gm，ω＝ R3GmR3，T＝2π R3 ，3Gma＝3GmR2，故A、B、C均正确，D错误． 6．2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如图4所示的双星系统中，A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星A的质量为太阳质量的29倍，恒星B的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L＝2×10 m，太阳质量M＝2×10 kg，引力常量G＝6.67×10 －11 5 30 N·m/kg，π＝10.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两 222 星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是( ) 图4 A．10 Hz C．10 Hz 答案 A 解析 A、B的周期相同，角速度相等，靠相互之间的引力提供向心力， 62 B．10 Hz D．10 Hz 8 4 2 MAMB4π有G2＝MArA2 LT2 MAMB4πG2＝MBrB2 LT ① ② 有MArA＝MBrB，rA＋rB＝L， 解得rA＝ MBMA＋MBL＝3636 L＝L. 29＋3665 23 4πL× 由①得T＝ 1 则f＝＝ 3665 GMBGMB， 6.67×10 －11 T＝ 36 4πL× 65 23 ×36×2×102 Hz≈1.6×10 Hz. 3653×65 30 7．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当成孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是 M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动． (1)计算出该双星系统的运动周期T； (2)若该实验中观测到的运动周期为T观测，且T观测∶T＝1∶N(N>1)．为了理解T观测与T的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度． 答案 (1)πL2LGM (2) N－M 32πLM22π2L解析 (1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动，万有引力提供向心力，则G2＝M·，LT2 解得T＝πL2LGM. 1 (2)N>1，根据观测结果，星体的运动周期为T观测＝NT M2MM′2π2·L， G2＋G＝MLL2T观测2 2 代入T＝πL2LGM并整理得M′＝ N－1 M. 4＝3 故所求的暗物质密度为ρ＝ M′4L3π 2 N－M. 3 2πL 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容