动态法测量杨氏模量

杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。 杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。

一、实验目的

1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。

2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。

二、实验原理

长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为 ：4ys2y0 42xYJt (1) 式中为棒的密度，S为棒的截面积，J 称为惯量矩（取决于截面的形状），Y为杨氏模量。 解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）： 用分离变量法：令y(x,t)X(x)T(t)

1d4Xs1d2T代入方程（1）得： 4XdxYJTdt2等式两边分别是x和t的函数，这只有都等于一个常数才有可能，设该常数为K，于是得：

4d4X4KX0 4dxd2TK4YJT0

sdt2这两个线形常微分方程的通解分别为：

X(x)B1chKxB2shKxB3cosKxB4sinKx

T(t)Acos( t)

于是解振动方程式得通解为：

y(x,t)(B1chKxB2shKxB3cosKxB4sinKx)Acos( t)

其中式（2）称为频率公式：

KYJ (2） s412该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K，并将其代入特定截面的转动惯量J，就可以得到具体条件下的计算公式了。 如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：

M3yFYJ30

xx2y0 弯矩 ： MYJx2d3X即

dx3x0d3X0

dx30

xld2X

dx2x0d2X0

dx20

xl将通解代入边界条件，得到cosKLchKL1，用数值解法求得本征值K和棒长L应满足：

KL0, 4.7300, 7.8532, 10.9956, 14.137, 17.279, 20.420,

由于其中第一个根“0”对应于静态情况，故将其舍去。将第二个根作为第一个根，

记作K1 L。一般将K1 L4.7300所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率）。在上述KnL值中，1，3，5…个数值对应着“对称形振动”, 第2、4、6…个数值对应着“反对称形振动”。图1给出了当n1, 2, 3, 4时的振动波形。由n1图可以看出，试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为0.224L和0.776L处。理论上悬挂点(支撑点)应取在节点处，但由于悬挂(支撑点)在节点处试样棒难于被激振和拾振，为此，

可以在节点两旁选不同点对称悬挂(支撑)，用外推法找出节点处的共振频率。将第一本征值K4.7300代入（2）式，得到自由振动的固有频率（即基频）： L4124.7300YJ  4ls解出杨氏模量：

Y1.9978103L4sJ2

7.887010对于圆棒： J2L3m2f

Jd2) 式中d为圆棒的直径。 42ydss(L3m2得到杨氏模量的表达式为： Y1.60674f （3）

d上式即为（1）式的解。式中L为棒长，d为棒的直径，m为棒的质量。如果在实验中测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率f，即可计算出被测试样在不同温度条件下的杨氏模量Y。在国际单位制中杨氏模量的单位为（Nm2）。

本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。为了测出该频率，实验时可采用如图2所示装置。

由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器I（激振）上。通过传感器I把电信号转变成机械振动，再由悬线(支撑刀)把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试样另一端的悬线(支撑刀)把试样的振动传给传感器II（拾振），这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送到示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该

温度下的共振频率。根据（3）式，即可计算出该温度下的杨氏模量。

图3动态杨氏模量测试台

三、实验仪器

1．FB2729A型动态杨氏模量实验仪 1套； 2．通用双踪示波器1台；

3．天平、游标卡尺、螺旋测微计等。 四、实验内容

先按图4把实验仪器连接好，通电预热10分钟，再按下述步骤进行实验。

1．测定试样的长度L、直径d和质量m，每个物理量各测5次。 2．在室温下，不锈钢和铜的杨氏模量参考值分别为：

21011Nm2和1.21011Nm2，实验前可先按公式（1）估算出共振频率f ，

以便于寻找共振点。

3．“悬挂法”：把试样棒用细棉线挂在测试台上，悬挂点的位置放在

0.0365L和0.9635L处

测量一组数据,再分别挂在0.099L和0.901L,0.1615L和0.8385L,0.224L和0.776L，

0.2865L和0.7135L, 0.349L和0.651L共测量6组数据,一一记录在表1中。(具体位置

金属棒上已用刻度线标注)。

4．把信号发生器的输出与测试台的悬挂法-输入相连，测试台的悬挂法-输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y输入相接。

5．把示波器触发信号选择开关设为“内置”， Y轴增益置于最小档（或左边第二档），Y轴极性置于“AC”。

6．鉴频与测量：先将两悬线挂在离试样端部30mm处，待试样稳定后，调节信号发生器频率旋钮，寻找试样棒的共振频率f1。当示波器荧光屏上出现共振现象时，即正弦波幅度突然变大时，再微调信号发生器频率旋钮，使波形振辐达到极大值。鉴频就是对试样共振模式及振动级次的鉴别，所以它是准确测量操作中重要的一步。在进行频率扫描时，我们发现试棒不只在一个频率处发生共振现象，而我们使用的公式（3）只适用于基频共振的情况。所以我们要确定试样是在基频频率下产生的共振。我们用阻尼法来鉴别：如果用手沿试样棒的长度方向轻触棒的不同部位，同时观察示波器，如果手指触到的是波节处，则示波器上的波形幅度不变，如果手指触到的是波腹处，则示波器上的波形幅度变小，当发现试棒上仅有两个波节时，那么这时的共振就是基频频率下的共振，记下这一频率f1。 7．因试样共振状态的建立需要有一个过程，且共振峰十分尖锐，因此在共振点附近调节信号频率时，必须十分缓慢地进行，直至示波器的显示屏上出现最大的信号。 8．记录室温下的共振频率f ，求出材料的杨氏模量Y。 9．本实验用铜棒和钢棒各做一次。

10. “支撑式”：把试样棒从悬挂线上取下，轻放于测试台支撑式的激、拾振器的橡胶支撑刀上。把信号发生器的输出与测试台的支撑式-输入相连，测试台的支撑式-输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y输入相接。 11. 其余同“悬挂法”步骤。

五、数据与结果

将所测各物理量的数值代入公式（3），计算出该试样棒的杨氏模量Y。再利用不确定度传递估算相对不确定度EY和不确定度YYEY写出实验结果表达式：

YYY

1．估算金属棒的长度L、直径d、和质量m的测量值及其不确定度。

LL(mm)；dd(mm)；mm(g)

2．由公式（3）分别求出钢棒和铜棒的杨氏模量 YY(Nm)（已知信号发生器的频率不确定度为： 当f1000Hz, f0.1Hz，当f1000Hz, f1Hz

2YY(3L2dm2f)(4)2()(2)2 Ldmf附：铜试样棒的基频共振频率：680~780Hz

杨氏模量为：Y铜1~1.21011 (Nm2)

不锈钢试样棒的基频共振频率： 1000~1100Hz

112杨氏模量为：Y钢1.95~2.1010 (Nm)

六、注意事项

1．试样棒不可随处乱放，保持清洁，拿放时应特别小心。

2．悬挂试样棒后，应移动悬挂横杆上的振，拾振器到既定位置，使二根悬线垂直试样棒。 3．更换试样棒要细心，避免损坏激振，拾振传感器。 4．实验时，试样棒需稳定之后可以进行测量。

【思考题】

1． 试讨论：试样的长度L、直径d、质量m、共振频率f分别应该采用什么规格的仪器

测量为什么

2． 估算本实验的测量误差。提示：可从以下几个方面考虑： （1）仪器误差限；

（2）悬挂/支撑点偏离节点引起的误差。

七、数据表格

表1 悬挂/支撑点位置与共振频率数据记录(以L160mm计算悬挂/支撑点)

测量组别 悬挂/支撑点位置1 2 3 4 5 6 (mm) 悬挂/支撑点位置5.84 15.84 25.84 35.84 45.84 55.84 (mm) 悬挂共振频率154.16 144.16 134.16 124.16 114.16 104.16 f1(Hz) 支撑共振频率 f1(Hz) 表中的悬挂、支撑点位置一律以测试棒左端（或右端）点为起始点。

表2被测试样的参数与共振基频记录

室温： C 实验日期： 测试样品材质 样品长度L (102黄铜圆柱体棒 不锈钢圆柱体棒 m) 样品直径D( 10m) 样品质量m (103-3kg) 悬挂共振频率f1(Hz) 支撑共振频率f1(Hz)

表3 几种固体材料的杨氏模量的参考值

材料名称 生 铁 碳 钢 玻 璃 Y (1011Nm2) 材料名称 有机玻璃 橡 胶 大 理 石 Y (1011Nm2) 0.735~0.834 1.52 0.55 0.04~0.05 78.5 0.55 注：因环境温度及试棒材质不尽相同等影响所提供的数据仅作参考。

【附录】需要说明的二个问题：

1． 当测试样品不满足dL时，公式（3）需要乘以一个修正系数T1，有关内容可参考

金属材料的国家标准（GB/T 200591中说明）。

2． 物体的固有频率f固和共振频率f共是两个不同的概念，他们之间的关系是：

f固f共11 4Q2式中，Q为试样的机械品质因素。对于悬挂法测量，一般Q的最小值为50，把该值代入公式，f固f共111f11.00005f共，可见，共振频率与固有频共224Q450率相比只相差十万分之五（0.005%）。本实验中只能测量出试样的共振频率，由于相差很小，所以用共振频率代替固有频率是合理的。