高等数学作业上-1 (答案)

§1函数

1． 解：（1） 要使sin4x2有意义，必须4x20,即使x2.所以定义域为[-2，2].

时，2（2）当x3且x11有意义;而要使x2有意义，必须x2,故函数

x4x3(1,3)、(3,). 的定义域为：[2,1)、（3）要使arccosln定义域为[xx1x10有意义，则使1ln1，即e.x10e,即 1010e10e10,10e]. e（4）要使tg(x1)有意义，则必有x12k,k0,1,2,.;即函数定义域为

xxR且xk1,k0,1,2,. 2（5）当x3时3x有意义；又当x0时arctg1有意义，故函数的定义域为： x(，0)、(0,3].

（6）当2kx(2k1)(k0,1,2)时sinx有意义；有要使16x2有意义，

[0,]. 必须有4x4.所以函数的定义域为：[4,]、2． f(3)2,f(2)1,f(0)2,f()2,f()23． 解：f[g(x)]121212.

x24x3,因此要使x24x3有意义；必须1x3，

即fg(x)的定义域为[1，3]。

1,4．解f[g(x)]0,1,e1,x0,1,ex1,0,x0, g[f(x)]ef(x)ex1,1,x0;xe,1,1,ex1,x1,。 x1,时f(sinx)有意义，5．当0sinx1故其定义域为[2k,(2k1)](k0,1,2).。

6．f(x1)2x1,x1,2x2x5,x1;2x3,x1, f(x1)2x2x5,x1;2x210,x1,故 f(x1)f(x1)x28,1x1,。

4x2,x1.7解：设f(x)ax2bxc,由f(x1)f(x)8x3a(x1)2b(x1)c(ax2

bxc)2axab,得2a8,ab3,即a4，b1，f(x)4x2xc.

8.ffxffxffxffx为奇函数 gfxgf2x4g xfgfx为偶函数

1x21x29．证：当x1时，xx,因此1;当x1时，41x22;所以对任意41x1xx(,),f(x)2,即f(x)有界。

10．解：（1）由yln(x2)1得ln(x2)y1,即x2ey1,xey12.

yln(x2)1的反函数为yex12.

2xyyx（2）由yx得2x,即xlog2,反函数为ylog2.

1y1y1x21x1,x1,（3）当x0时y1;x0时，y0.反函数为：y

3x,x0.11．解：（1）yu,usin(12x);yu,usinv,v12x. （2）y10,u(2x1);y10,uv,v2x1;；

u2u233yarctgu,utg(a2ex);（3）

22x2yarctgu,uv,vtg(ae);yarctgu,uv,2vtg(a2w),wex.

12．设证圆锥的高为h,底半径为R，体积为V，由立体几何学知:V又

利

用

两

212Rh. 3可

得

：

直角三角形相似

rR

r2h2r2hr2h2,R,V,h(2r,).

22h(h2r)h2r3(h2r)Rhhr§2 数列极限定义及性质

(1)nn3,a; （2）1． 解：（1）（错）例如xn1（对） （3）（对）.

2n12２．（１）证：2n11551

4n322(4n3)8nn12n1112n11任给〉0，取N[],当nN时，有.由定义：lim.

n4n32n4n32（２）证：

n1n1n1n1n1n,任给0,取N[12],当nN时，

n1n.lim(n1n)0.

n３．证：limxna,任给0,存在N0,当nN时，有xna，又xna

nxna(nN时)，limxna.

n４．证：limxn存在，存在M0,有xnM(n1,2,).又nsinnxnMxn. 2nnn任给0,取N[M],当nN时，有asinxnxnMlimnsin0. 0,22nnnnn５．证：任给0, xn有界，存在M0,使得xnM(n1,2,).又limyn0，

存在N0,当nN时有yn

M,而xnynxnynMM.limxnyn0.

n数列极限运算法则及存在准则

１．解：（１）（对）

111,ynsinn,lim0,limsinn不存在，但limsinn0存在.

nnnnnn1111,vn,unvn(n1,2,),但lim2lim0. （３）（错）例如：un2nn1nnnn1（２）（错）例如：xnunvnv11vn２．证：lima0,limlim,有界，而vnnun由数列极限

nvnunuaununnnnvn的定义及性质和上节习题5可知limvn0。

n21234n2n1nn３．解：（１）lim3lim2.

n2n3n21n3123nn2nn3[()1](2)n3n13 （２）limlim. n(2)n13n1nn1233[()n11]334 （３）limn(n1n1)limnn222nn1n122limn2nn(1111)22nn1

1(2n1)n13(2n1)2 （４）limlim2 nn1n12nn2111111111 （５）lim(12)(12)(12)lim(1)(1)(1)(1)(1)(1)

nn2233nn23n132435n1n11n11lim()lim(). n223344n2nnn212n1n1n2 （６）lim(1)lim(1)(1)e.

nnnnn1n1n111)lim(1)(1)e.； （７）lim(1nnn1n1n11352n1352n1,则2S1. （８）记Sn23n2222222n2n131532n12n32n1Sn2SnSn1()(22)(n1n1)n2222222112n1111...n2n.limSn13.

n1222121111112n2n ４．证：{xn}单调增加，且xn 21212122211[1()n]221.{xn}单调增加有上界，故有极限.

112５．证xn,02xn2，数列xn有界,xn有极限，

n2a,解得a12,a2（舍去），1limxn2.

2,x0,narctgnx0,x0, ６．解：lim2nnn,x0.2７．解：lim1en1enxnx1,x0,0,x0, 1,x0.

§3 函数极限的定义及性质

１．解：（1）任给0,存在M0,使当xM时，恒有f(x)2成立. （2）任给0,存在M0,使当xM时，恒有f(x)1成立. （3）任给0,存在0,使当0x2时，恒有f(x)1成立. （4）任给0,存在0,使当x2时，恒有f(x)4成立. ２．解：（１）任给0，取M12,当xM时，

sinxx0sinxx1x成立.limsinx0;

xx （２）x1132212.任给0,取M(1), 2x1222x12x12x12x11x112; , limx2x122x122x1当xM时，有 （３）(2x1)12x1.任给0,取2,当x10时，有(2x1)

12x-1.lim(2x1)1;

x1 （４）x2x42x1x4x2x42 ,任给01取2，当0x4时，有x2.limx2;

x4(2x1)1,而limf(x)lim00,limf(x)不存在，图略. 3．（3）可知：limx1x1x14证：limf(x)A0,由极限定义，取A,存在0,当0xx0时，有，

xx02AAAAf(x)A,即：0Af(x)A,f(x)0.(0xx0).

2222

§5 函数极限运算法则

１．解：（１）D. （２）B. （3）D. （4）D （5）B.

2． 解：（1）lim(3x1)(8x1)x(5x2)100703011(3)70(8)30370830xxlim100.

x21005(5)xx3x2x2(x1)1)lim. （2）lim(22x1x2x21(2x1)4x2x1（3）limxxxxxlim1111xxxx1.

11sinxxsinxx（4）limlim1. xxcosxx11cosxx（5）limx(x1x)limx2x1.

x21x2x2x2x1(x1)(2x1)lim3. （6）limx1x1x1x1（7）lim(t112t11)lim. 22t11t1t21t3（8）limx1x1x12lim. x1x13x23x13x13.limx10limxaxx41a140,a4

32x1x1x25x4x34x2x4 limlim10,m10 x1x1x1x14．解：x0limf(x)limxsinx0x0120,limf(x)lim(x2x1)1.x0x0x

limf(x)不存在..x21f(x)lim(x2x1)2,limf(x)lim2,limf(x)2. limx1x1x1x1x1x12

§6 极限存在准则 两个重要极限

１． 解：（1）nnn1n111n211nn1nn1,而limnnnn1,

limnnn11,lim(nn1n2nn)1.

n2111n2n2n(2222,而lim21; （2）2nnnnn2nnnnnn2lim21,原式1. nnnn1n1n2(1)nn3312(1)1n（3） ,而lim，lim. nnnn22222222（4）limxsinx1limxx1xsin1x1.

t（5）令1xt,则lim(1x)secx1x2limt0tsint232limt02sint22.

（6）lim(13tg2x)ctgx02x123tg2xlim(13tgx)e3. x0x34x1x24（7）lim()lim(1)xx3xx3x114e. x3xx411x2xxxxx)lim()()limlim（8）lim(2x1. xx1xx1x11x111xx（9）原式=

limx0tanxsinxx31tanx1sinx

1tanxsinx1sinxsinx.cosx1sinx1cosx11limlimlim..2x0x32x0x3cosx2x0xx2cosx433sinln1sinln13xlimxxln13

(10)limxsinln1limxx1x3xxln1xx=limln1x33limlnx1xxxx.333

同理 limxsinln1x11 所以原极限=3-1=2. x§7 无穷小的比较

１． 解：（1）limx0xsinxx11,xsinx是x的阶无穷小(x0);

2x23x121162312lim(x1)1,x0时xx是x的阶无穷小；（2）lim；

x0x02x123（3）limx0x3x3x53x1 lim(13x83x143)1,x0时原式是x的阶无穷小；x03（4）limtgxsinxsinx(1cosx)1lim,x0时原式是x的3阶无穷小； 33x0x02xxcosx1cosx2x2lim22； ２． 解：（1）limx0xsinxx0x3sinxx2cos（2）原式= limx02x1x3limsinxlim1xcos13

x022x0xx2x21cos3x(1cosx)(1cosxcos2x)23； lim3lim（3）limx0xsin2xx0x02x242x2x211tgxsinx)limlim220； （4）lim(x0sinxx0sinxtgxx0xtgxe2x12x（5）limlim2；

x0ln(x1)x0xx231x2131； （6）limlimx0x0x2x23（7）limn(a1)limn(ennn1lnan1)limnnlna0； nx2a2x2x2ln1ln22a2aa1 （8）原式= limlimlimx0x0x0x2x2x2a23.解：

lime3x10,limx0x01fxsin2x10,limfxsin2x0x0 1fxsin2x1fxsin2x1122limlimlimfx,limfx63xx0x0x0e13x3x01x1x(1x)(1x)～1x. 1x1时4.解：（1）lim1xlimx1x11x1x(1x)(1x)1(x2)2(1cosx)（2）limlim220.(1cosx)2为比sin2x高阶的无穷小； 2x0x0sinxx21x(1x)(13x3x2)323limlim(1xx)3.无穷小（3）lim32x113xx1x133(1x)(1xx)1x是13x的同阶无穷小.