一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．﹣2019的相反数是（ ） A．﹣2019
B．﹣
C．2019
D．
2．化简x6÷x2的结果是（ ） A．x8
B．x4
C．x3
D．x
3．如图，一个放置在水平桌面上的锥形瓶，它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发潜能，1千克“可燃冰”完全燃烧放出的热量约为420 000 000焦耳，数据420 000 000用科学记数法表示（ ） A．4.2×107
B．4.2×108
C．4.2×109
D．4.2×1010
5．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点C在FD的延长线上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为（ ）
A．15° 6．不等式组A．x≤1
B．20° 的解集为（ ） B．x＞﹣2
C．25° D．30°
C．﹣2＜x≤1 D．无解
7．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm
8．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若F是CD的中点，
，则
的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
9．如图（1），在矩形ABCD中，E是AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止，速度均为每秒1个单位长度，如果点P、Q同时开始运动，设运动的时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图（2）所示，则a的值为（ ）
A．8 B．15 C．22 D．29
10．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线于BD交于点F，连接CD．则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（ ）
A．BF﹣DF＝CD C．BF2+DF2＝CD2
B．BF+DF＝CD D．无法确定
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．64的算术平方根是 ． 12．因式分解：x2y﹣y＝ ．
13．如图，反比例函数y＝﹣的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥CD，则▱ABCD的面积是 ．
14．小南利用几何画板画图，探索结论，他先画∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD、BD，得到如图形，移动点C，小南发现：当AD＝BC时，∠ABD＝90°；请你继续探索；当2AD＝BC时，∠ABD的度数是 ．
三、解答题（共2小题，满分16分） 15．计算（）﹣2﹣|﹣
|+4cos30°
16．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共 同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2．
18．我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图，现有渔船以18km/h的速度在海面上沿正东方向航行，
当行至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，船续向东航行30min后达到C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，求此时渔船与灯塔B的距离．
五、解答题（共2小题，满分20分）
19．y＝x+1与y轴交于点A1，如图，在平面直角坐标系中，直线l：如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1……正方形AnBn∁nCn﹣1（n为大于1的整数）使得点A1，A2，A3…An在直线上，点C1，C2，C3，…∁n在x轴正半轴上，请解决下列问题 （1）点A6的坐标是 ；点B6的坐标是 ；
（2）点An的坐标是 ，正方形AnBn∁nCn﹣1的面积是 ．
20．某中学准备举行一次球类运动会，在举行运动会之前，同学们就该校学生最喜欢哪种球类运动
进行了一次调查，并将调查结果制成了条形统计图和扇形统计图，请你根据图表信息完成下列各题：
（1）此次共调查了多少位学生？ （2）请将条形统计图补充完整；
（3）在这次活动中，小敏选择了自己喜爱的乒乓球，学校要从选择乒乓球课的学生中任选4人去参加市里的比赛，求小敏被选中的概率．
六、（本题满分12分）
21．如图，AB为⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，连接AC，BF，且BF∥CD． （1）求证：AC平分∠BAD； （2）若⊙O的半径为
，AF＝2，求CD的长度．
七、（本题满分12分）
22．某服装有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的函数关系是y1＝﹣t2+6t；网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图所示： （1）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．
八、（本题满分14分）
23．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ADP∽△BDF； （3）如图2，若PE＝BE，则
的值是 （直按写出结果即可）．
2019年安徽省铜陵市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1．【分析】根据相反数的意义，直接可得结论． 【解答】解：因为a的相反数是﹣a， 所以﹣2019的相反数是2019． 故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义．理解a的相反数是﹣a，是解决本题的关键． 2．【分析】同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． 【解答】解：x6÷x2＝x6﹣2＝x4． 故选：B．
【点评】本题主要考查的是同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 3．【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形． 【解答】解：该锥形瓶的俯视图是：
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将420 000 000用科学记数法表示为4.2×108． 故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．【分析】先根据平行线的性质得出∠ABD的度数，进而可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°． 故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 6．【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集． 【解答】解：由x﹣1≤0得x≤1 由3x+6＞0得x＞﹣2
∴不等式组的解集为1≥x＞﹣2 故选：C．
【点评】解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
7．【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
【解答】解：∵圆锥的底面直径为60cm， ∴圆锥的底面周长为60πcm， ∴扇形的弧长为60πcm， 设扇形的半径为r， 则
＝60π，
解得：r＝40cm， 故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．
8．【分析】过F作FH∥BC，根据AD∥HF可列比例式，
可得出HF与AE、DE的比例关系，最后化简得到AE＝3DE，因此【解答】解：如图，过F作FH∥BC． ∵AD∥BC， AD∥HF， ∴
，
，然后由F是CD的中点，
．
∵F是CD的中点， ∴
，
∴
∴3AE+6DE＝5AE， AE＝3DE， ∴
．
，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确理解平行线分线段成比例是解题的关键． 9．【分析】由图2可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC＝BE，由此分析动点P的运动过程如下：
①在BE段，BP＝BQ；持续时间10s，则BE＝BC＝10；y是t的二次函数； ②在ED段，y＝40是定值，持续时间4s；
③在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数．y＝0时，t＝22，即可得解． 【解答】解：由图象可知，当10≤t≤14时，y值不变，则此时，Q点到C，P从E到D． ∴BE＝BC＝10，
当14≤t≤20时，点P由D向C运动，Q在C点，
△BPQ的面积为＝BC•PC＝×10×（22﹣t）＝110﹣5t． ∴y＝110﹣5t，
令y＝0，110﹣5t＝0，解得t＝22， ∴a的值为22． 故选：C．
【点评】本题为双动点问题，解答时既要注意两个动点相对位置变化又要注意函数图象的变化与动点位置变化之间的关联．
10．【分析】由题意可得∠ACD＝∠ADC＝45°，由AB＝AC＝AD可得∠ABC+∠ABD＝45°＝∠CBD，AE⊥BC可得AE是BC的垂直平分线，由AB＝AC，可得BF＝CF，根据勾股定理可求BF2+DF2的值．
【解答】解：如图连接CD，CF
∵AC＝AD，AC⊥AD ∴∠ACD＝45°＝∠ADC ∵AB＝AC＝AD
∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD
∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180° ∴∠CBD＝45° ∵AB＝AC，AE⊥BC
∴AE是线段BC的垂直平分线 ∴BF＝CF
∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90° ∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2． 故选：C．
【点评】本题考查全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证∠CFD＝90°是本题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11．【分析】直接根据算术平方根的定义即可求出结果． 【解答】解：∵82＝64 ∴
＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根
和算术平方根的区别．
12．【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可． 【解答】解：原式＝y（x2﹣1）＝y（x+1）（x﹣1）， 故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，关键是掌握提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13．【分析】应用反比例函数系数k的意义可得出矩形PDOE面积，依据▱ABCD对角线性质可知矩形BDOA的面积，然后转化为▱ABCD的面积即可． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥y轴于点E． ∴S矩形PEOD＝xy＝|k|＝|﹣3|＝3 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，
∵四边形ABDO为矩形， ∴AB＝DO， S▱ABCD＝S矩形ABDO，
∵P为▱ABCD对角线的交点， ∴BP＝PD，
∴S矩形ABDO＝2S矩形PEOD＝2×3＝6， S▱ABCD＝6． 故答案为6．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
14．【分析】分两种情况，取BC的中点E，连接AE，DE，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△ADE是等边三角形，进而依据轴对称的性质得出∠ABD的度数．
【解答】解：分两种情况：
如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，
则AE＝DE＝BC， 即BC＝2AE＝2DE， 又∵BC＝2AD， ∴AD＝AE＝DE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， 又∵BC垂直平分AD， ∴∠AEC＝30°， 又∵BE＝AE，
∴∠ABC＝∠AEC＝15°， ∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；
如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD＝30°，
又∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠ABD＝150°， 故答案为：30°或150°．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质的运用，直角三角形斜边中线定理，等边三角形的判定和性质等知识，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三、解答题（共2小题，满分16分）
15．【分析】直接利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣2＝4﹣2＝4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．【分析】设共有x个人合买物品，该物品的价格是y元，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设共有x个人合买物品，该物品的价格是y元， 依题意，得：解得：
．
，
+2
+4×
答：这个物品的价格是53元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示． （2）△A2B2C2如图所示．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．【分析】作CE⊥AB于E，根据题意求出AC的长，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的外角的性质求出∠B的度数，根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：如图，作CE⊥AB于E，
18×＝9（km），
∴AC＝9km，
∵∠CAB＝45°， ∴CE＝AC•sin45°＝9km， ∵灯塔B在它的南偏东15°方向， ∴∠NCB＝75°，∠CAB＝45°， ∴∠B＝30°， ∴BC＝
＝18（km），
答：此时渔船与灯塔B的距离为18km．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
五、解答题（共2小题，满分20分）
19．【分析】（1）由题意可得A1，A2，A3，A4的坐标，可得点A坐标规律，由题意可得B1，B2，B3的坐标，可求点B的坐标规律，即可求解． （2）由（1）可得正方形边长，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得正方形OA1B1C1边长为1，正方形A2B2C2C1的边长为2，正方形A3B3C3C2的边长为4，…正方形AnBn∁nCn﹣1的边长为2 n﹣1，
∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8）…An（2 n﹣1﹣1，2n﹣1）， B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8）…Bn（2 n﹣1，2n﹣1）， ∴A6坐标为（25﹣1，25），B6坐标为（26﹣1，25） 故答案为：（25﹣1，25），（26﹣1，25）
（2）由（1）可知An（2 n﹣1﹣1，2n﹣1），正方形AnBn∁nCn﹣1的边长为2 n﹣1， ∴正方形AnBn∁nCn﹣1的面积＝（2 n﹣1）2＝2 2n﹣2． 故答案为：（2 n﹣1﹣1，2n﹣1），2 2n﹣2
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的横纵坐标的变化规律，利用数形结合的思想解答． 20．【分析】（1）由乒乓球的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用总人数乘以足球对应的百分比可得其人数，用总人数分别乘以篮球和其他部分对应的百分比可得其人数；
（3）根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为60÷20%＝300（人）；
（2）篮球的人数为300×44%＝132（人），其他的人数为300×3%＝9（人）， 足球的人数为300×（1﹣20%﹣44%﹣3%）＝99， 补全条形图如下：
（3）∵选择乒乓球的人数有60人，从中任选4人参加， ∴小敏被选中的概率为
＝
．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图及概率公式等知识的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 六、（本题满分12分）
21．【分析】（1）连接OC，交BF于点H，由ED切⊙O于点C，可得OC⊥DE，因为AB为⊙O的直径，可得BF⊥AD，由BF∥CD，可得ED⊥AD，进而得出OC∥AD，即可推出AC平分∠BAD；
（2）在Rt△ABF中，⊙O的半径为
，AF＝2，可求得BF的长，再证明四边形HFDC为矩
形，可得CD＝HF＝BF，即可得出CD的长． 【解答】解：（1）如图，连接OC，交BF于点H， ∵ED切⊙O于点C， ∴OC⊥DE， ∵AB为⊙O的直径， ∴BF⊥AD， ∵BF∥CD， ∴ED⊥AD， ∴OC∥AD， ∴∠OCA＝∠CAD， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠CAD， ∴AC平分∠BAD； （2）∵⊙O的半径为∴BF＝
，AF＝2，∠AFB＝90°，
，
由（1）知，∠D＝∠HFD＝∠OCD＝90°， ∴四边形HFDC为矩形， ∴OC⊥BF，
∴CD＝HF＝BF＝4．
【点评】本题考查圆的切线的性质，平行线的性质，圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．
七、（本题满分12分）
22．【分析】（1）当0≤t≤10时，设y2＝kt，求得y2与t的函数关系式为：y2＝4t，当10≤t≤30时，设y2＝mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y2与t的函数关系式为：y2＝t+30， （2）依题意得y＝y1+y2，当0≤t≤10时，得到y最大＝80；当10＜t≤30时，得到y最大＝91.2，于是得到结论．
【解答】解：（1）当0≤t≤10时，设y2＝kt， ∵（10，40）在其图象上， ∴10k＝40， ∴k＝4，
∴y2与t的函数关系式为：y2＝4t， 当10≤t≤30时，设y2＝mt+n， 将（10，40），（30，60）代入得解得
，
，
∴y2与t的函数关系式为：y2＝t+30， 综上所述，y2＝
（2）依题意得y＝y1+y2，当0≤t≤10时，y＝﹣t2+6t+4t＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣25）2+125， ∴t＝10时，y最大＝80；
当10＜t≤30时，y＝﹣t2+6t+t+30＝﹣t2+7t+30＝﹣（t﹣∵t为整数，
∴t＝17或18时，y最大＝91.2， ∵91.2＞80，
∴当t＝17或18时，y最大＝91.2（百件）．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 八、（本题满分14分）
23．【分析】（1）根据SAS证明即可．
（2）想办法证明∠DAP＝∠DBF，∠ADP＝∠BDF即可解决问题．
（3）如图2中，作PH⊥BC于H．首先证明∠EFB＝30°，设HP＝HC＝m，则PC＝＝
m，求出CF即可解决问题．
m，HF
）2+
，
；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°， ∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
（2）解：作FH∥AB交AC的延长线于H．
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠FCH＝45°， ∵AB∥FH，
∴∠HFC＝∠ABC＝90°， ∴∠FCH＝∠H＝45°， ∴CF＝FH＝AE，
∵∠PAE＝∠H，∠APE＝∠FPH， ∴△APE≌△HPF（AAS）， ∴PE＝PF， ∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EFD＝∠ADC＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∵EP＝PF，
∴∠EDP＝∠FDP＝45°，
∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDP＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°， ∴∠ADP＝∠BDF， ∵∠DAP＝∠DBF＝45°， ∴△ADP∽△BDF．
（3）解：如图2中，作PH⊥BC于H．
由（2）可知：PE＝PF， ∵BE＝PE， ∴EF＝2BE， ∵∠EBF＝90°，
∴sin∠EFB＝， ∴∠EFB＝30°，
∵PH⊥FH，∠PCH＝45°，
∴∠PHC＝90°，∠HPC＝∠HCP＝45°， ∴HP＝HC，设HP＝HC＝m，则PC＝∴CF＝∴
＝
m﹣m，
＝．
．
m，HF＝
m，
故答案为
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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